基于重復測量數據的異方差測量誤差模型參數估計

曹春正，徐 越，侯明輝

（南京信息工程大學 數學與統計學院，南京210044）

0 引言

在經典回歸模型中，協變量假定為確定性的，即可以準確獲得。實際上，這點很難保證。協變量值的觀測值可能與真實值之間存在一定的誤差，稱之為測量誤差。如果忽略掉這一誤差建模，推斷或分析結果就會產生偏差。為處理此類數據，測量誤差模型得到了廣泛的研究與應用。[1～3]然而，大多數學者致力于研究同方差的測量誤差模型，對于在化學和醫學上常見的異方差情況研究較少。

一般線性測量誤差模型可表示如下：

一般的測量誤差模型理論大都基于測量誤差同方差假設。即便考慮了異方差情況[4,5]，也并沒有針對重復測量數據作研究。基于此，本文研究了異方差重復測量誤差模型（H-RME）的參數估計問題，并對模型的有效性進行驗證。

1 模型構建

假設在位置t，對于真值ξt和ηt，分別可獲得 p和q個重復觀測值 xti，i=1，2，…，p ，ytj，j=1，2，…，q 。于是異方差重復測量誤差模型可表示為

其中，ξt，δti，εtj兩兩相互獨立。

2 極大似然估計

一方面均值參數與尺度參數不正交，使得在迭代時算法很可能不收斂或異常；另一方面由于異方差的存在，使得估計變難。所以直接基于觀測數據對對數似然函數進行優化很難有效獲得模型的參數估計。Lin等[6]在正態分布假定下，建立了無方程誤差的RME模型EM算法估計迭代式，Lin和Cao[7]將其推廣到更一般的橢球分布情形。因此，我們利用EM算法[8,9]對模型(2)進行參數估計。

上述似然表達式中均忽略了常數項，下同。協方差矩陣Σ1t的逆可以根據矩陣求逆的理論[10]由下述閉合式得到：

3 模擬研究

利用Monte Carlo方法說明該模型的有效性，并對異方差重復測量誤差模型（“H-RME”），一般重復測量誤差模型（“RME”）的極大似然估計結果，不考慮測量誤差的基于均值的簡單最小二乘估計（記為“OLS”）和基于均值的回歸校正估計（記為“RC”）進行比較評判。

我們首先根據上述模型產生2000組樣本容量為30的隨機樣本。然后，基于此樣本數據，計算各種模型下參數的估計值和標準差。表1、2和3分別給出了不同異方差強度比下興趣參數 β0和 β1的模擬樣本偏差（記為“BIAS”）、模擬樣本標準差（記為“MCSE”）、平均漸近標準差（利用信息陣計算，記為“AESE”）以及模擬均方誤（記為“MSE”）。分析可得，H-RME估計在各種異方差強度下均方誤都最小，其次為RME估計，OLS估計最差。隨著異方差強度的增加，H-RME估計的偏差、標準差有略微的增大，但相比其他幾種估計的優勢卻越來越明顯。這說明，當存在顯著的異方差問題時，不考慮異方差性將使統計推斷出現嚴重偏差。另外，從樣本標準差和漸近標準差的接近程度來看，利用估計漸近標準差推算估計精度是合適的。

以上模擬結果充分表明了本文估計方法的有效性和存在嚴重異方差性時考慮異方差的重要性。

表1 異方差強度比h=1/2時各種估計方法比較

表2 異方差強度比h=2時各種估計方法比較

表3 異方差強度比h=10時各種估計方法比較

4 實例分析

我們將基于CSFII（Continuing Survey of Food Intakes by Individuals）數據[11]說明該模型應用。CSFII數據包含了1722名女性關于飲食習慣的24小時回訪記錄。在該數據中，我們將樣本分為“飲酒”和“不飲酒”兩組。我們視卡路里攝入量/5000為ξ，飽和脂肪酸攝入量/100為η，根據24小時回訪記錄計算出的對應營養物質量為ξ和η的觀測值x和y。

表4 CSFII數據估計方法比較

圖1給出了基于CSFII數據，由4種估計方法得到的兩變量間的線性擬合圖。通過散點的分布可以看出平均卡路里（xˉ）和平均飽和脂肪含量（）之間存在極強的線性關系。四種估計下，簡單最小二乘法（OLS）估計的斜率最小，這是由于OLS估計未考慮測量誤差，導致估計斜率出現了衰減現象。相比基于平均值的RC估計，H-RME估計和RME估計斜率要小些，且兩者最為接近，這是因為CSFII數據中只有δt具有不同方差，并且盡管存在異方差性，但方差變化范圍相對較小。總之，對于CSFII數據，就以上四種估計來說，基于RME和H-RME的估計要比RC估計和簡單OLS估計要可靠，而依據是否飲酒為分類標準的異方差測量誤差模型更加適合該數據。

圖1 平均卡路里和平均飽和脂肪量的線性趨勢圖

5 結論

異方差現象廣泛存在于各種數據中，忽略它將會給統計推斷帶來不同程度的偏差。本文研究了重復測量數據的異方差測量誤差模型建模和估計問題，給出了極大似然估計的EM算法。正如CSFII數據一樣，實際數據中，異方差的產生來源可能有多種，如年齡、性別、種族等。后續研究內容將包括含方程誤差的H-RME模型的參數估計和模擬研究等。

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