基于排隊論的公交?？空就ㄐ心芰δＰ脱芯?/h1>
2015-02-18 01:28:32尹雨絲
大連交通大學學報 2015年2期
尹雨絲，吳 中
(河海大學 土木與交通學院，江蘇 南京 210098)＊
0 引言
隨著城市交通擁堵問題的日益嚴重，優先發展公共交通系統是解決我國交通擁堵問題的主要措施.公交停靠站是公共交通系統的重要組成部分，用于公交車輛?？亢统丝蜕舷萝??？空镜挠行Ю檬谴龠M公交優先的措施之一，對于解決交通問題有重要意義.雖然美國通行能力手冊［1］已經提供了估算公交?？空就ㄐ心芰Φ墓胶蛨D標，但有研究表明其并不準確［2］.目前大多數研究基于計算機仿真［3-5］，現有的分析模型只適用于入口排隊始終存在的?？空荆?］，缺乏對其他實際情況的分析.因此，有必要對公交?？空镜耐ㄐ心芰M行更切實際的研究.本文從這一方面入手，在保持目標服務水平的前提下，推導更加適合預測公交?？空咀畲笸ㄐ心芰Φ睦碚撃Ｐ?該模型以平均車輛延誤作為評價指標，用“允許公交流量”描述停靠站最大通行能力，強調服務對象的制約作用.
1 研究方法
排隊論涉及服務系統的研究主要分為并行系統和串行系統兩類.本文模型以馬爾可夫鏈［7］嵌入在公交車排隊過程中為特征，假設公交?？空静皇芙煌ㄐ盘柡推渌煌？空居绊?為多條線路提供服務;公交車的到達符合泊松分布，在入口排隊和多泊位停靠站內部禁止汽車超車;?？空居糜谏舷驴偷墓卉嚪諘r間服從獨立同分布［8-9］.
為簡便起見，本文研究了兩種特殊情況下的精確解.即:①公交車服務時間確定的多泊位停靠站;②服務時間呈均勻分布的兩泊位?？空?分別命名為M/D/c串行系統和M/G/2串行系統，以Kendall［10］和SERIAL作為?？空九抨犚巹t.
1.1 嵌入式馬爾可夫鏈
本文定義公交站臺沒有公交車?？康乃查g為一個再生點，兩個連續的再生點之間的時間間隔為一個周期.設?Ln為第n個周期開始時?？空救肟诠卉嚺抨爺盗?τ為公交車到達率;c為串行泊位數.可以得到以下結論:給定τ、c和服務時間分布形式，隨機過程{?Ln}即為馬爾可夫鏈.
1.2 轉移概率
規定單個泊位的理論服務能力μ為1，服務強度γ=τ/μ=τ.馬爾可夫鏈的轉移概率:
一般情況下，對任意c和公交車服務時間分布，Pi，j可進行數值計算.對于M/D/c串行和M/G/2串行系統，Pi，j可以用γ、c和公交服務時間的累積分布函數Fs(t)表示.
1.3 極限概率平衡方程及其求解
令 P=［Pi，j，i≥ 0，j≥ 0］為轉移概率矩陣;πi(i≥0)為i狀態下馬爾可夫鏈的極限概率，即:πi={=i};π=［π1，π2，…］為馬爾可夫鏈的極限分布.因此，π是極限概率平衡方程π=πP的解.
1.4 平均車輛延誤
以平均車輛延誤作為服務水平評價指標［11］.令 μ為1是兩個無量綱平均延誤的總和:平均等待延誤和平均駐站延誤
若已知c，則TLn和Rn只取決于、和周期內服務的公交車數Bn.因此:
上述公式適用于M/D/c串行系統.由于服務時間是確定的，平均駐站延誤在這種情況下是0.M/G/2串行系統的可以用類似的方法獲得，具體步驟在此不再闡述.
2 公交?？空就ㄐ心芰Φ睦碚撃Ｐ?/h2>2.1 模型建立
鑒于上述情況，M/G/c串行系統的近似公式可以用排隊論構造［12］:表示排隊中的平均車輛延誤，服務率α是公交車流入量與?？空驹试S公交流量的最小上界之比.因此，α的取值范圍從0到1.
給定
合并(3)、(4)得:W，可以利用負載率γ 和α 之間的關系估計?？空救菰S車流量. 即:
2.2 模型驗證
表1 服務時間確定的相對誤差 %
表1給出的是公交車服務時間確定時的結果，表中的每個數據表示通過式(7)求得的允許公交流量γ與仿真模擬所得的γ之間的誤差百分比.大多數情況下誤差在2%以內，只有當和c很小時，才會出現較大誤差.因為當預測值γ本身很小時，其具有最小平方誤差.
