一類反饋控制捕食-食餌系統平衡點的全局吸引

施春玲 ，王逸勤 ，陳育櫟

(1. 福州大學至誠學院,福建 福州 350002； 2. 福建教育學院,福建 福州 350002)

一類反饋控制捕食-食餌系統平衡點的全局吸引

施春玲1，王逸勤2，陳育櫟1

(1. 福州大學至誠學院,福建 福州 350002； 2. 福建教育學院,福建 福州 350002)

研究一類多時滯Lotka-Volterra捕食-食餌系統,通過構造多個Lyapunov函數,建立捕食-食餌系統正平衡點的全局吸引的充分性條件. 并進一步證明了當食餌種群絕滅,有其它食物來源的捕食者也能穩定在某個值.

捕食-食餌系統； 平衡點； 時滯； 全局吸引

1 引言及預備知識

考慮以下Lotka-Volterra捕食-食餌系統:

其中：x(t)，y(t)分別表示食餌，捕食者在時刻t的種群密度;r1>0，r2>0分別表示食餌的內稟增長率和捕食者有其他食物來源的內稟生長率;aii>0，(i=1，2)表示種內作用系數;aij>0，(i≠j=1，2)表示種間作用系數，τ1>0，τ2>0分別表示追捕時間和捕食者的成熟期.

對于系統(1)，當r2<0時，表示捕食者沒有其他食物，以食餌為唯一的食物來源，文獻[1]討論了正平衡點的穩定性及局部Holf分支，在此基礎上用等變拓撲理論建立一般的泛函微分方程的全局分支. 還有許多學者[2-7]對系統(1)或者其特殊形式解的持久性、周期性、或是Holf分支等做了大量工作. 但對系統(1)正平衡點和邊界平衡點穩定性的研究至今尚未見報道，于是我們假設τ=max{τ1，τ2}，φ(θ)，φ(θ)在[-τ，0]上是連續函數，系統(1)滿足初始條件

假設:

有以下引理：

引理1 若條件(H1)成立，容易得到系統(1)有唯一個正的平衡點(x*，y*)，其中，

2 主要結論

定理1 若條件(H1)和(H2)成立，則系統(1)的唯一正平衡點(x*，y*)是全局漸近穩定的.

證明 作Lyapunov函數

所以由系統(1)得到，

所以

定義V(t)=V1(t)+V2(t). 由式(6)和(7)得：

所以從式(8)容易得到

初始條件(2)和引理2意味著存在一個M>0，對所有的t∈R，0

所以V(T)有界. 因此由式(10)得知:

證明 條件(H3)成立，所以總存在常數α>0，β>0使得

所以存在常數ε>0，使得

令

兩邊同時求導

因此，由式(13)、(14)和a11α+βa21>0 ，得到W′(t)≤-εW(t).從0 到t進行積分，得到

同定理1的證明，存在M>0使得0

另一方面，

綜合式(15)和(17)，可以得到

M-βexp(-βa21Mτ2-αa12Mτ1)xα(t)≤W(t)≤W(0)exp(-εt)

所以

xα(t)≤Mβexp(βa21Mτ2+αa12Mτ1)W(0)exp(-εt)

即

所以

與定理1的證明類似，存在M>0使得0

定義M(t)=M1(t)+M2(t). 由式(20)和(21)得：

從T→t對式(22)兩邊同時積分，

3 數值模擬

例1 考慮以下時滯的捕食-食餌系統

例2……