接觸力控制的單腿機器人姿態(tài)控制*

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接觸力控制的單腿機器人姿態(tài)控制*

侯文琦，王劍，韋慶，馬宏緒

(國防科技大學 機電工程與自動化學院，湖南 長沙410073)

摘要：為了使Acrobot(Acrobat類型的單腿機器人)在運動過程中相對地面沒有滑動，設計了基于接觸力控制的姿態(tài)控制系統(tǒng)，將水平方向接觸力作為內環(huán)的控制對象并限制其大小，使其總能滿足摩擦錐的約束，從而保證在小腿姿態(tài)角的跟蹤過程中足與地面間不會產生滑動。在Acrobot的直立姿態(tài)處，對其動力學方程進行線性化，并得到驅動力矩—水平接觸力—質心水平位置—小腿姿態(tài)角的傳遞函數(shù)鏈，進而設計小腿姿態(tài)角的多環(huán)控制系統(tǒng)。在MATLAB中用“SimMechanics”工具箱搭建了Acrobot的虛擬模型，仿真結果表明，所設計的多環(huán)控制系統(tǒng)在實現(xiàn)小腿姿態(tài)角跟蹤控制的同時還能保證足與地面間不產生滑動。

關鍵詞：Acrobot；姿態(tài)控制；接觸力控制；滑動；多環(huán)控制

Acrobot(Acrobat類型的單腿機器人)是一種平面型的2連桿機器人，它只有一個主動的旋轉關節(jié)，小腿末端是一個弧形的腳，相對地面是自由轉動的，是一個典型的欠驅動系統(tǒng)。對Acrobot的平衡與跳躍控制問題的研究，有助于揭示足類運動的內在機理，促進足式機器人運動性能的提高[1-5]。

Acrobot最早是由Hauser等提出的，用來研究非線性控制問題，它的末端是無驅動的旋轉鉸鏈[6]；Spong用基于部分反饋線性化的方法設計的線性二次型調節(jié)器(Linear Quadratic Regulator,LQR)控制器，實現(xiàn)了從下垂位置起擺到豎直向上站立的平衡[7]；將上肢越過豎直位置時的速度看作不確定性因素，Xin等設計了比LQR控制器吸引域更大的平衡控制器[8-9]；Yamakita等設計了輸出零化控制器，其輸出函數(shù)是由角動量和某一新的狀態(tài)定義的，在計算驅動力矩時，需要計算角動量的三次微分[10-11]；基于復合滑動面控制(Multiple Sliding Surface Control,MSSC)技術，Qaiser等設計了無須監(jiān)管的平衡控制器[12]。

最早對弧形腳的Acrobot的平衡與跳躍進行研究的是Berkemeier等，他們在假設各個連桿的姿態(tài)和速度可測的條件下，實現(xiàn)了弧形腳的Acrobot的平衡和跳躍運動[2]；Azad等在期望的平衡點處對Acrobot的動力學方程進行線性化，假設足端與地面間沒有滑動，通過控制相對支撐點的角動量實現(xiàn)了弧形腳的Acrobot的平衡控制[3-4]。

對于末端是鉸鏈的Acrobot，其末端總能提供足夠的約束力，因而在平衡控制中不用考慮接觸力的協(xié)調性，但控制方法應用在末端是弧形腳的Acrobot上很可能會產生滑動，而Berkemeier和Azad等的方法要求機器人各連桿的角度和角速度是可測的，這在實際系統(tǒng)中是很難實現(xiàn)的。

本文采用內外環(huán)的控制策略，在豎直向上的平衡位置處，對機器人的動力學方程進行線性化，推導了驅動力矩—接觸力—質心位置—小腿姿態(tài)角的傳遞函數(shù)，通過內外環(huán)控制器的設計，在僅需測量姿態(tài)角和接觸力的條件下，實現(xiàn)了帶有弧形腳的Acrobot的平衡與姿態(tài)控制，且接觸力始終滿足摩擦錐的約束。

