考慮顧客不耐煩情緒的生產系統訂金及產率決策研究

方 曦

（上海應用技術學院，上海 200235）

0 引言

在面向庫存的生產系統研究中，很少考慮人的因素對系統的影響。本文在生產系統中引入了人的不耐煩特性以及考慮經濟損失風險特點，來探討一個收取定金，具有可變速率的生產系統中的決策問題。

人的不耐煩特性使得系統中的顧客到達后會出現止步和中途退出兩種行為，從而影響最終的產品需求。收取定金在一定程度上能夠減少顧客的中途離開行為，但是也不可避免的加劇了顧客的止步行為。近年來，眾多國內外學者在服務系統的設計中，考慮了顧客的不耐煩性[1～7]。

定金決策涉及到加劇顧客止步和減輕顧客中途離開之間的平衡，可變速率轉換點決策涉及到增加生產成本和提高顧客訂單收益之間的平衡，兩者的決策需要依據系統的性能評估進行。本研究首先探討了行為建模的方式；其次，依據行為模型，將生產系統模擬為一個組裝系統，采用馬爾科夫方法獲得了系統的穩態解，并獲得了系統的重要性能指標，如產率、平均庫存等。最后，通過系統的性能評估以及經濟效益最大化原則，獲得系統的優化決策方案。

1 基本假設及問題描述

對于本文研究的生產系統，做以下假設：

①假設系統只有單一生產線，且其采取產率可變的生產策略。具體而言，當訂單低于某N*數值時，采用較低的生產率λp；當累計未處理訂單數高于N*時，采用較高的生產率。較高產率可以通過外包等方式獲得，其成本較高。

①顧客以泊松分布到達生產系統，到達速率為λd，假設每個顧客只訂購一個產品。

②顧客決定訂購產品需要首先付出一定的定金S，如果顧客等待過程中途取消訂單，定金不返回。

③顧客具有不耐煩的行為特點，其到達系統后，將評估系統中訂單的數量以及定金的要求，并以與兩者相關的一定概率進入系統；顧客進入系統后，如果等待的時間過長，將取消訂單。

④定金的數量和生產產率的變化點是系統面臨的兩個重要決策。一方面，如果定金過高，可能會使得顧客直接離開的人數過多，損失訂單；另一方面，如果定金過低，則起不到避免顧客排隊中途離開的目的。對于生產產率變化而言，過早的進行產率的變化，則成本過高，過晚的產率變化又會使得系統中訂單隊列過長，而損失顧客。因此，定金數量和生產產率變化點需要在考慮經濟效益的情況下，進行平衡研究。

2 考慮訂金和顧客不耐煩性的顧客行為建模

2.1 顧客行為

如前文所述，本研究假設顧客是有情感的，其對于等待的時間敏感，具有不耐煩性，并且顧客在決策中將考慮失去定金的風險。顧客的行為表現主要體現在兩個方面，即顧客止步行為以及顧客中途退出行為。

（1）顧客止步行為

顧客止步行為指顧客到達系統后，考慮到系統的訂單隊列過長，等待時間過長，或者定金過高，而直接采取不進行訂貨的行為。假設顧客止步受定金的影響因子為z，則顧客的止步概率可以描述為：

定金風險形成的止步與定金數量有關，也與定金返還的可能時間長短有關。對于一個固定的訂單隊列長度n,止步概率應該隨著S增加而增加；對于一個固定的定金，定金返還的可能時間隨n的增加而增加，從而止步概率增加。假設f(S，n)為Pr(定金風險造成止步)，本文假設：

S(1+δ)n表示顧客考慮時間因素的定金價值，其中n為訂單隊列長度,δ為敏感性參數。S*為顧客可接受的定金最大值。α＞1為敏感性參數。

隊列過長形成的止步受到訂單長度的影響，該概率為訂單長度n的凹函數。本文采取Perel and Yechiali[8]提出的概率函數

其中 0＜r＜1。

綜合以上因素，顧客進入系統的速率為：

（2）顧客退出行為

顧客下訂單之后，如果等待時間過長，仍然會離開系統，這種行為稱為顧客中途退出行為。一般假設顧客等待時間超過忍耐的上限值T，則顧客退出系統。因為顧客的異質性，假設T為均值為1θ的指數分布。考慮到本研究顧客已經付出了定金，顧客的退出概率將降低。另g(S)為顧客等待時間已經超過T后，顧客的離開概率：

