針對一般傾角的走滑／傾滑位移理論公式的改進

鄒鎮宇 江在森 武艷強 魏文薪 劉曉霞 張 龍

1 中國地震局地質研究所地震動力學國家重點實驗室，北京市華嚴里甲1號，100029

2 中國地震局地震預測研究所中國地震局地震預測重點實驗室，北京市復興路63號，100036

3 中國地震局第一監測中心，天津市耐火路7號，300180

4 九州大學工學府，日本福岡市，819－0395

研究GPS速度場時通常會跨斷層作剖面，以研究斷層兩側上下盤的相對形變［1－3］。對于走滑斷層的震間形變，理論公式為反正切函數［4］。Beon［5］利用反正切函數擬合了死海斷裂帶北、中、南3段的走滑形變分量，分別得到3段斷裂的閉鎖深度。趙靜等［6］用反正切函數擬合汶川地震之前龍門山中段、南段走滑分量，得出震前中北段的應變積累高于南段，閉鎖深度較深。對于同震，Paul［7］利用1999年土耳其伊茲米特7.5級地震數據［8］進行走滑同震擬合，得到震前閉鎖深度8 km、同震破裂位移3.6m。目前斷層剖面擬合一般以斷層出露地表處為原點，沒有考慮傾角對變形分布的影響。本文針對這一問題，改進現有的斷層走滑／傾滑位移公式，使之能夠在擬合地表形變分布時顧及斷層傾角的影響。

1 一般傾角斷層的震間地表形變曲線

Savage和Burford［4］給出走滑斷層震間形變曲線位移公式，Fruend等通過“刃型”位錯給出傾滑斷層震間形變數學表達式［9］。公式都是基于位錯理論，認為斷層面不出露地表，以斷層面上邊沿作為原點，而實際中大量斷層出露地表的位置是清楚的。由位錯理論可知，斷層在一定深度以上閉鎖，閉鎖深度以下斷層面可滑動，斷層閉鎖與滑動的分界線就相當于位錯理論中斷層的上邊沿。因此，在研究震間形變時，可以將位錯理論得到的公式應用于出露地表的斷層。

1.1 走滑斷層

走滑斷層的震間形變公式為：

式中，S為上下盤相對位移；uy為平行斷層的位移；x為離開斷層的距離；d為斷層閉鎖深度；坐標原點為O′（并非是斷層出露地表處A，圖1），即斷層閉鎖與滑動分界線在地表的投影。圖1中，AB為傾角為δ的斷層，AO表示斷層的閉鎖段，OB表示斷層的滑動段，閉鎖段與滑動段的分界為O，其在地表的投影為O′，斷層出露地表處為A，｜OO′｜為斷層的閉鎖深度d，｜AO′｜記為doffset。

從式（1）可以看到，以斷層上邊沿O為原點，無論傾角如何變化，地表曲線的原點都是O′［7］，并非通常認為的A。所以，將斷層出露處A作為坐標原點，當斷層傾角不是90°時，地表位移曲線中心不對稱（圖1），且式（1）也不能反映斷層傾角信息。本文以斷層出露地表處為坐標原點，將坐標平移，得到新的走滑斷層的震間位移變化公式：

圖1 走滑斷層位錯示意圖Fig.1 Displacement diagram of strike－slip fault

當斷層傾角為90°時，式（3）變為式（1）。只對坐標進行簡單平移，即體現了傾角對地表形變的影響。

1.2 傾滑斷層

傾滑斷層震間形變數學表達式為：

式中，ux為水平方向垂直斷層的位移，uz為垂直于Z方向的位移，其他參數的意義同式（1）。與走滑斷層類似（圖2，參數意義同圖1），以斷層出露地表處為坐標原點，將坐標系平移，得到新的傾滑斷層震間形變公式：

式（5）是原點在斷層出露地表處的一般傾角斷層的傾滑震間形變數學表達式。

從改進后的公式（式（5））可以得出，曲線中心在斷層傾角非直立時不在斷層出露地表處，而在斷層閉鎖與滑動分界線在地表的投影處；曲線中心與斷層出露地表處的距離doffset、斷層閉鎖深度d和斷層傾角δ三者之間有tanδ＝d／doffset。

圖2 傾滑斷層位錯示意圖Fig.2 Displacement diagram of dip－slip fault

1.3 表達式檢驗

因為中國大陸內部以走滑為主的斷層傾角大都近乎直立，doffset太小，以目前GPS站點密度可能還不足以分辨，因此，以模擬數據檢驗改進公式的正確性。首先，生成一組隨機點，設置傾角為45°、閉鎖深度10km 的斷層，閉鎖段以下斷層面的滑動量為1m，利用Okada公式［10］計算每個點的位移，位移平行于斷層分量（圖3）。然后，作跨斷層剖面，分別對平行斷層的位移用式（1）、（3）進行擬合，比較兩個公式的擬合效果。

