接觸式輪軌外形測量儀器的半徑補償方法

向文明，江海琳，沈 鋼

(同濟大學 鐵道與城市軌道交通研究院，上海 201804)*

0 引言

由于車輪和鋼軌的斷面外形在鐵道車輛橫向動力學行為中起支配作用，準確獲取車輪與鋼軌的斷面外形成為一件重要工作.對于輪軌外形的測量，按測量原理可以分為接觸式和非接觸式兩類［1］.目前，接觸式以其測量精度高、穩定和測量范圍大而被大量采用.國內外的接觸式測量儀器其測量連桿末端都連接有測量輪，測量滾輪滾過測量對象表面即能測出斷面輪廓的外形.桿機構帶動編碼器旋轉，測量系統采集到角度數據.通過角度數據和數學計算模型只能得到測量輪的輪心坐標，要想得到被測對象的實際輪廓曲線的坐標數據，還需要對輪心軌跡數據進行滾輪半徑長度的偏移，通常我們稱這一過程為半徑補償.

當前，對于上述的半徑補償問題方法眾多，包括測量方向補償法、線線補償法、二點補償法、三點共圓補償法、B樣條曲線逼近法等［2］.相關的研究所采用的方法大多都是有其適用條件的，對任意形狀的輪心曲線進行半徑補償效果并不穩定.本文根據補償時求導方式的不同，分別用了三點平均導數法和高階傅里葉函數擬合法這兩種方法實現補償，并通過巧妙的算法設計使其能對任意曲線進行半徑補償.在離散點足夠密集的情況下，三點平均導數法和高階傅里葉函數擬合法都是有效的方式，離散點稀疏的情況下高階傅里葉函數擬合法更優.

1 半徑補償原理

在滾輪滾過測量表面時，滾輪始終是與測量表面相切的(圖1).滾輪輪心在任意的(xo，yo)位置時，始終有對應的唯一切點(x，y)，且點(x，y)位于滾輪輪心坐標(xo，yo)的法線方向.

圖1 半徑補償原理圖

假設滾輪輪心曲線方程為yo=f1(xo)，輪廓曲線的方程為y=f(x)，滾輪半徑為R，點(xo，yo)法線與水平軸間的夾角為θ.對于輪心曲線上的任意一點(xo，yo)，切點(x，y)可以通過如下方程求解組求解:

方程組(1)有兩個解，而輪心曲線內側解是我們所求的.

由方程組(1)可求得:

其中:

cosθ和sinθ的正負號取值根據輪心曲線的走向而定.

求得輪心曲線上每個(xo，yo)點對應的導數值f1'(xo)，即可根據式(2)得到對應的輪廓曲線上的點(x，y).

2 半徑補償的實現

由半徑補償的原理可知，實現半徑補償的關鍵在于求得輪心曲線上每個離散點的準確導數值.因此，根據離散點求導方式的不同使用了兩種方式實現.

2.1 三點求導法

測量儀器得到的輪心曲線是由離散點構成的，通常這些離散點是十分密集的(間距在0.5 mm左右).因此輪心曲線上某點(xi，yi)的導數值可以用下式近似:

其中坐標點(xi-1，yi-1)和(xi+1，yi+1)表示點(xi，yi)的相鄰兩點.

2.2 高階函數擬合求導法

用高階傅里葉表達式擬合輪心曲線，從而求得輪心曲線的解析式，再對解析式求導，即可求得輪心曲線任意坐標位置的導數值［6］.

n階傅里葉擬合表達式為:

假設輪心曲線由 (x1，y1)，(x2，y2)，… (xi，yi)，…(xm，ym)m個離散點構成，由擬合方程(4)可知:

令則式(5)可以寫成XM=Y.

基于最小二乘條件下的擬合系數矩陣解M應滿足J=‖XM-Y‖min=((XM-Y)T(XMY))min.由，可得矩陣

M=(XTX)-1XTY

2.3 算法設計

使用上述兩種方法對輪心軌跡曲線直接求導后代入式(2)，補償任意的輪軌廓型時效果并不理想(圖2).這是由于在輪心軌跡曲線的豎直線部分，輪心坐標的導數值在正負無窮大來回跳動，導致補償的方向無法準確判斷，補償的結果數據點也相應地跳變.

