二維Helmholtz方程的邊界元法

于善玲，張耀明

(山東理工大學理學院，山東淄博 255049)

二維Helmholtz方程的邊界元法

于善玲，張耀明

(山東理工大學理學院，山東淄博 255049)

在已有位勢問題工作的基礎上，建立求解二維Helmholtz方程邊值問題的間接變量規則化邊界積分方程，它不包含CPV強奇異積分和HFP超奇異積分的計算。數值算例表明:本文方法在低頻率下可取得較好的精度和效率。

二維Helmholtz方程邊值問題;間接變量邊界積分方程;邊界元法;奇異積分

Helmholtz方程在工程技術、電磁場理論、散射理論、力學等較多領域有著廣泛的應用，研究其數值解不僅有廣泛的實際意義，也有重要的理論價值。在Helmholtz方程的邊界型方法的研究中，主要是基本解法和直接邊界元法［1-7］。基本解法通過虛擬邊界避免奇異積分的計算，然而虛擬邊界的優化選擇是一個棘手的問題［5-6，8］，通常靠研究者的經驗或誤差實驗來完成。本文致力于二維Helmholtz問題的間接變量規則化邊界元法研究。與直接法相比，間接法更簡單、靈活和適用［8-10］。首先，基本場變量和其導數不直接關聯;其次，間接法更容易改變邊界積分方程的形式，以適合不同邊界條件的邊值問題;再者，基本場變量的梯度方程中不含有HFP積分。然而，二維Helmholtz問題的間接變量規則化邊界積分方程至今尚未得到充分的研究。本文在作者已有位勢問題工作［9-10］的基礎上，建立二維Helmholtz問題的間接變量規則化邊界積分方程。它無需處理HFP積分，與已有的直接變量邊界元法相比，降低了處理問題的復雜性，改進了計算效率。

1 預備知識

本文假定Ω是R2中的一個有界區域，Ωc是其補域，Γ=?Ω是它們的共同邊界。t(x)，n(x)分別是區域Ω的邊界Γ在x點處的單位切、外法向量。

1.1 Helmholtz邊界值問題

二維Helmholtz方程的控制微分方程為

混合邊界條件為

式中:u為勢函數;分別是已知u和的邊界。

二維Helmholtz方程的基本解為

定理1［9］設Γ是分段光滑曲線(開或閉)是Γ的一個點(可能是角點)，令若φ(x)∈C0，α(Γ)和是常數)，那么有

2 二維Helmholtz方程的間接規則化邊界積分方程

二維Helmholtz方程的內點邊界積分方程為

3 數值算例

為了考察結果的準確性，定義相對誤差

這里，Sexa，Snum分別是計算點處的精確解和數值解。

例1 所考慮的區域為邊界條件如下

計算時，邊界幾何采用精確單元描述，邊界量采用不連續線性插值逼近。邊界被等分成100個單元。當k=1時，表1、2分別給出了域內和邊界上u的數值解與精確解的比較。

例2 所考慮的區域是單位圓域:Ω={(x，y)|x2+y2≤1}，邊界條件如下

計算時，邊界幾何采用精確單元描述，邊界量采用常元插值逼近。邊界被等分成200個單元。當k= 1時，表3、4、5分別給出了單位圓內部u，邊界上u、q的數值解與精確解的比較。

表1 方域內點u的數值解與精確解的比較

表2 方域邊界上u的數值解與精確解的比較

表3 圓域內點u的數值解與精確解的比較

表4 圓域邊界上u的數值解與精確解的比較

表5 圓域邊界上q的數值解與精確解的比較

4 結束語

在已有位勢問題的基礎上，本文建立了二維Helmholtz方程邊值問題的規則化邊界積分方程，有效避免了奇異積分的計算，數值算例驗證了該方法的可行性。

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［2］Tomioka S，Nishiyama S.Analytical regularization of hypersingular integral for Helmholtz equation in boundary element method［J］.Engineering Analysis with Boundary Element，2010，34(4):393-404.

［3］Marin L，Lesnic D，Manticˇ V.Treatment of singularities in Helmholtz-type equations using the boundary element method［J］. Journal of Sound and Vibration，2004，278(1/2):39-62.

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［9］Zhang Yaoming，LYU Hexing，Wang Limin.Novel regularized boundary integral equations for potential plane problems［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2006，7(9):1165-1170.

(責任編輯何杰玲)

Boundary Element Method for 2D Helmholtz Equation Value Problems

YU Shan-ling，ZHANG Yao-ming
(College of Science，Shandong University of Technology，Zibo 255049，China)

Based on the existing work on potential problems，the indirect regularized BIEs of 2D Helmholtz equation value problems without the calculation of the CPV integrals and the HFP integrals were developed.Numerical examples demonstrate the feasibility and efficiency of this method with low wave number.

2D Helmholtz equation boundary value problems;indirect boundary integral equation;the boundary element method;singular integral

O342

A

1674-8425(2015)11-0139-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2015.11.024

2015-06-17

山東省自然科學基金資助項目(ZR2010AZ003)

于善玲(1988—)，女，碩士研究生，主要從事應用數學研究;通訊作者張耀明(1962—)，男，博士，教授，主要從事應用數學研究。

于善玲，張耀明.二維Helmholtz方程的邊界元法［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2015(11):139 -143.

format:YU Shan-ling，ZHANG Yao-ming.Boundary Element Method for 2D Helmholtz Equation Value Problems［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2015(11):139-143.