平面四參數坐標轉換模型的改進與應用研究

孫小榮 李明峰 劉支亮

1 宿遷學院建筑工程系，宿遷市黃河南路399號，223800

2 中國礦業(yè)大學國土環(huán)境與災害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，徐州市大學路1號，221116

3 南京工業(yè)大學測繪學院，南京市浦珠南路30號，211800

對法方程病態(tài)時最小二乘解撓動較大的問題，我國學者進行了大量研究［1－4］。在坐標轉換方面，文獻［5－12］證明布爾沙七參數模型在小區(qū)域（100km×100km 范圍內）應用時，平移參數與旋轉及尺度變化參數之間是強相關的，導致解算模型病態(tài)；文獻［13］對多項式擬合模型病態(tài)性問題進行研究。在坐標轉換中，判斷法方程系數矩陣是否病態(tài)的方法有很多，但具體病態(tài)到什么程度，沒有一個嚴格的界限，也沒有一種判別和處理病態(tài)的絕對有效方法。目前，坐標轉換中最常用的模型是平面四參數模型（也稱平面相似變換模型），但對其病態(tài)問題的研究較少。本文在判定平面四參數模型法方程系數矩陣病態(tài)的基礎上，采用中心化與縮小系數法相結合，來改善法方程系數矩陣的病態(tài)性，獲得穩(wěn)定可靠的轉換參數，為區(qū)域工程測量中平面坐標轉換提供參考。

1 經典平面四參數模型

平面四參數模型用于點在不同平面直角坐標系間的轉換。假設有兩個分別位于不同基準的平面直角坐標系O1－x1y1和O2－x2y2，將O1－x1y1下坐標轉換為O2－x2y2下坐標的模型如下［14］：

式中，x1、y1和x2、y2為某點分別在O1－x1y1和O2－x2y2下的平面直角坐標；α為旋轉參數（x1軸相對于x2軸的坐標方位角）；m為尺度參數；x0、y0為2個平移參數（原點O1在O2－x2y2中的坐標）。

公共點在兩個坐標系的坐標之差為：

令a1＝mcosα－1，a2＝msinα，上式可寫為：

寫成矩陣形式為：

在實施坐標轉換的局部區(qū)域，均勻選取若干公共點，將這些公共點的坐標差Δx、Δy視為“觀測量”。設這些觀測量的改正數為vΔx、vΔy，根據最小二乘法原理，由觀測方程（4）列出誤差方程，進而組成法方程，求解轉換參數，最后將轉換參數回代入式（1）即可完成坐標轉換。

因誤差方程系數矩陣B中的元素x1、y1的值很大，由公共點計算得到的法方程系數矩陣中最大元素與最小元素之比近似為1013量級，引起法方程系數矩陣病態(tài)。對于病態(tài)方程組，即使采用穩(wěn)定的算法，求解時也必然出現解的不穩(wěn)定現象，得不到令人滿意的結果［13，15］。

2 改進的平面四參數模型

鑒于經典平面四參數模型存在的問題，本文通過調整誤差方程系數矩陣的元素值，改進法方程系數矩陣的結構，減小其病態(tài)性。總的方法是將原經典模型繞原點O1旋轉改為繞某點P旋轉，具體步驟如下。

圖1 平面四參數轉換Fig.1 Planar four parameters transformation

1）將O1－x1y1的原點O1平移到某點P，形成一個過渡坐標系P－xPyP；

2）假設有垂直于xPyP平面的zP軸，以P點為旋轉點，將P－xPyP繞zP軸旋轉α，使經過旋轉后的P－xPyP與O2－x2y2的同名坐標軸平行；

3）將P－xPyP中的長度單位縮放m倍，使其與O2－x2y2的長度單位一致；

4）將O1分別沿x2、y2軸移動－x0、－y0，使其與原點O2重合。上述轉換過程可用數學公式表達如下：

改進模型的形式同經典模型，也包括4個轉換參數，其中平移參數的含義相同，但旋轉和尺度參數的含義不同，α、m為由P－xPyP轉換到O2－x2y2。上式將測區(qū)坐標進行了中心化處理，當xP、yP都為0時，即為經典模型，相當于繞O1點旋轉。

上式中，x1′＝x1－xP，y1′＝y1－yP，是測區(qū)中心化后的坐標；xP、yP為P點在O1－x1y1下的平面直角坐標，是公共點源坐標的平均值；其他變量含義同經典模型。假設測區(qū)有n個公共點，為第i點的坐標，則：

為進一步改善法方程系數矩陣的病態(tài)性，還需要對誤差方程系數中的元素施加適當的縮小因子k，即在前面求出x1′、y1′的基礎上，令

k的取值由測區(qū)范圍確定，例如測區(qū)范圍在100km×100km 左右，則中心化后的坐標均小于106量級（以m 為單位），此時可取k＝106；若k取值過大，也會造成矩陣主對角線元素不占優(yōu)，法方程系數矩陣病態(tài)。通過上面兩個步驟，有效降低了誤差方程系數矩陣中最大元素與最小元素的比值，改善了法方程系數矩陣的結構。

