從平均速度到瞬時速度

尤麗君

(江蘇省無錫市北高級中學，江蘇　無錫　214000)

從平均速度到瞬時速度

尤麗君

(江蘇省無錫市北高級中學，江蘇無錫214000)

摘要：平均速度是我們能夠測量的物理量，而瞬時速度是人類的抽象思考和推理演繹的結果.本文從數學角度對平均速度和瞬時速度兩個概念做了區分，從原理上分析了光電計時器測平均速度近似替代瞬時速度的系統誤差，介紹了極限法測瞬時速度的理論依據，分析了v與Δt、Δx之間滿足的函數關系，最后探討了瞬時速度教學的重要意義.

關鍵詞：平均速度；瞬時速度；光電門；極限法測速

關于速度，人教版教材上是這樣描述的：“一般說來，物體在某一時間間隔內，運動的快慢不一定是時時一樣的，所以由v=Δx/Δt求得的速度,表示的只是物體在時間間隔Δt內的平均快慢程度，稱為平均速度(average velocity).顯然，平均速度只能粗略描述運動的快慢.為了使描述精確些，可以把Δt取得小一些，物體從t到t+Δt這樣一個較小的時間間隔內，運動快慢的差異也就小一些.Δt越小，運動的描述就越精確.當Δt非常非常小時，我們把Δx/Δt稱作物體在時刻t的瞬時速度(instantaneous velocity).”這是高中物理教材中第一次對極限思想的教學滲透.

1從數學角度理解平均速度和瞬時速度區別

比較上面兩式可得：只要Δt不等于0，瞬時速度和平均速度就不相等(中間時刻瞬時速度計算為特例).只有Δt→0，平均速度的極限值為at，這才是t時刻對應的瞬時速度.所以，當Δt→0時，平均速度的極限值就是t時刻的瞬時速度.而這個極限值的物理意義已經和通常意義上的平均速度不一樣，所以想要從普通意義上的平均速度角度來精確闡明瞬時速度是行不通的.

2實驗測定平均速度近似替代瞬時速度

在力學實驗中，測量瞬時速度的常用方法有：打點計時器測速和光電門計時測速.

打點計時器和光電門是中學物理實驗中常見的兩種測量瞬時速度的儀器.打點計時器測量速度的實驗原理是：用某一段時間內的平均速度來近似代替某一時刻的瞬時速度.而光電門計時測速的實驗原理是：用某一段時間內的平均速度來近似代替某一點(光電門透光孔)處的瞬時速度.在研究勻變速直線運動中，打點計時器的這種近似代替在實驗原理上并沒有帶來誤差，但其可靠性相對較差，現代物理實驗中經常使用光電門計時器采集數據來測量速度.

2.1光電門計時測速

光電門是精度比較高的光敏器件，當它的透光孔沒有被擋光時，計時器不計時.當帶有擋光片的物體經過它的透光孔時，計時器開始計時.當擋光物體離開透光孔時，擋光結束，計時器停止計時.利用光電門的這種功能，已知運動物體的擋光片長度Δx，通過計時器記錄下該物體遮擋光的時間Δt，可以得出物體在擋光過程中運動的平均速度v=Δx/Δt，在Δx或Δt較小的情況下，即可將此速度近似為物體通過光電門時的瞬時速度.以勻變速直線運動為例，光電計時測速的這種近似代替在原理上存在一定的系統誤差.

如圖1所示，將導軌調傾斜，小車以加速度a在導軌上做初速度為零的勻加速直線運動.小車由導軌上某一固定位置滑下，測量擋光片滑至光電門所在位置處的瞬時速度.

圖1

設擋光片的寬度為Δx，A和B為擋光片前后沿上2個點，當擋光片的前邊沿A剛好接近光電門透光孔開始擋光時，計時器開始計時，直到擋光片的后邊沿B剛好離開透光孔擋光結束時，計時器停止計時.記錄下這段時間Δt，可得v實驗=Δx/Δt，即光電門測得的瞬時速度v實驗，實際上是圖1中擋光片從位置1(擋光開始位置)到位置2(擋光結束位置)之間的一段平均速度；而擋光片在通過光電門位置時的實際速度v實際應該是擋光片的中心位置剛好在光電門的透光孔處時的瞬時速度[2]，即在Δx的中點位置處的速度，因此v實際=v中位.

上述結論還可通過分析勻變速直線運動規律和運動圖像同樣得出：v實驗=v中時，v實際=v中位，而v中時

2.2極限法測速

為了讓學生能更深刻的理解瞬時速度是平均速度的極限，同時也為了能更好的測量瞬時速度，利用光電門計時器還能做極限法測速處理.

表1　(擋光片前沿位置固定)

圖-Δt圖(擋光片前沿固定)

圖-Δx圖(擋光片前沿固定)

實驗過程中，如果將擋光片的后沿位置固定，讓擋光片前沿逐漸趨近來改變Δx，同樣可以通過圖像得到一個極限值，兩種不同的趨近方式得到的圖像斜率符號相反(如表2及圖4、圖5).

表2　(擋光片后沿位置固定)

圖-Δt圖(擋光片后沿固定)

圖-Δx圖(擋光片后沿固定)

3結束語

事實上，我們能夠測量到的永遠只是平均速度，無論時間Δt取多小，我們用v=Δx/Δt測出的也只是在那個短暫瞬間的平均速度.人們無法測量瞬時速度，因為人們無法測量一個無限小的時間間隔，而且，多小的時間間隔才算無限小？人們在現實世界中無法測得瞬時速度，卻可以用數學方法計算出瞬時速度，這就是數學所獨具的偉大力量.它可以憑借科學家的猜想和推理，超越普通人眼中的世界，測算出人們在現實中根本看不見也測不到的東西.也就是說，平均速度是我們能夠測量的真實世界，而瞬時速度是人類的抽象思考和推理演繹的數學結果.無數的科學家用無窮的想象力，推動著知識不斷的向前發展，等待后人的檢驗和證實.在教育過程中，引導學生透過知識本身，體會科學發現的偉大過程，感受科學家絕妙的科學猜想和數學推理，才是真正震撼心靈的學習.

參考文獻：

[1] 文道友.關于瞬時速度概念理解上的一種疏忽[J].四川師院學報(自然科學版),1985,(10).

[2] 周勇,李更磊,鄭小平.對光電門測得的瞬時速度的誤差分析[J].物理實驗,2009,29(1).

[3] 崔建坡,劉虎,冀建利.氣墊導軌實驗中極限法測速度的分析與討論[J].物理實驗,2007,27(8).

[4] 鄧華，仲扣莊.用DISLab探究氣墊導軌上滑塊的瞬時速度[J].物理教師,2007,(5).

·實驗研究·