圖3 利用Okada公式模擬傾角45°的走滑斷層位移Fig.3 Displacement of the strike－slip fault with 45°inclination angle simulated by Okada formula

利用式（1）擬合的反正切函數為：y＝1.021×atan（（x）／13 293.799 2）；利用式（3）擬合的反正切函數為：y＝1×atan（（x＋10 000）／10 000.000 1）。式（1）擬合的反正切函數沒有反映傾角，且閉鎖深度為13 293.8 m；式（3）擬合的反正切函數有偏移10 000m，閉鎖深度為10 000.000 1 m。通過之前傾角、閉鎖深度與doffset三者之間關系，求得斷層傾角為44.999 999 7°。從擬合函數對比可以得出，改進后的公式擬合效果明顯好于原公式。從原公式與改進公式擬合結果與模擬結果的對比圖（圖4）和誤差圖（圖5）也可以明顯看出，改進后的公式擬合效果更佳，原公式擬合的誤差在斷層近場較大，改進后公式擬合的誤差在10－10數量級。

圖4 原公式與改進公式擬合結果和Okada模擬的走滑分量的對比Fig.4 Comparison of dip－slip displacement between the fitting results based on the original and improved formula and the Okada simulation

圖5 原公式與改進公式擬合結果與Okada模擬的走滑量的誤差對比Fig.5 Comparison of dip－slip displacement errors between the fitting results based on the original and improved formula and the Okada simulation

2 一般傾角斷層的同震位移曲線

同震位移形變由震間形變得到，同震位移與震間形變之和等于塊體長期相對運動。傾滑斷層也有類似關系。走滑斷層傾角為90°時，同震位移曲線的上下盤運動完全對稱（圖6）［11］。實際上斷層傾角一般不垂直，由于同震是沿斷層面破裂，這就與震間形變曲線中心的位置不一致。導致同震時因傾角影響，上下盤釋放量不對稱（圖7）。

圖6 同震位移、震間形變和塊體運動之間的關系［11］Fig.6 The relationship among the coseismic displacement，interseismic deformation and block movement

斷層傾角為60°的走滑斷層的震間曲線和同震曲線中心在斷層閉鎖與滑動分界線在地表的投影處，由于同震破裂是沿著斷層的，導致同震的位移曲線不對稱（圖7）。與走滑的同震位移類似，可以得到傾滑同震位移（圖8）

圖7 斷層傾角為60°的走滑斷層的震間（a）與同震（b）位移曲線Fig.7 The interseismic and coseismic displacement curve of strike－slip fault with 60°in clination angle

圖8 斷層傾角為60°的傾滑斷層的震間（a）與同震（b）的位移曲線Fig.8 The interseismic and coseismic displacement curve of dip－slip fault with 60°in clination angle

同震位移由塊體相對運動與震間形變求差獲得。本文統一給出了以斷層出露地表處為原點的同震表達式。對于一般傾角，由于震間形變曲線中心不在原點（斷層出露地表處），而同震是沿著斷層面運動的，所以導致同震時上下盤位移不對稱。

另外，根據本文討論，當發震斷層為盲斷層，地震破裂未達到地表時，同震位移的分布分界點也不是以斷層出露地表處為中心的，而可能是地下破裂最大的上邊緣［12－14］。

3 結 語

本文在已有的走滑／傾滑斷層的震間、同震位移公式基礎上統一坐標原點，給出了斷層出露地表處為原點的走滑／傾滑斷層的震間、同震表達式，通過對現有理論公式的改進，認識到傾角對震間、同震地表位移的影響：

1）由于斷層傾角的影響，走滑／傾滑的震間變形曲線中心一般不在斷層出露地表處，而在斷層閉鎖與滑動的分界線在地表的投影處。

2）無論走滑斷層還是傾滑斷層的震間形變，斷層閉鎖段與滑動段的分界線在地表投影與斷層地表出露處之間的距離doffset、斷層閉鎖深度d和斷層傾角δ之間存在關系：tanδ＝d／doffset，此關系揭示了斷層的閉鎖深度與斷層傾角之間的內在關系。

3）由于傾角影響，震間形變曲線以斷層閉鎖段與滑動段的分界線在地表的投影處為中心，同震時沿斷層出露地表處發生相對運動，導致上下盤同震釋放的位移不對稱。而當發震斷層為盲斷層、地震錯動不達到地表時，與震間的情況類似。

由于國內現有的GPS站點分辨率可能還不足以達到分辨doffset，所以使用模擬數據進行檢驗。今后可在GPS站點布設更加密集的合適區域內進行實際檢驗。

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