表2 服務時間均勻分布的相對誤差 %
表2給出的是服務時間均勻分布時的結果.時間分布的范圍是 [ Smin，Smax]，Smin=1-Cs，Smax=1+Cs.CS的取值范圍由實際觀察獲到［13］.大多數情況下誤差在10%以內，只有當c=1、很小時，才會出現較大誤差.較大的誤差可以歸因于式(7)存在最小平方誤差.
3 模型的效應分析
3.1 最大泊位通行能力
圖1 c泊位停靠站最大單泊位允許交通流量
3.2 公交車擁堵
將多泊位?？空镜脑试S公交流量γ與理想?？空?公交車可以自由超越停駐車輛、無延遲進出停靠站)的γ相比，理想?？空镜摩帽绕胀ㄍ？空敬?，這種差異來源于車輛擁堵造成的允許公交流量損失.表3中數值顯示了允許公交流量由于擁堵減少的百分比［14］.
首先，在給定c的情況下，比較表中任意一列可得，允許公交流量的損失隨CS的增大而增大.這揭示了公交車擁堵程度隨公交車服務時間的變化規律.
第二，給定CS和，c=3時，允許公交流量的降低比c=2時更為明顯.因此，泊位的增加會加重擁堵問題.
表3 車輛擁堵對停靠站允許公交流量造成的相對損失%
4 結論
(1)以排隊論為基礎，將馬爾可夫鏈嵌入公交車排隊過程，假設公交車的到達符合泊松分布、停靠站用于上下客的公交車服務時間為獨立同分布，推導出了普遍適用的公交?？空就ㄐ心芰Φ睦碚撃Ｐ?
(2)該模型揭示了服務時間的變化對通行能力的影響，并表明時間管理方案的價值.研究表明，該模型尤其適用于多泊位?？空?
(3)通過與仿真結果的對比發現，該模型能夠較好地反映泊位數和服務時間變化對通行能力的影響.該模型較現有的公交?？空驹O計和分析方法更為合理，能更好的適應公交?？空镜囊巹澰O計以及實際交通狀況.在誤差可接受范圍內，為停靠站運營人員提供了一個簡單快速的方法來設計停靠站或評估?？空境杀緭p失.同時可應用于其他串行排隊系統，如出租車排隊和公路收費站等.
［1］MANUAL H C.Highway capacity manual［M］.［s.l.］:［s.n.］，2000.
［2］FERNáNDEZ R.Modelling public transport stops by microscopic simulation［J］.Transportation Research Part C:Emerging Technologies，2010，18(6):856-868.
［3］龔曉嵐，魏中華.基于Vissim的公交?？空居行Р次粩捣治觯跩］.交通與計算機，2009，27(2):140-142.
［4］孫鋒，王殿海，馬東方.直線型公交?？空就ㄐ心芰τ嬎惴椒ǎ跩］.西南交通大學學報，2013(3):546-552.
［5］楊群，晏秋.公交?？空就ㄐ心芰Ψ治觯跩］.道路交通與安全，2010(5):49-51.
［6］ESTRADA-ROMEU M，ORTIGOSA J，ROBUSTE F.Tandem bus stop capacity［C］//Transportation Research Board 90th Annual Meeting，2011 .
［7］鄭建湖，林小惠，鄭禮席，等.基于馬爾可夫鏈模型的交通擁擠狀態預測［J］.交通標準化，2012，22:76-79.
［8］劉娟.有負顧客的M/G/1重試可修排隊系統的極限分布［J］.華東交通大學學報，2007，24(1):165-167.
［9］劉宗明，賈志絢，李興莉.基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通量預測［J］.華東交通大學學報，2012，29(1):30-34.
［10］KENDALL D G.Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain［J］The Annals of Mathematical Statistics，1953，24(3)，338-354.
［11］吳彪，齊英杰.公交?？空拒囕v延誤的調查分析與對策［J］.城市公共交通，2009(6):27-29.
［12］NOZAKI S A，ROSS S M.Approximations in Multi-Server Poisson Queues［R］.California University Berkeley Operations Research Center，1976.
［13］JACQUES K S，LEVINSON H S.Operational analysis of bus lanes on arterials［M］.US:Transportation Research Board，1997.
［14］李凱勝，馮佳，李夏苗.多線路公交?？空镜脑O置研究［J］.交通運輸系統工程與信息，2011，11(S1):187-193.
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1.1 嵌入式馬爾可夫鏈
本文定義公交站臺沒有公交車?？康乃查g為一個再生點，兩個連續的再生點之間的時間間隔為一個周期.設?Ln為第n個周期開始時?？空救肟诠卉嚺抨爺盗?τ為公交車到達率;c為串行泊位數.可以得到以下結論:給定τ、c和服務時間分布形式，隨機過程{?Ln}即為馬爾可夫鏈.
1.2 轉移概率
規定單個泊位的理論服務能力μ為1，服務強度γ=τ/μ=τ.馬爾可夫鏈的轉移概率:
一般情況下，對任意c和公交車服務時間分布，Pi，j可進行數值計算.對于M/D/c串行和M/G/2串行系統，Pi，j可以用γ、c和公交服務時間的累積分布函數Fs(t)表示.