列誤差方程時，以經過中心化與縮小系數處理后的坐標x1″、y1″代替式（4）系數矩陣B中的原始公共點坐標x1、y1，此時式（4）變?yōu)椋?/p>

3 實例分析

3.1 試驗數據

某一測區(qū)東西長約21km，南北長約25km，網中共13個三等GPS點，分布如圖2所示，具有WGS－84和西安80 坐標系下的平面直角坐標。選擇G01～G09等9 個點作為公共點求取轉換參數，并以它們的WGS－84 坐標均值作為P點坐標，其余的G10～G13等4個公共點作為檢核點，取k＝103。設計經典模型和改進模型兩種試驗方案，分析在這兩種方案下模型的病態(tài)性、穩(wěn)定性和精度。

圖2 控制點分布示意圖Fig.2 Distribution of control points

3.2 模型的病態(tài)性

3.2.1 各參數之間的相關性

兩種方案各參數之間的相關性分別見表1、表2。

表1表明，經典模型x0與a1之間強相關，y0與a2之間強相關；表2表明，改進模型4個參數之間完全不相關。

表1 經典模型參數之間的相關性Tab.1 Correlation between the classical model parameters

表2 改進模型參數之間的相關性Tab.2 Correlation between the improved model parameters

3.2.2x0、y0與a1、a2之間的相關性

本文計算得兩種模型的法方程系數矩陣的條件數分別為4.8×1018、87，經典模型嚴重病態(tài)；而改進模型的條件數小于103，不病態(tài)，法方程性能大大優(yōu)于經典模型。原因是本文試驗數據對工程而言，這是一個較大的控制網，但相對于高斯投影分帶仍是較小區(qū)域，即坐標值差別較小。此時，式（1）右端的第2項對每個點都基本相同，即旋轉和尺度參數對每個點的影響基本一樣，而平移參數對每個點的影響是相同的。因此從數值上可以看出，對于小區(qū)域，平移參數與旋轉尺度參數之間存在強相關。而改進模型以P為旋轉點，其誤差方程系數矩陣中的元素值減去了P點坐標，即進行了中心化處理，同時也施加了縮小系數，在很大程度上改善了觀測結構，使得參數之間不存在相關性，估計的參數結果穩(wěn)定可靠。

3.3 模型的穩(wěn)定性

為了驗證模型的穩(wěn)定性，本文將G01點的西安80平面直角坐標作微小變化，即將該點的x增大0.01m、y減少0.015m，其余點的坐標不變，分別用變化前后的坐標求解轉換參數，結果見表3。

由測區(qū)公共點在兩坐標系的坐標差可知，測區(qū)近似的平移參數為x0≈6m，y0≈－123m，模型求解的2個平移參數值應近似等于該值。表3中，改進模型變化前后的平移參數均能反映出應有的近似值，經典模型的平移參數明顯偏離應有值，且4個參數之間數量級差別很大，a1、a2的系數幾乎為0，說明僅有平移參數在轉換中發(fā)揮作用，這與實際情況不符，這是因為法方程系數矩陣的病態(tài)性造成轉換參數之間量級的巨大差異。

表3 兩種情況的轉換參數及其精度Tab.3 Transformation parameters and precision in both cases

另由表3可知，變化前2個平移參數精度相同，a1、a2精度也相同，即精度均勻，變化后也有類似的結果。坐標的微小變化引起經典模型平移參數和精度較大的改變，分別達到m 級和dm 級，而僅引起改進模型平移參數及精度的微小變化，都為mm 級。可見，經典模型平移參數的精度和穩(wěn)定性均遠低于改進模型，坐標變動越大，改進模型優(yōu)勢越明顯。

3.4 模型的精度

由變化前后的參數分別得到13個點的兩次平面直角坐標。經比較發(fā)現，變化前兩種模型轉換得到的公共點與檢核點坐標相同，變化后兩模型結果也相同，但對于同一模型，變化后的精度略低于變化前。這是由于G01點的精度偏低引起的，應選擇質量高的點作為公共點。精度統計見表4。

表4 轉換精度統計／mmTab.4 Statistics about transformation accuracy／mm

雖然經典模型的平移參數精度與穩(wěn)定性差，但對轉換結果卻無影響。原因是經典模型參數之間相關性大，故參數有多組解，即當公共點坐標穩(wěn)定時，參數值唯一；當公共點坐標有微小變化時，參數值有較大變化。但不同的參數值都是經典模型的解，都滿足經典模型，因此轉換結果一樣。對于改進模型，本文計算的所有公共點與P點的距離最大為15.6km，最小為3.3km，平均為8.6 km。由表3可知，公共點繞P點旋轉，0.000 105的a1變化量和0.000 344的a2變化量引起的坐標變化量最大分別為1.6mm 和5.4mm。盡管a1、a2的變化量較大，但由于距離短，對坐標值的影響很小。

4 結 語

1）經典平面四參數模型采用原始坐標，模型存在嚴重的病態(tài)性，無法獲得穩(wěn)定可靠的轉換參數；通過測區(qū)坐標中心化及誤差方程縮小系數處理，可明顯減小法方程系數矩陣元素的數量級差異，使模型達到良態(tài)，可獲得穩(wěn)定可靠的轉換參數。

2）盡管經典模型嚴重病態(tài)，但轉換結果仍然可用，且與改進模型的轉換結果完全相同，公共點坐標的質量對轉換結果有一定的影響。

本文的改進模型為區(qū)域工程測量中的平面坐標轉換提供了參考，建議用改進模型代替經典模型。

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