基于Logistic混沌序列的改進算法及其性能分析*

范春雷，丁　群

(黑龍江大學信號與信息處理重點實驗室，哈爾濱150080)

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基于Logistic混沌序列的改進算法及其性能分析*

范春雷，丁群*

(黑龍江大學信號與信息處理重點實驗室，哈爾濱150080)

摘要:針對目前混沌系統數字化后受硬件有限精度的影響，使得數字混沌0/1序列最終都將變成類短周期序列，降低了混沌加密系統的安全性。為克服此缺點一種新型的Logistic混沌序列算法被提出，此算法將Logistic混沌序列與Arnold變換相結合，并通過實驗對該算法產生的二值序列的自相關性、隨機性等性能做了對比分析。同時利用此改進算法對數字圖像進行加解密，結果表明新型的Logistic混沌序列算法具有良好的安全性，能夠滿足保密通信的需要。

關鍵詞:混沌系統; Arnold變換; MATLAB仿真;二值序列;圖像加密

目前隨著計算機技術、網絡通信技術的迅猛發展，信息已經成為當今社會的重要財富。由此可見，個人信息的保密變得愈發重要，例如Internet數據信息傳遞、保密電話、銀行卡等都需要有充分的安全保密措施。這使得對保密通信及密碼學的研究變得十分迫切，然而由于混沌信號具有良好的偽隨機性、初值敏感性、類噪聲等特性，因此混沌系統被廣泛的應用在保密通信中，并在加密系統的設計中展現了顯著的優勢。

然而，在將混沌信號轉換成二值序列的過程中會遇到一個關鍵問題，即受到硬件處理器有限精度的影響使得所產生的二值序列出現短周期現象［1］。其實早在1997年Kohda和Tsuneda［2］就已經考慮到計算精度對混沌二值序列隨機性的影響;而Biham的實驗結果也證明了由于計算機有限精度的影響使得數字化混沌系統產生的二值序列出現所謂的短周期現象; Palmore［3］認為這種有限精度的影響很難避免。而后，國內外的科研人員針對混沌序列數字化后的類短周期情況提出了多種方案去延長數字混沌序列周期。其中Gernak［4］提出采用可編程組合電路對混沌映射的參數變量進行擾動來增大周期;王相生［5］等人提出通過m序列的狀態作一維分段線性混沌的參數值來增大混沌二值序列的周期及復雜度;楊佳興［6］等人提出通過搭建簡單的蔡氏電路并經過模數采樣量化混沌序列以此來避免由計算機精度問題而產生的類短周期問題;陳帥［7］等人提出采用3個由離散數字混沌序列來進行異或運算的方法產生較長周期的離散數字混沌序列。上述所提出的改進數字混沌二值序列周期的方案，由于其算法相對復雜使得在硬件中難于實現，造成應用受限。

為有效解決數字混沌加密系統由于硬件芯片精度有限而造成輸出的二值序列短周期這一現象。本文提出了一種新型的改進算法，由于Logistic映射表達式簡單且性能優良，并且Logistic映射所產生的混沌序列相比其他混沌映射來說其具有更好的隨機特性，因此本文以Logistic混沌序列為基礎并與Arnold映射相結合，給出了增大二值序列周期的新算法，并對由此算法產生的二值序列的性能進行了實驗分析以及將其應用在數字圖像加密當中。實驗結果表明本文所提出的新算法能夠解決混沌序列短周期現象，且此序列具有良好的相關性、隨機性等性能。

1　Logistic混沌序列改進算法方案

1.1Logistic混沌映射及其量化

Logistic映射是研究混沌復雜系統的一個經典模型，其表達式簡單且性能優良，被廣泛的應用在混沌保密通信當中。該映射定義為［8］式中:μ被稱為分支參數，當μ取值為［3.569 945 6，4］時，Logistic映射工作在混沌態，并表現出復雜的動力學特性。將初值x1代入映射方程，通過迭代運算產生混沌序列{ xn}，此序列為非周期序列、對初值具有敏感依賴性并存在奇異吸引子。而這些特性正與密碼學中密鑰和密鑰流所具備的特性相符，因此混沌映射被廣泛的應用在保密通信等相關領域中。

