基于區間數/貝葉斯的不確定性改進表上作業法與運用

沈愛鳳

（蘇州大學 東吳商學院，江蘇 蘇州 215021）

1 基礎模型構建

1.1 區間數的表示與計算規則

對于所有運價而言，經過兩兩比較就能夠得到大小關系，對于n個運價比較結果構建可能度矩陣，并得到綜合排序結果，從而對運價矩陣中區間數元素進行大小判斷。公式為：

另外在使用最小元素法（或Vogel）法進行初始基可行解求解、使用閉回路（或位勢法）進行非基變量檢驗數計算時，都會涉及到區間數運算，規則為：

值得說明的是：如果aL=aU，則區間數就退化成一個實數，如1，可以表示為[1，1]。

圖1 區間數關系示意圖

1.2 銷量預測的貝葉斯后驗概率

對于銷地的實際需求量，一般而言由具體情況決定，但往往計劃銷售量與實際銷售量有差異，這樣會導致因供給誤差帶來的運輸決策失誤。對于某銷地而言，有若干種可能的銷售狀況，記為φk(k=1，2，…L)，每種狀態對應的概率為 pk(k=1，2，…L)，經過調研或者購買情報得到可靠性數據 p(sj/φk)，然后得到聯合概率：

2 不確定性改進表上作業法步驟

2.1 最小元素法和Vogel法

（1）最小元素法。首先比較bj與al的大小，確定供需關系和根據產銷平衡原則設置虛擬產地或虛擬銷地；其次在實數矩陣C*中尋找最小元素，記為c*lk，則由產地Al向Bk供貨，因為產量是明確的，且銷量可以通過Bayes法預測，如果al＞bk，有效供給為bk，在產銷表的（l,k)格中填入bk，并劃去k列，如果相反則在對應格中填入al，劃第l行，剩下以此類推；

（2）Vogel法。依據價格元素比較得到的實數運價表（元素非價格意義），由原始區間型運價表中的次小元素減去最小元素，得到各行各列的差值，然后再根據可能度計算找出這些差值中的最大值，尋求最大值對應行或列中的最小值（這一步可以利用C*矩陣），確定供求關系。

表1 區間型產銷平衡表與運價表

2.2 計算非基變量的檢驗數與調整

因為閉回路法在產銷地個數和價格元素非常多的情況下，需要尋找多條閉回路（mn-m*n+1個)，步驟比較繁瑣，所以位勢法比較受青睞。存在以下關系式：

3 實例分析

某蔬菜生產企業下屬3個生產基地，分別記為A1，A2，A3，生產某類蔬菜且月供應量分別為60，40，30噸，對應4個銷售地，分別記為B1，B2，B3，B4，并且各地的銷售量情況如表2所示，這表示了4個銷地面臨著三種銷售狀態及對應概率（先驗概率）。為了簡便起見，本文假設四個銷地所搜集到的情報顯示對應的三種狀態的條件概率（表2第II部分），具體計算過程為基本模型中貝葉斯后驗概率部分。這里設定情報顯示 B1，B2，B3，B4的未來銷售狀態均為第二種，得到銷量為36、28、48、18，總計130。所以存在供大于求，應當設置一個虛擬的銷地B5，其需求量為140-130=10。

表2 銷地需求量的先驗概率與后驗概率

對應的運輸單價表可由表3所示。運價cij表示從i（i=1,2,3）地運送單位貨物到j地（j=1,2,3,4）的運費，共有12個元素。使用公式(1)進行兩兩比較，從而形成12×12的可能度矩陣，具體如表4，最后1列為排序值。根據最小元素法，由最小元素（0.063）確定供求關系，即A1向B3供貨，因為需求為48而供給為60，則有效供給為48，在（1,3）格中填入48，此時B3被滿足，而A1有12單位剩余。在運價表中劃去第3列，繼續尋找最小元素為c11=0.064，需求為36，而供給為12，則（1,1）中填入12，此時全部A1輸出，劃去第一行。尋找最小元素0.088，即由A2向B4供貨，運量為18，此時有22單位存貨，劃去第四列；類似的確定剩下供給量，最終結果為：

值得說明的是：在對偶變量及檢驗數的計算中，可能存在一些區間數下界大于上界的問題，但這并不妨礙表上作業法的運行，只需要將其值當作一個參考即可。根據檢驗數發現C(2，3)=[-4，-5]＜0，意味著在該條閉回路上進行調整，非基單元格增加一個單位運量會使成本下降[4，5]之間。本文在表3中尋找關于（2,3）格的閉回路：（2,3）→（1,2）→（1,1）→（3,1）→（3,2）→（2,2）→（2,3），閉回路上的偶數點有3個，其中最小運量為22，故確定其為調入量，在閉回路上的奇數格加入22，偶數點減去22。最終確定表上作業法的運算結果為：

表3 區間型單位運價表

表4 運價可能度綜合排序

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