索網結構的形狀優化設計

尤國強, 劉瑞妮, 胡景勤

西安翻譯學院 工程技術學院，陜西 西安 710105

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索網結構的形狀優化設計

尤國強, 劉瑞妮, 胡景勤

西安翻譯學院 工程技術學院，陜西 西安 710105

摘要：針對太空可展開天線的特殊性能要求, 對周邊桁架式可展開天線索網結構進行了形狀優化設計。選取天線索網結構的上弦節點縱坐標為設計變量,繼而分別以索網表面精度和結構基頻為優化目標，建立了優化數學模型。考慮到索網結構有限元計算的非線性和復雜性，使用序列二次規劃法對模型進行求解。通過算例分析可知，文中的形狀優化計算方法可以有效地提高天線索網結構的工作性能，取得的優化結果和結論對于工程實踐具有一定的指導意義。

關鍵詞：可展開天線；索網結構；形狀優化；表面精度；基頻；優化數學模型；序列二次規劃法

劉瑞妮(1983-)，女，講師，碩士.

做為大型高精密儀器，太空可展開天線具有反射面精度、收納率、展開剛度等一系列特有的工作性能指標。只有在這些性能指標均滿足指定要求的情況下，天線才能在太空正常工作[1-4]，而通過優化設計來合理地給定天線的結構參數是實現上述目標最為行之有效的方法。

文中所研究的可展開天線整體結構形式如圖1所示。其中，天線的索網體系由48片結構形式相同并且呈輻射狀分布的索網結構組成，它主要用于形成天線的反射面系統，并且兩端分別與周邊桁架和中央圓筒相連。該索網體系的具體結構形式如圖2所示。

圖1　可展開天線整體結構

圖2　天線索網體系

當索網結構中所有上弦索節點的初始坐標位置均處于理想拋物線上時，在對結構施加初始預張力后，上弦索節點在張力的作用下將偏離其原來的理想位置而導致結構表面精度下降。因此，若希望在初始預張力已經確定的情況下進一步提高結構的表面精度性能，則可以通過形狀優化的方法來給出更為合理的上弦索節點初始坐標位置，從而使平衡態時的上弦索形狀更接近理想拋物線，以達到提高表面精度的目的。同時，由索單元切線剛度矩陣表達式可知，索單元節點的坐標位置也是影響單元切線剛度矩陣的因素之一。因此，基于以上考慮，文中將上弦索節點的初始坐標位置作為索網結構優化計算中的設計變量來研究它對結構性能的影響規律。

1優化參數的設定

由于可展開天線索網體系是帶有幾何非線性特征的柔性結構，而且其結構形式復雜，單元數目眾多，難于整體優化分析和設計，因此，為了便于研究，文中將具有相同結構形式的單片輻射索網結構作為子結構先行分離出來進行分析，以實現由簡到繁、由局部到整體的優化設計思路。

提取出的單片輻射索網結構的有限元模型如圖3所示。該模型采用兩節點直桿索單元建立，圖中標號1～36為節點號，θ1和θ2分別為上弦索單元K1、K2與水平方向所成夾角。結構中的上、下弦索沿中軸線對稱分布，它們均由17個索單元平滑連接組成；而中間縱向索則是由在對稱節點位置連接上、下弦索的16個豎直方向的索單元組成；整個單片索網結構共包含50個索單元。

圖3　單片輻射索網結構

可展開天線能夠正常工作的首要前提是確保其電性能達到預定要求。由天線設計理論中的Ruze公式可知，當天線反射面為理想設計曲面時，反射后的電磁波在其口面上會處于等相位狀態，而在這種理想情況下天線增益將不會有所損失。但實際上，天線反射面在外界載荷或結構內力的影響下必然會產生變形，這一變形將會使天線口面不再是等相位面從而引起電磁波的路程差(或稱光程差)，并導致天線增益下降[5-7]。考慮到天線反射面變形程度對其工作性能的重要影響，文中將上弦索的表面精度作為單片輻射索網結構的優化設計性能指標之一，該指標能夠較好地反映上弦索實際形狀與理想拋物線的變形偏差情況。

另外，由于天線在太空展開和工作時都必然會遇到振動的情況，故需要盡量提高結構基頻，使其遠離激勵(衛星姿態調整或變軌)頻率，從而避免諧振現象對天線的破壞，確保天線結構的動力性能。因此，文中以單片輻射索網結構的基頻作為優化設計的另一個性能指標。