1模型與動力學方程

研究弧形腳的Acrobot的平衡及姿態(tài)控制問題，其模型如圖1所示。膝關節(jié)是唯一有主動驅動力矩的關節(jié)，腳上安裝力傳感器以測量接觸力的大小。

圖1　Acrobot模型Fig.1　Model of the Acrobot

qe=[x;y;θ0;θ1]為一組廣義坐標，其中x,y為足端在慣性系中的位置，θ0為小腿相對豎直方向的夾角，θ1為大腿與小腿間的夾角，約定逆時針方向為角度的正方向。Fx,Fy分別為足與地面間接觸力在水平方向和豎直方向的分量。

在支撐期，機器人的動力學方程為

(1)

其中

c4=(mthLsh+mshLsh1),c5=mthLth1

表1Acrobot的物理參數(shù)

Tab.1Physical parameters of the Acrobot

大腿mth(kg)Jth(kg·m2)Lth(m)Lth1(m)15.0720.8080.80.4小腿msh(kg)Jsh(kg·m2)Lsh(m)Lsh1(m)2.5120.0340.40.2

Azad等研究了球面和平面接觸時的接觸力模型，得到了一個包含庫侖摩擦的非線性模型[13]，即

(2)

(3)

函數(shù)clip(a,b,c)返回的是介于b和c之間的a的值，參數(shù)Kn=8.5×106,Kt=12.75×106，Dn=Dt=3.1×105，滑動摩擦系數(shù)μ=0.4。該模型是眾多接觸力模型中較為接近實際又能在計算機仿真中實現(xiàn)的一種模型[14-15]。

2控制系統(tǒng)設計

2.1　平衡點

令X表示機器人質心相對足端的水平距離，則有

(4)

微分可得

(5)

(6)

(7)

代入式(1)即可得

(8)

由式(8)的第3行可得

(9)

Xdes=0

(10)

又由式(7)可得

(11)

2.2　線性化與傳遞函數(shù)

系統(tǒng)平衡時，由式(8)的第2行可知，豎直方向的接觸力為常值，即

(12)

(13)

在平衡過程中不考慮接觸點處豎直方向的動態(tài)，將式(13)代入式(3)，在滑動摩擦力的范圍內，接觸力水平方向的分量可近似為線性的彈簧-阻尼模型，即

(14)

水平力到水平形變的傳遞函數(shù)為

(15)

由水平方向的牛頓方程，即式(1)的第1行，可得

(16)

聯(lián)立式(14)和式(16)可得水平力到質心水平位移的傳遞函數(shù)為

(17)

由式(6)可得

(18)

(19)

其中

(N2s2-N3K1s2-N1g)·

(20)

其中

2.3　控制器設計

圖2　Acrobot控制系統(tǒng)框圖Fig.2　Control system structure of the Acrobot

系統(tǒng)完整的動力學方程式(1)顯示出：驅動力矩、接觸力、質心位置和小腿姿態(tài)角間是相互耦合的，而系統(tǒng)的控制輸入僅有一個，因而能穩(wěn)定控制的輸出量僅有一個。上節(jié)的分析說明：若不考慮豎直方向的動態(tài)，在期望的平衡點處可以得到它們之間的線性化傳遞函數(shù)鏈。要實現(xiàn)接觸力協(xié)調的小腿姿態(tài)角的控制，就是要在控制小腿姿態(tài)角的同時，對接觸力水平分量的幅值進行限制，即滿足摩擦錐的約束。基于多環(huán)控制的思想，設計基于力內環(huán)的小腿姿態(tài)角控制系統(tǒng)，其結構如圖2所示，其中小腿的姿態(tài)角控制是最外環(huán)。對于多環(huán)控制系統(tǒng)，外環(huán)是目標環(huán)，其控制器是主導控制器，外環(huán)控制器的穩(wěn)定性決定了整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通常按照由外向內的順序進行設計，在設計外環(huán)控制器時，將內環(huán)的傳遞函數(shù)設為1，在設計內環(huán)控制器時，要使內環(huán)的調節(jié)時間盡可能地小于外環(huán)的調節(jié)時間。在實現(xiàn)該控制系統(tǒng)時，僅需要機器人的姿態(tài)角可測就行，其中膝關節(jié)的角度可在關節(jié)處安裝電位計或碼盤測量得到，小腿姿態(tài)角可在小腿或大腿上安裝IMU測量得到，這比Berkemeier和Azad等的方法在實際系統(tǒng)中更易于實現(xiàn)。