1.3 極限概率平衡方程及其求解
令 P=［Pi，j，i≥ 0，j≥ 0］為轉移概率矩陣;πi(i≥0)為i狀態下馬爾可夫鏈的極限概率，即:πi={=i};π=［π1，π2，…］為馬爾可夫鏈的極限分布.因此，π是極限概率平衡方程π=πP的解.
1.4 平均車輛延誤
以平均車輛延誤作為服務水平評價指標［11］.令 μ為1是兩個無量綱平均延誤的總和:平均等待延誤和平均駐站延誤
若已知c，則TLn和Rn只取決于、和周期內服務的公交車數Bn.因此:
上述公式適用于M/D/c串行系統.由于服務時間是確定的，平均駐站延誤在這種情況下是0.M/G/2串行系統的可以用類似的方法獲得，具體步驟在此不再闡述.
2 公交?？空就ㄐ心芰Φ睦碚撃Ｐ?/h2>2.1 模型建立
鑒于上述情況，M/G/c串行系統的近似公式可以用排隊論構造［12］:表示排隊中的平均車輛延誤，服務率α是公交車流入量與?？空驹试S公交流量的最小上界之比.因此，α的取值范圍從0到1.
給定
合并(3)、(4)得:W，可以利用負載率γ 和α 之間的關系估計?？空救菰S車流量. 即:
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表1 服務時間確定的相對誤差 %
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表2 服務時間均勻分布的相對誤差 %
表2給出的是服務時間均勻分布時的結果.時間分布的范圍是 [ Smin，Smax]，Smin=1-Cs，Smax=1+Cs.CS的取值范圍由實際觀察獲到［13］.大多數情況下誤差在10%以內，只有當c=1、很小時，才會出現較大誤差.較大的誤差可以歸因于式(7)存在最小平方誤差.
3 模型的效應分析
3.1 最大泊位通行能力
圖1 c泊位停靠站最大單泊位允許交通流量
3.2 公交車擁堵
將多泊位?？空镜脑试S公交流量γ與理想?？空?公交車可以自由超越停駐車輛、無延遲進出停靠站)的γ相比，理想?？空镜摩帽绕胀ㄍ？空敬?，這種差異來源于車輛擁堵造成的允許公交流量損失.表3中數值顯示了允許公交流量由于擁堵減少的百分比［14］.
首先，在給定c的情況下，比較表中任意一列可得，允許公交流量的損失隨CS的增大而增大.這揭示了公交車擁堵程度隨公交車服務時間的變化規律.
第二，給定CS和，c=3時，允許公交流量的降低比c=2時更為明顯.因此，泊位的增加會加重擁堵問題.
表3 車輛擁堵對停靠站允許公交流量造成的相對損失%
4 結論
(1)以排隊論為基礎，將馬爾可夫鏈嵌入公交車排隊過程，假設公交車的到達符合泊松分布、停靠站用于上下客的公交車服務時間為獨立同分布，推導出了普遍適用的公交?？空就ㄐ心芰Φ睦碚撃Ｐ?
(2)該模型揭示了服務時間的變化對通行能力的影響，并表明時間管理方案的價值.研究表明，該模型尤其適用于多泊位?？空?
(3)通過與仿真結果的對比發現，該模型能夠較好地反映泊位數和服務時間變化對通行能力的影響.該模型較現有的公交?？空驹O計和分析方法更為合理，能更好的適應公交?？空镜囊巹澰O計以及實際交通狀況.在誤差可接受范圍內，為停靠站運營人員提供了一個簡單快速的方法來設計停靠站或評估?？空境杀緭p失.同時可應用于其他串行排隊系統，如出租車排隊和公路收費站等.
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［7］鄭建湖，林小惠，鄭禮席，等.基于馬爾可夫鏈模型的交通擁擠狀態預測［J］.交通標準化，2012，22:76-79.
［8］劉娟.有負顧客的M/G/1重試可修排隊系統的極限分布［J］.華東交通大學學報，2007，24(1):165-167.
［9］劉宗明，賈志絢，李興莉.基于灰色馬爾科夫鏈模型的交通量預測［J］.華東交通大學學報，2012，29(1):30-34.
［10］KENDALL D G.Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain［J］The Annals of Mathematical Statistics，1953，24(3)，338-354.
［11］吳彪，齊英杰.公交?？空拒囕v延誤的調查分析與對策［J］.城市公共交通，2009(6):27-29.
［12］NOZAKI S A，ROSS S M.Approximations in Multi-Server Poisson Queues［R］.California University Berkeley Operations Research Center，1976.
［13］JACQUES K S，LEVINSON H S.Operational analysis of bus lanes on arterials［M］.US:Transportation Research Board，1997.
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