為了得到加密所需的0/1序列，還應將原混沌序列{ xn}轉換成二值序列{ sn}，即量化過程。量化混沌序列有多種方式，但為避免進行繁雜運算使其在后續邏輯電路設計時難于實現，本文選用相對簡便的量化方法，其定義如下

式中:c=0.5，由于當Logistic映射處于混沌態時，迭代運算值xn在區間(0，1)遍歷。因此通過上述量化方法便能得到良好的混沌二值序列。

1.2Arnold映射和混沌序列改進算法

經典Arnold變換是一個二維可逆映射，其定義可表示為［9］

式中:0≤x，y≤1，0≤x'，y'≤1。

本文提出的改進混沌序列算法便是基于Logistic映射和Arnold變換進行設計的，其算法框圖如圖1所示。從框圖中可以看出本文是通過將0/1序列流構建成N階矩陣，之后對此矩陣進行n次Arnold迭代，由于矩陣為N階，即定義域為整數x∈［0，N－1］，y∈［0，N－1］。

圖1　改進算法設計框圖

為了與經典Arnold變換非整數的定義域相區分，本文將式(3)轉換成式(4)的形式以方便運算。之后將經過迭代后的矩陣元素按行順序轉成二值序列流，并與之前的混沌二值

序列相異或得到最終改進后的序列。此改進算法易于實現，這便降低了對硬件邏輯電路資源的消耗，且能夠有效的消除因硬件精度有限造成混沌二值序列類短周期的現象。

2　新型算法性能對比分析

本文通過編寫C語言程序產生兩種二值序列:一是經典Logistic混沌二值序列，二是通過改進算法獲得的混沌二值序列。并在編程時將精度限制為32位，通過MATLAB仿真分析序列性能。

2.1自相關特性

自相關性是偽隨機二值序列的一個重要性質，它可以對序列進行周期性檢測，理想的偽隨機序列其自相關為δ函數［10］。假設x(n)為混沌二值序列，Rx(m)是序列的自相關函數，則由自相關函數定義可得下式

本文在這里取序列長度為104，然后根據式(5)計算其自相關函數值。得到的MATLAB仿真圖如圖2所示。從圖中可以明顯地看出由經典Logistic映射產生的序列在計算精度為32位限制時，其序列內部出現類短周期現象，而改進后的混沌二值序列的自相關函數更接近δ函數，表現出了更好的偽隨機特性。

圖2　自相關測試仿真圖

2.2頻譜分析

所謂頻譜分析是將時域信號變換至頻域加以分析的方法。頻譜分析的目的是把復雜的時域波形經過傅里葉變換分解為若干單一的諧波分量，以獲得信號的頻率結構以及各諧波的信息。這里可以將混沌二值序列看作是離散時間序列，其離散傅里葉變換定義為下式

式中:x(n)為離散時間序列，N為序列長度。本文通過MATLAB仿真將改進前后序列進行離散傅里葉變換，其混沌序列的頻譜圖如圖3所示。

圖3　混沌序列頻譜仿真圖

從圖3可以明顯的看出經典Logistic序列其頻譜存在多個尖峰，表現為周期或擬周期序列現象。而改進后的序列則無明顯峰值，其頻譜類似于高斯白噪聲序列的頻譜，表現了良好的隨機特性［11］。

2.3NIST測試

NIST測試套件是為了測試隨機數發生器的序列性能，由SP800－22rev1文件可知它包含15項測試［12－13］。本文主要將改進前后的二值序列通過NIST套件程序進行測試，通過測試結果對比這兩個序列的性能，其測試結果如表1所示。從表1可以看出，經典Logistic序列有6項未通過，而改進后的混沌序列其通過率明顯高于改進前的，經NIST測試驗證表現出了良好的隨機性。

