非自治時滯三種群食物鏈系統正周期解的存在性

趙 巍，謝叢波

(1.大連民族學院 理學院，遼寧 大連116605;2.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室工程力學系，遼寧 大連116024;3.東北師范大學 數學與統計學院，吉林長春130024)

種群生態學家對捕食者-食餌模型已經做了大量的研究。本文考慮具有改進DeAngelis -Bazykin 功能反應的非自治三種群食物鏈系統滿足初值條件:

xi(t)=φi(t)≥0，t∈［-τ，0］，φi(0)＞0(i=1，2，3)，

式中，xi(t)(i=1，2，3)為時刻t 時i 種群的密度，b1(t)為植物再生的自限制項，ai(t)(i=1，2，3)為無食餌時捕食種群的每頭增長率(或死亡率)，cj(t)(j=1，2)分別為食草和食肉動物的最大捕食率，αj(t)(j=1，2)分別為食草和食肉動物的半飽和常數，βj(t)(j=1，2)為捕食者種間競爭影響參數，fj(t)(j=1，2)為能量轉化參數，c3(t)為食肉動物的內稟增長率和最大環境容納量的比值;并且b1(t)，ai(t)，ci(t)，fj(t)，αj(t)，βj(t)(i=1，2，3;j=1，2)均為連續、正有界的ω 周期函數，τj(t)(j=1，2)為連續非負的ω 周期函數。

其改進體現在以下兩個方面:

(1)大多數經典模型，例如Oksanen 模型，植物V 的自身限制項是邏輯斯蒂增長的，結果導致模型的穩定性很容易破壞。因此，當只有植物量的一部分提供給食草動物時，假設生產者植物的增長服從再生增長模型，則更適合且簡單。

(2)在現實中，當不同的捕食者相遇時，它們可能會因為爭奪食餌而引起競爭。而且，功能性反應函數傳遞的能量也應隨著環境的改變而改變，即，捕食者之間存在競爭關系。

作者之前已經討論了具體的建模以及該三種群食物鏈自治系統的漸近行為［1］。然而，在許多生物和生態動力系統中環境的變化起著重要的作用。例如好的環境條件促進繁殖導致種群增長，反之，導致種群出生率降低，死亡率提高。而大多數自然種群的環境隨著時間的改變而改變，故系統必引入時間依賴參數，這樣模型必為非自治。目前許多人已經研究了非自治微分方程的種群模型，特別是具有周期系數的模型［2-9］。

本文主要討論上述非自治時滯系統的正周期解存在性的充分條件。運用的方法是基于重合度理論及其延拓定理，這個方法是由Gaines 和Mawhin［10］引入。

1 正周期解的存在性

定理2 若系統(1)滿足條件:

證明 作變換xi(t)=eui(t)，則系統(1)化為

其中fi(t，u):=(t)。顯然，系統(1)有周期解((t)，(t)，(t))T等價于系統(2)有周期解(eu*1(t)，eu*2(t)，(t))T。下面只證系統(2)的周期解的存在性。

首先定義

利用Lebesgue 控制收斂定理，得QN 和KP(I-Q)N 是連續的，再利用Arzela -Ascoli 定理，得QN(ˉ)，KP(I-Q)N()對X 的任意一個開有界子集Ω 都是緊的。因此，N 在ˉ上是L-緊的。

對應于算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，有

設u(t)=(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈X 是系統(2)對應于某個λ∈(0，1)的解，因(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈C(R，R3)，所以存在ξi，ηi∈［0，ω］，使得

由方程(5)可得

由方程(8)得

于是u1(ξ1)≥lnB1，u1(η1)≤lnL1，從而有

因為當τ1=0 時，不等式也應成立，故得

由方程(9)得

因為當τ1=0 時，不等式也應成立，故得

于是u2(ξ2)≥lnB2，u2(η2)≤lnL2，從而有

由方程(7)得

由方程(10)得

于是有u3(ξ3)≥lnB3，u3(η3)≤lnL3，從而有。

顯然Hi(i=1，2，3)的選取與λ 的選取無關。

對于R3中的常值向量u，利用積分中值定理，存在ti∈［0，ω］(i=1，2，3，4)使得

式中，

令H=H1+H2+H3+H4，其中H4＞0 充分大，使得系統QNu=0 的每一個正解(，，)T∈(假如存在的話)，滿足(，，)T=+＜H4。令

則Ω 滿足延拓定理［10］中的第一個條件。當u∈?Ω∩KerL=?Ω∩R3時，u 是R3中的常值向量且u=H，于是QNu≠0。令構造同倫映射

常值向量u∈?Ω∩R3且u=H，當u∈?Ω∩R3時，必有G(u，μ)=0。由拓撲度的性質，并取

則有

即Ω 滿足延拓定理中的第二個條件。由延拓定理，方程Lx=Nx 在DomL∩中至少有一個解，即系統(2)在Ω 中至少存在一個ω 周期解((t)，(t)，(t))T。令(t)=(t)，則((t)，(t)，(t))T為系統(1)一個正的ω 周期解。

定理證畢。

2 結 論

本文研究一類非自治三種群食物鏈捕食者-食餌模型。基于重合度理論及其延拓定理，最終得到該非自治時滯系統正周期解存在的充分條件。結果表明:當食草動物種群對植物的轉化率足夠大且死亡率和種間及外界的消耗率足夠小到滿足定理2 的條件(a)，食肉動物種群的死亡率足夠小且食肉動物種群對食物的轉化率足夠大到滿足定理2 的條件(b)，食肉動物種群對食物的轉化率足夠大且食草動物種群死亡率和種間及外界的消耗率足夠小到滿足定理2 的條件(c)時，系統存在周期正解，即食物鏈呈周期變化。

［1］趙巍，謝叢波，許軍妮.一類三種群食物鏈系統的動力學行為［J］. 大連民族學院學報，2009(5):438 -441.

［2］范猛，王克.一類具有Holling II 型捕食者-食餌系統全局周期解的存在性［J］. 數學物理學報，2001，21(A):492 -497.

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