在優化設計變量方面，如前文所述，將上弦索節點的初始坐標位置作為索網結構形狀優化中的設計變量。需要指出的是，如果從索網結構的生產制造實際情況出發，則優化上弦索節點初始坐標位置實質上就是對上弦索單元和中間縱向索單元原始索段長度的優化調整。

由于單片輻射索網結構的表面精度是根據上弦索單元節點平衡態時的縱坐標值與其在理想拋物線上的縱坐標值之間的偏差計算得出的，因此，為避免過多的設計變量數目給優化計算帶來不利影響，文中僅將上弦索節點初始縱坐標值相對于理想位置的變化量作為優化時的設計變量；在優化迭代計算時只需將這一變化量與節點在原來理想位置時的縱坐標值相加得到新的節點初始縱坐標值。另外，因為索網結構上弦索單元共包含18個節點，而左右兩端的2個節點又為固結點，故此處節點縱坐標變化量的數目共有16個。

2 以表面精度為目標函數時的優化計算分析

以表面精度最小為目標函數，以16個上弦索節點縱坐標變化量為設計變量，可以建立如下優化數學模型：

(1)

(2)

圖3所示的單片輻射索網結構為優化對象進行優化計算時，索網結構的索材料設為芳綸纖維材料，其單元彈性模量和密度分別取為1.24e11 N/m2和1.45e3 kg/m3；優化計算時將索單元初始預張力值均取為50 N，索單元半徑值均取為1 mm。在確定設計變量取值范圍方面，由于索網結構需具有反向雙曲結構形式，這樣就要求節點縱坐標的變化范圍不能設的太大而使上弦索出現直線或與原方向相反的彎曲結構形式。為此，在進行了一些試算的基礎上，文中將上弦索節點縱坐標變化量取值的上、下限分別設為1 mm和-1 mm，優化計算時16個設計變量的初始值均取為0 mm，此時上弦索的初始位置將正好處于理想拋物線上。

采用序列二次規劃法[9-12]對優化模型進行求解，得到的優化結果如圖4所示。其中，表面精度最優值為0.011 53 mm，它與計算初始值0.086 18 mm相比下降了86.62%；另外，此時的基頻值為4.303 25 Hz。表1列出了在最優解處設計變量的具體取值情況。

圖4　表面精度在優化迭代計算中的變化情況圖

表1 以表面精度為優化目標時最優解處設計變量的取值

上弦索節點號縱坐標變化量Δz/mm上弦索節點號縱坐標變化量Δz/mm2-0.004258100.0211603-0.015370110.0334604-0.042490120.0884905-0.036420130.10850060.042900140.1681007-0.035840150.2196008-0.007770160.27840090.014440170.307900

由表1可知，在最優解處上弦索節點縱坐標變化量的大小與其所在的索單元同水平方向夾角的大小有關，與水平方向夾角大的單元節點的縱坐標變化量也相應較大。這是因為當以表面精度為優化目標時，優化計算的作用實質上就是相對于理想位置預先給上弦節點一個變形量，以使變形后的上弦索形狀能夠盡量與理想拋物線重合，因此，優化得到的節點縱坐標變化量實際上反映的是各節點受力后偏離其原位置的程度。因為在初始預張力的作用下，與水平方向夾角大的索單元在豎直方向獲得的分力相應較大，故該單元上的節點在縱坐標方向上的變形量也較大，因此最優解處得到的節點縱坐標變化量會隨著節點所在單元與水平方向夾角的增大而增大。

另一方面，在整個優化計算過程中結構基頻值的變化很小，由此可知，當以節點坐標位置為設計變量時，可以實現在不影響結構的動力性能的前提下對表面精度進行優化設計。

國內相關研究機構已對可展開天線中的索網結構進行了較長時間的研究，在已有的較為成熟全面的研究中，文獻[8]以可展開天線中索網單元的預張力為設計變量進行了天線結構的優化設計，取得的優化結果中索網表面精度值為2 mm左右，且優化計算中基頻值受設計變量的影響非常大，這導致優化目標受基頻變化的影響難以得到更理想的最優解；文獻[13]以可展開天線中縱向索單元的長度為設計變量對天線索網結構進行了優化設計，取得的優化結果中索網表面精度值也為毫米量級，且基頻值受設計變量的影響同樣很大。與這些研究相比，文中取得的優化結果中，索網結構表面精度值為0.011 53 mm，且以文中提出的形狀優化方法進行優化計算時，結構基頻變化很小，這將能為可展開天線整體性能優化計算提供更有利的優化手段。