表1　NIST套件測試結果

3　數字圖像加密安全性及性能分析

為了證明基于Logistic混沌序列改進算法在安全保密通信應用中具有良好的性能及安全性，本文將改進后的二值序列作為混沌序列密鑰對圖像深度為24的bmp數字圖像進行加密處理。其加密方法為將混沌二值序列與數字圖像像素值進行異或運算也即流加密，其加密前后bmp圖如圖4所示。

圖4　加密效果圖

下面對上述數字圖像加密安全性進行分析，首先分析其密鑰空間，由于其密鑰序列是基于Logistic映射，而又因混沌序列的初值敏感性，因此用初值作為密鑰可以保證足夠大的密鑰空間，采用暴力破解是不可行的［14］。

其次對加密前后圖像的灰度直方圖進行分析，一般來說，灰度直方圖的橫坐標是灰度級，縱坐標是該灰度級出現的頻率，它是圖像的最基本的統計特征。對于一副灰度值可能取值數目為L的圖像，直方圖的定義可表示為

式中:n為一副圖像的總像素，nk是第k級灰度的像素值，rk為第k個灰度等級，Pr(rk)表示該灰度出現的相對頻率，這L個頻率值Pr(rk)組成的一維向量hist［0，…，L－1］即為圖像的灰度直方圖。將加密前后的圖像進行MATLAB仿真，得到其RGB灰度直方圖如圖5所示。

圖5　直方圖對比圖

從圖5可以看出加密后圖像的灰度直方圖比較均勻，這說明了此密鑰序列的安全性能比較高，圖像在傳輸過程中不易受到篡改和解密，由此得出經改進后的混沌序列可安全應用到數字圖像加密中。

4　結束語

本文以Logistic混沌映射為基礎，對數字混沌系統的短周期現象以及數字混沌二值序列相關性強的問題進行了深入研究，提出了對經典Logistic混沌序列進行Arnold變換的改進方案。此方案可有效的避免因硬件計算精度受限而使得混沌序列內部出現短周期的現象，大大增加了Logistic數字混沌序列的周期，使此序列呈現良好的偽隨機性。除此之外，還將改進后的混沌序列作為密鑰序列對數字圖像進行加密，由實驗結果可以看出此加密序列具有較高的安全性，適合應用在保密通信系統當中。

參考文獻:

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范春雷(1991－)，男，漢族，黑龍江大學電子工程學院，碩士研究生，研究方向信息處理與保密通信，Chunlei_Fan@163.com;

丁　群(1957－)，女，漢族，黑龍江大學電子工程學院，教授，博士生導師，研究方向信息處理與保密通信，qunding @aliyun.com。

The Method of Dealing with Temperature Effect of Intelligent Roller Brake System

SONG Xianglong，JIANG Shubo*，YUAN Lincheng
(College of Automation and Electrical Engineering，Nanjing University of Technology，Nanjing 211816，China)

Abstract:In the use of the roller brake in a high temperature environment，the intelligent roller brake system will appear many malfunctions.A new solution is proposed.A sectional Fuzzy PI temperature control system is added into the traditional turnstile.We collected many volues of solenoid coil temperature，and calculated to find an adjusting way which drives stick refrigerated piece to let the temperature lower down.After from making statistics of 500 times～6 000 times of experiments，recording fault occurrences and analysing them deeply，we achieved better results in practical applications.

Key words:fuzzy control; temperature control; refrigeration; electromagnetic valve

doi:EEACC:7320R10.3969/j.issn.1005－9490.2015.04.010

收稿日期:2014－10－14修改日期:2014－12－12

中圖分類號:TP393.04; TN915.04

文獻標識碼:A

文章編號:1005－9490(2015)04－0759－05

項目來源:國家自然科學基金項目(61471158);教育部高等學校博士學科點專項科研基金項目(20132301110004)