3仿真結果與分析

在MATLAB中，應用“SimMechanics”工具箱，依據(jù)表1的參數(shù)，構建了Acrobot的虛擬模型，如圖3所示。

圖3　Acrobot虛擬模型Fig.3　Virtual model of the Acrobot

圖4顯示了小腿姿態(tài)角的跟蹤效果。從圖中可以看出，設計的控制系統(tǒng)能夠實現(xiàn)Acrobot的小腿姿態(tài)角的穩(wěn)定跟蹤控制。從圖中還可以看出，姿態(tài)角的跟蹤存在1s左右的滯后，這是由于外環(huán)控制器的調節(jié)時間為0.98s的緣故，文獻[3]中的結果也體現(xiàn)出了這種滯后的特點。

圖4　小腿姿態(tài)角的跟蹤效果Fig.4　Tracking result of the shank′s posture angle

圖5顯示了機器人運動過程中摩擦錐約束范圍和水平接觸力的大小。從圖中可以看出水平接觸力始終位于摩擦錐約束的范圍內，即沒有滑動的產生。

圖5　水平力和摩擦錐范圍Fig.5　Horizontal force and the friction cone

圖6顯示了機器人膝關節(jié)驅動力矩的曲線，從圖中可以看出所需要的驅動力矩小于70N·m，說明設計的控制系統(tǒng)在實際中是可以實現(xiàn)的。

圖6　驅動力矩曲線Fig.6　Actuation torque curve

4結論

通過對弧形腳的Acrobot的動力學方程在平衡點處的線性化，得到驅動力矩—水平接觸力—質心水平位置—小腿姿態(tài)角的傳遞函數(shù)鏈，由此而設計的三環(huán)控制系統(tǒng)能夠實現(xiàn)小腿姿態(tài)角的跟蹤控制，同時滿足接觸力摩擦錐的約束。將來的工作將致力于三個方面：①基于接觸力控制的機器人質心水平速度的控制，用于足式機器人行走模式下支撐期的控制；②基于接觸力控制的弧形腳的Acrobot的跳躍控制，用于足式機器人奔跑模式下支撐期的控制；③基于接觸力控制的柔性碰撞控制，用于實現(xiàn)足式機器人運動過程中支撐腿的柔性切換。

參考文獻(References)

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Posture control of a single leg robot with controlled contact force

HOUWenqi,WANGJian,WEIQing,MAHongxu

(College of Mechatronics Engineering and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：A posture control system based on the controlled contact force was designed to ensure there is no slipping between the foot of Acrobot(acrobatic single-leg robot) and the ground during motion. The horizontal component of the contact force was set as the control objective of the internal loop and its value was restricted by the friction cone, so that the contact consistency between foot and ground at the tracking process of the shank′s posture angle was preserved. At the upright equilibrium posture of Acrobot, the dynamic equations were linearized and the transfer function link “actuation torque-horizontal contact force-horizontal position of the center of mass-posture angle of the shank” was derived to design the multi-loop control system for the posture angle of the shank. A virtual Acrobot model was built in MATLAB by using the “SimMechanics” toolbox. Simulation results show that the designed control system can realize the tracking control without slipping between the foot and the ground.

Key words：Acrobot; posture control; contact force control; slipping; multi-loop control

中圖分類號：TP242.0

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)02-112-05

收稿日期：2014-05-26基金項目：國家863計劃資助項目(2011AA040801)；國防科技大學博士生跨學科聯(lián)合培養(yǎng)計劃資助項目(kxk140101)

作者簡介：侯文琦(1984—)，男，湖北棗陽人，博士研究生，E-mail：houwnq@126.com；馬宏緒(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：mhx1966@163.com

doi:10.11887/j.cn.201502021

http://journal.nudt.edu.cn