3 以基頻為目標函數時的優化計算分析

以結構的基頻最大為優化目標，以16個上弦索節點縱坐標變化量為設計變量，可以建立以下優化數學模型：

(3)

采用與上一節相同的參數設置以及計算方法來求解上面的優化模型，得到的優化結果如圖5所示。其中，最大結構基頻值為4.304 22 Hz，它與計算初始值4.303 29 Hz相比提高了0.021 61%；另外，此時的表面精度值為0.857 2 mm。表2列出了在最優解處設計變量的具體取值情況。

圖5　基頻在優化迭代計算中的變化情況

上弦索節點號縱坐標變化量Δz/mm上弦索節點號縱坐標變化量Δz/mm2010-13-111-14-112-15-113-16-114-17-115-18-11609-1171

由表2可知，最優解處上弦索最右端節點的縱坐標上移至取值范圍的上限，而中間13個節點的縱坐標則下移至取值范圍的下限。這樣的取值使得上弦索具有更大的彎曲程度，從而令結構內的應力水平達到最大，并相應地使結構基頻在此處也得到了它的最大值。

另外，在整個優化計算過程中結構基頻值的變化很小，這與上一節得到的計算效果相同。因此，可以進一步證實：上弦索節點縱坐標初始位置在較小范圍內的變化對結構的動力性能將不會產生很大的影響。因此，在可展開天線剛性結構部分設計給定的情況下，采用文中方法對索網結構進行優化設計，將不會降低天線的整體動力性能，這一點將有利于可展開天線整體結構的優化設計。

5結論

1)算例表明，以索單元節點坐標值為優化設計變量，應用序列二次規劃法，可以較好地解決包含精度、頻率等復雜優化目標的可展開天線幾何非線性索網結構的形狀優化問題，得到的優化結果對于工程實踐具有一定的指導意義。

2)通過以索網表面精度為目標的優化計算可知，最優解處上弦索節點縱坐標變化量的大小與其所在的索單元同水平方向夾角的大小有關，節點縱坐標變化量會隨著節點所在單元與水平方向夾角的增大而增大。由此可知，與水平方向夾角大的上弦索單元的節點縱坐標值在優化過程中對優化目標具有較大的影響。

3)由上面兩類優化計算可知，上弦索節點縱坐標初始位置在較小范圍內的變化對結構的動力性能將不會產生很大的影響。這表明，以節點坐標位置

為設計變量的天線索網結構形狀優化設計，不會在優化的同時降低索網結構的動力性能。

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網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1191.U.20151206.1008.006.html

Shape optimization of cable-net structures

YOU Guoqiang，LIU Ruini，HU Jingqin

School of Technology and Engineering, Xi’an Fanyi University, Xi’an 710105, China

Abstract：Based on the special requirements of deployable space antenna, a shape optimization method is proposed here for the cable-net structure of a perimeter truss type deployable antenna according to its special performance features. In this method, the optimal mathematical model is established with the vertical ordinate of upper cable nodes as variables, surface precision of cable-net and fundamental frequency of structure as objectives. And considering the nonlinearity and complexity of the finite element computation of the cable net, the sequential quadratic programming method is used to solve it. The analysis results of examples show that the shape optimization can effectively improve the structural properties of cable-net structures, and these results can be helpful for engineering practice.

Keywords：deployable antenna; cable-net structure; shape optimization; surface precision; fundamental frequency; optimum mathematic model; sequential quadratic programming

通信作者：尤國強，E-mail：simonyouyou@163.com.

作者簡介：尤國強(1980-)，男，講師，博士；

基金項目：陜西省教育廳資助項目(14JK2040).

收稿日期：2015-04-09.網絡出版日期：2015-12-06.

中圖分類號：V443.4

文獻標志碼：A

文章編號：1009-671X(2015)06-058-04

doi:10.11991/yykj.201504007