經典平差與赫爾默特方差分量估計法平差的適用性分析

郭軍強　李群科

(鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津　300251)

The Different on Classical Adjustment and Helmert of Survey Network

GUO Junqiang

LI Qunke

經典平差與赫爾默特方差分量估計法平差的適用性分析

郭軍強李群科

(鐵道第三勘察設計院集團有限公司，天津300251)

The Different on Classical Adjustment and Helmert of Survey Network

GUO Junqiang

LI Qunke

摘要針對鐵路工程測量中的單一附合導線、雙導線網和CPⅢ平面網不同的網形特點，分別采用經典平差和赫爾默特方差分量估計法兩種平差方式對工程實例數據進行平差計算，對比其平差后坐標成果、精度指標等，進行理論及適用性分析研究。

關鍵詞鐵路工程測量測量平差方差分量估計經典平差赫爾默特

在鐵路工程平面邊角測量平差中，選用不同的平差模型和平差定權方法，會導致計算結果有一定的差異，只有針對不同的網形選用合適的平差方法，才能客觀地評價測量精度，得到合理可靠的平差成果。對于一個平差問題，首先需建立數學模型。數學模型包括函數模型和隨機模型兩類。描述觀測量之間或者觀測量與未知參數之間相互關系的函數表達式稱平差函數模型，描述觀測誤差的一些隨機特征稱隨機模型。數學模型經過長時間的發展、改進，已經比較成熟，目前的關鍵是只有精確得到隨機模型參數才能準確在平差計算中定權。隨機模型的確定有兩種方法：驗前方差和驗后方差，經典平差和赫爾默特方差分量估計法就是分別基于這兩種計算方法而建立的。針對單一附合導線、雙導線網和自由測站邊角交會網(CPⅢ網)等不同的網形，分別采用經典平差和赫爾默特方差分量估計法兩種方式對鐵路工程中的實例數據進行平差計算，對平差后的坐標成果、點位中誤差、方向中誤差、距離中誤差等精度指標進行對比分析，從理論和實際計算數據上，對兩種平差模型的適用性進行分析研究。

1平差數學模型

1.1　經典平差數學模型

經典平差一般指條件平差、間接平差、附有條件的間接平差、附有未知參數的條件平差、附有限制條件的間接平差等五種平差模型，附有限制條件的間接平差模型本身就是其余四種模型的概括模型。其數學模型為

(1)

(2)

式中，l=L-AX0為誤差方程的常數項；X0為網中各點的近似坐標，X為X0改正數，X2為網中穩定點的近似坐標的改正數。由于經典平差視起算點為穩定的、不改變的，所以式(2)變為

(3)

導線網中各點的近似坐標平均數等于其平差坐標平均數，經典平差為滿秩方程，所以其實際上為以起算點數據為基準的假設坐標參考系。由式(1)、式(2)可知，經典平差針對單一的同類觀測量平差是精準、可行的。

1.2　赫爾默特方差分量估計法數學模型

赫爾默特方差分量估計法的基本思想是：先對觀測數據根據先驗值定初權，進行預平差，根據預平差得到的各類觀測量的改正數信息，采用一定的原則對各類觀測值的方差和協方差估算，依此定權，經過N次迭代計算，直至其角度、距離等多種觀測量權數分配合理后進行最終平差(目前比較通用觀點是角度和距離的權數接近1∶1為宜)。

赫爾默特方差分量估計公式

(4)

其中

根據測量等級和精度的要求，賦予迭代計算的限值為迭代終止標志。

由上分析可知，在赫爾默特方差分量估計法中，方差分量估值與平差網中的自由度有關，當自由度較大，或者換言之多余觀測量較多時，方差分量的估值才是可靠的。

2單一附合導線兩種平差模型的對比分析

單一附合導線的特點是觀測量較少，僅為設站點、前后視各點之間的角度和距離觀測量。圖1為單一附合導線示意。該單一附合導線中方向、距離觀測數為32個，方向多余觀測分量總和為2.03，距離多余觀測分量總和為0.97，自由度為3。

使用經典平差與赫爾默特方差分量估計法分別對該單一附合導線進行平差后，坐標成果最大較差為3 mm，精度指標對比見表1。

從表1可知，赫爾默特方差分量估計法平差計算結果的最大方向中誤差、最大距離中誤差、最大點位中誤差都較大，分別為經典平差計算結果的1.7倍、2.6倍和1.87倍，最弱邊相對中誤差近似是后者的2/5，說明在單一附合導線平差中經典平差可靠度和精度要優于赫爾默特方差分量估計法。

3雙導線網兩種平差模型的對比分析

在長大隧道中需要布設雙導線網，其每測站有4個方向的觀測量，有一定的多余觀測值。圖2為雙導線網示意。該雙導線網中方向、距離觀測數為382個，方向多余觀測分量總和為125，距離多余觀測分量總和為64，自由度為189。

使用經典平差與赫爾默特方差分量估計法分別對該雙導線網進行平差計算后，坐標成果最大較差為5.10 mm，精度指標對比見表2。

從表2可知，赫爾默特方差分量估計法平差計算結果的最大方向中誤差、最大距離中誤差、最大點位中誤差與經典平差計算結果相近，最弱邊相對中誤差近似是后者的2/3，說明在雙導線網平差中經典平差可靠度和精度略微優于赫爾默特方差分量估計法，兩者效果近似相等。

4自由測站邊角交會網(CPⅢ網)兩種平差模型的對比分析

CPⅢ平面網要求每個測點至少有單獨的3次觀測，其多余觀測較多，自由度較大，圖3為CPⅢ平面觀測網示意。選取某高鐵CPⅢ平面測量網進行比較計算。所選網中方向、距離觀測數為1 032個，方向多余觀測分量總和為235個，距離多余觀測分量總和為342個，自由度為576。

使用經典平差與赫爾默特方差分量估計法分別對該CPⅢ平面網進行平差計算后，坐標成果最大較差為0.8 mm，精度指標對比見表3。

比較可知，赫爾默特方差分量估計法平差計算結果的最大方向中誤差、最大距離中誤差、最大點位中誤差都較小，分別為經典平差計算結果的0.64倍、0.58倍和0.68倍，最弱邊相對中誤差近似是后者的1.2倍，說明在自由測站邊角交會網(CPⅢ網)平差中赫爾默特方差分量估計法的可靠度和精度要優于經典平差。

5結論

經典平差采用對單一的同類觀測量進行先驗值定權平差，適用于觀測類較少的單一附合導線平差計算；赫爾默特方差分量估計法從先驗值出發，預平差后調整先驗值，確定方差估計值后再定權，進而進行平差計算，只有在觀測量較多，自由度較大時其計算出的方差估計值才是精確、可靠的，所以赫爾默特方差分量估計法適用于精度要求較高、平差網形較大且多余觀測較多的平差計算。對于一般雙導線網，只要外業觀測指標合格，兩種平差方法精度指標相當，經典平差精度指標略優于赫爾默特方差分量估計法，但是兩者計算結果相差不大，均能滿足工程需要。

參考文獻

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中圖分類號：P207

文獻標識碼：A

文章編號：1672-7479(2015)05-0013-03

作者簡介：第一郭軍強(1983—)，男，2006年畢業于中南大學土木工程專業，工程師。

收稿日期：2015-08-21