為了克服上述的補償結果跳動的問題，基于曲線在坐標系中的旋轉變換并不改變曲線的形狀的思想，設計了巧妙的輪軌廓型半徑補償算法.補償算法能適應任意形狀的輪心曲線.

圖2 輪軌廓型的補償效果

基于三點求導方式下的補償算法:

(1)對于輪心曲線上的除首位兩點外的任意點 (xi，yi)，計 算 其 與 相 鄰 兩 點 (xi-1，yi-1)、(xi+1，yi+1)的橫、縱坐標差的絕對值最小值mindx=min(|xi-xi-1|，|xi+1-xi|，|xi+1-xi-1|，mindy=min(|yi-yi-1|，|yi+1-yi|，|yi+1-yi-1|);

(2)如果mindx＞mindy，則轉(3)，否則轉(4);

(3)xi點處的導數值為f'(xi)=.如果xi+1＞xi-1，則 cosθ否則 cosθ.補償后的輪廓外形坐標點為(xi+Rcosθ，yi-Rsinθ);

(4)令 xnew1=yi-1，ynew1=-xi-1，xnew2=yi，ynew2=-xi，xnew3=yi+1，ynew3=-xi+1.變換后，對應點的導數值為如果 xnew3＞ xnew1，則 cosθ=，否則.補償后的輪廓外形坐標點為(-ynew2+Rsinθ，xnew2+Rcosθ).

基于高階函數擬合法求導法設計的半徑補償算法與基于三點求導法設計的算法思路相似.擬合法先將輪心曲線分段擬合，擬合前先根據分段曲線的特征來判斷是否需要相對坐標作旋轉變換，及旋轉多少角度的變換.將旋轉變換后的某段輪心曲線用高階傅里葉函數擬合后，求出變換后的輪心曲線的半徑補償點，再將這些補償點作逆向等角度的旋轉變換后得到的點即為實際的輪廓外形數據點.

改進后的半徑補償算法能適應任意形狀的輪心曲線(圖3).

圖3 改進補償算法的補償效果

3 算法測試

將上述的兩種半徑補償算法編寫為C++代碼嵌入到與輪軌外形測量儀器配套的數據處理與分析軟件中.通過使用實際的輪軌外形測量儀器(圖4)測量并將測量結果與標準驗證樣塊進行比較，結果表明:在設置測量儀器角度編碼器采樣步長控制脈沖數為40(影響數據采集疏密程度的參數)時，基于三點求導法和高階傅里葉函數擬合求導法的半徑補償算法均能實現較理想的半徑補償效果，補償的最大偏差能控制在1 μm以內，這遠小于角度編碼器自身精度帶來的的誤差值.步長控制脈沖數進一步減小時，算法的補償精度提高不明顯.步長控制脈沖數增加到一定程度，輪心曲線數據更稀疏后，可以發現采用基于擬合求導方式的半徑補償算法更優.算法的補償偏差只來源于輪心坐標的導數值誤差，理想上當輪心坐標的導數值完全準確時，補償的結果沒有偏差.對于輪心曲線變化急劇的位置，離散點過于稀疏后，采用三點求導法(按式(3)計算)求得的導數值就不再精確了，因而補償的偏差就會較大.為保證半徑補償的精度，建議在設置儀器編碼器采樣步長的脈沖控制數不高于40.

圖4 輪軌外形測量儀器及測試驗證模塊

4 結論

本文研究了用于接觸式輪軌外形測量數據處理的半徑補償算法.通過算法設計，使得半徑補償算法能夠適應任意形狀的輪心曲線.經實際儀器測量，驗證了設計的補償算法的有效性及高精度，同時也指出了半徑補償方法的補償偏差來源，指出了保證補償精度的條件.

［1］沈鋼，黎冠中，李小江，等.輪軌踏面外形的實際測量及幾何接觸的進一步研究［J］.鐵道學報，1999(5):24-28.

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［4］王凌云，和延立，姚偉.數控系統的刀具半徑補償技術研究［J］.浙江工業大學學報，2005(2):219-222.

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［6］蔡山，張浩，陳洪輝，等.基于最小二乘法的分段三次曲線擬合方法研究［J］.科學技術與工程，2007(3):352-355.

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