其中0＜β＜1

因為顧客之間是彼此獨立的，因此，顧客的中途退出概率可以表示為：

2.2 考慮顧客行為的生產系統馬爾科夫模型

本文研究的生產系統是一個只包含一個生產線的面向庫存生產的系統。生產速率為指數分布形式，當系統中訂單的數量小于N*時，產率為λp，反之，為λp'。如上文所講，考慮到顧客的行為特點，系統的到達速率為λ'd(n)（公式（4））中途離速率為μe(n)（公式（6））。

根據以上分析，本研究把該系統構建成一個虛擬的組裝系統，并通過馬爾科夫模型對系統進行分析。虛擬的組裝系統中有兩類零件被組裝，其中一種為原來系統中的產品，另一種為原來系統中的訂單，如圖1所示。產品以λp或λp'（取決于訂單數量）到達系統，訂單以λ'd(n)到達系統，且訂單中途離開的速率為μe(n)。產品儲存在庫存Bp中，訂單儲存在訂單庫存Bo中。一旦產品和訂單同時存在，則被設備M組裝，假設組裝時間為0。因此，產品在Bp和訂單在Bo中不會同時存在。

圖1 虛擬組裝線

令Np(t)為Bp中的產品數，No(t)為Bo中的訂單數，則X={Np(t)，No(t)，t≥0} 形成馬爾科夫鏈，其空間為{0，No}∪{Np，0},其中No={0，1，2，3，...}，Np={0，1，2，3，...，C}，C為產品庫存存儲上限。則轉移率為：

轉移圖為：

圖2 狀態轉移速率圖

從轉移圖中，可以看出該馬爾科夫過程是一個生滅過程，根據生滅過程的穩態概率求解公式，可得到系統平穩概率如下：

令Ep為平均庫存值，Eo為平均訂單數，則

如果產品庫存不為0，所有的訂單都能被瞬時滿足，產率等于需求到達率λd，如果訂單庫存不為0，則系統的產率由生產速率決定，為λp或λp'(取決于訂單隊列長度).因此，系統的產率TH可以表達為：

考慮到系統中顧客的止步概率為(zf(S，j)+(1-z)(1-rj))λd,平均止步率B.R為

平均退出率R.R為：

平均損失率為兩者之和：

系統處于低產率的概率為

系統處于高產率的概率為：

3 以經濟成本優化為目標的定金及產率決策分析

考慮到定金和產率決策涉及到多種因素，采用經濟成本優化的方法來確定合理的定金及產率決策。

做如下符號定義：

R單位產品收益值；

h每個產品的庫存成本；

b單位產品缺貨成本；

c單位產品排隊成本；

a1低速率加工生產成本；

a2高速率加工生產成本；

該系統的訂單收益為TH*R，定金收益為S*R.R.，庫存成本h*Ep，缺貨成本b*L.R，等待成本為c*Eo，生產成本為a1×Prob1+a2×Prob2。

因此，系統的凈收益NP為

系統的定金和產率轉換點決策即找到使凈收益NP最大的S和N*。由于系統的目標函數較為復雜，呈現非線性，可以采用列舉法，遺傳算法，禁忌搜索等算法來獲得優化的決策點。

本文給出一個采取簡單的列舉法來獲得優化決策的算例。

假設C=15,λd=0.9,λp=0.3,λ'p=1,z=0.1,S*=10,δ=0.01,α=1.5,γ=0.97,β=0.8,θ=1/50,R=30,a2=26,a1=5,b=0.5,h=1，c=0.1,令S S*從0增加到80%，N*從1增加到20。采用本文提出的馬爾科夫法獲得系統的性能參數，并計算所有(N*,S S*)組合的凈收益NP。圖3顯示了該案例的計算結果。在所有的組合中，最大的凈收益為3.028，優化的定金為S S*=38%，速率轉換點為N*=4。

圖3 不同的S S*與N*組合的凈收益NP

4 結論

本文研究了考慮顧客不耐煩行為的生產系統中的定金決策和可變速率決策問題。文中給出了顧客行為建模的方法。基于顧客的行為模型，本文構建了虛擬的組裝系統來描述系統的狀態，并采用馬爾科夫方法獲得了系統的性能指標。這些性能指標被用于進行經濟效能分析，從而獲得系統的最優定金決策和可變速率決策。探討更為精確的顧客行為模型，以及具有批量訂單到達的生產系統等問題，可以作為進一步的研究方向。

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