基于三維線形坐標系的軌道靜態平順性數據處理方法研究

孫海麗　姚連璧，2　王　璇　周躍寅(.同濟大學測繪與地理信息學院，上海　200092；2.現代工程測量國家測繪局重點實驗室，上海　200092)Study on Data Processing Methodof Track Static Regularities Based on 3D Linear Coordinate SystemSUN Haili　YAO Lianbi,2　WANG Xuan　ZHOU Yueyin

基于三維線形坐標系的軌道靜態平順性數據處理方法研究

孫海麗1姚連璧1，2王璇1周躍寅1(1.同濟大學測繪與地理信息學院，上海200092；2.現代工程測量國家測繪局重點實驗室，上海200092)Study on Data Processing Methodof Track Static Regularities Based on 3D Linear Coordinate SystemSUN Haili1YAO Lianbi1,2WANG Xuan1ZHOU Yueyin1

摘要采用三維線形坐標系統作為軌道靜態平順性評價的坐標基礎，研究基于三維線形坐標系的軌道靜態平順性檢測數據處理方法，主要包括工程坐標系與三維線形坐標系的轉換方法、三維線形坐標系下軌道幾何參數偏差計算方法以及基于三維線形坐標偏差的軌向與高低不平順值計算方法。并通過實例計算，驗證了方法精度和可行性。

關鍵詞軌道靜態平順性三維線形坐標系偏距軌向高低

高速鐵路和城市軌道交通以其載客量高、輸送能力強、速度較快、安全性好、正點率高、舒適方便等優點，受到廣大旅客的鐘愛，已經成為出行的首選。高速鐵路和城市軌道交通列車安全運行具有重大意義。列車速度的大幅提高、高速鐵路和城市軌道交通大規模的網絡化發展對軌道平順性提出了更高的要求，軌道平順與否關系到列車運行的安全和旅客的舒適度。軌道不平順引起機車車輛產生振動，是導致輪軌作用力增大的主要原因[1-3]，也是線路方面直接限制列車速度的主要因素[1，5-6]。軌道幾何形位的平順狀態直接影響輪軌系統的運行安全、平穩舒適、部件壽命、環境噪聲等[7-9]。只有提高和長久保持軌道結構的強度和軌道狀態的平順性，才能滿足列車快速、平穩、舒適、安全的運輸要求[10-11]。

為保證軌道高平順性，需要具備能夠準確測量軌道狀態的平順性檢測方法以及科學的軌道平順性檢測數據處理方法。軌道平順性數據處理主要是對軌道幾何參數偏差進行計算并與現有規范中規定限差進行比較和分析，包括軌距、水平(超高)、軌向、高低、扭曲(三角坑)，以及軌道的中線、左右軌平面坐標和高程等[12-16]。

靜態不平順是在無列車荷載時，真實完整軌道不平順的部分、不確定的表象。動態平順性則可以反映荷載作用下的變形及振動特性。軌道動態平順性是線路在機車荷重和動態作用力的作用下輪軌系統的復合狀態。本文主要針對軌道靜態平順性數據處理方法進行研究。

現有軌道平順性數據處理方法是以工程坐標系為基礎。在工程坐標系下，軌道的三維坐標，尤其是平面坐標含義以及軌道坐標與軌道幾何參數(橫向偏差、軌向、高低等)間的關系并不直觀，通過軌道三維坐標進行軌道軌向和高低的計算方法也較為繁瑣。本文擬采用三維線形坐標系統作為高速鐵路軌道靜態平順性評價的坐標基礎，即建立以線路設計中心線任一點為坐標原點，以線路設計中心線的水平投影為坐標橫軸，線路在水平面上與中心線的垂直距離為縱軸，高程與工程坐標系一致的三維線形坐標系統，可以方便地描述高速鐵路軌道的空間線形以及軌道上點位間的關系，易于表達復雜線形，同時易于進行軌道幾何參數偏差計算和軌道靜態平順性的評價。

1三維線形坐標系下軌道靜態平順性檢測數據處理方法

1.1　三維線形坐標系統的定義

原有的高速鐵路坐標系統中使用工程坐標系表示軌道位置，軌道中線及左右軌坐標形式為(X，Y，Z)，其中(X，Y)為工程坐標系下平面坐標，Z為工程坐標系下的高程。三維線形坐標系的三個坐標分別為里程、偏距和高程。以工程坐標系中點P(XP，YP，ZP)為例，可以通過平面坐標(XP，YP)計算出該點里程LP及對應設計中線偏距DP，高程坐標使用原工程坐標系下的高程Z并用HP表示，并規定P點在設計中線沿里程增大方向的左邊時，DP為負，在右邊時，DP為正。為此，實現了P點三維線形坐標的表示，即三維線形坐標為(LP，DP，HP)，下面將對三維線形坐標建立方法進行介紹。

1.2　工程坐標系與三維線形坐標系的轉換

進行工程坐標系到三維線形坐標系的轉換時，三維線形坐標系中高程坐標使用原工程坐標系下的高程。在此主要對三維線形坐標系中里程和偏距計算方法進行介紹。參考李全信關于線路測量正反算一文的方法[17]，研究工程坐標與三維線形坐標的轉換方法。

如圖1軌道點P，P點對應的中線點P′，AB為軌道中線上的一段，A、B為P點所對應一段平曲線的起止點。l為該曲線區段上起點A的里程差。為計算P點的里程，需已知下列參數：曲線元起點A的曲率KA，終點B的曲率KB，曲線元的弧長LS，曲線元起點A在線路坐標系中的坐標值XA，YA，起點A在線路坐標系中的切線方位角αA，表示曲線元偏向的符號函數a=±1，表示邊樁點P邊向的符號函數b=±1。它們的取值規定如下：當曲線元左偏時a取-1，當曲線元右偏時a取+1；當邊樁點位于曲線元坐標計算方向左邊時b取-1，位于右邊時b取+1。

應用數值積分的Gauss-Legendre 公式給出了曲線元上任意點P′的坐標計算公式及其切線方位角計算通式，如式 (1)、式(2)、式(3)

(1)

(2)

(3)

其中，KAB=KA-KB，Ri及Vi為常數，其值為：R1=R4=0.173 927 422 6，R2=R3=0.326 072 577 4，

V1=0.069 431 844 2，V2=0.330 009 478 2,

V3=0.669 990 521 8，V1=0.930 568 155 8

已知l，D，計算P點坐標的統一數學模型為

(4)

(5)

通過曲線元上的法線有無數多個，但通過P點曲線的法線是惟一的。根據這一特性解求P點的弧長l和偏距D。首先在A與P′點間取一近似點，通過判斷P點到該點法線的垂距是否為0，來確定又一近似點的位置；再判斷P點到該新近似點法線的垂距是否為0。通過類似的循環，即可解求出弧長l，并求得偏距D，從而計算軌道點在中線投影點的坐標和投影點處軌向。

先由下式求得P點到起點A法線垂距的絕對值d1

(6)

以d1作為l的初值，即以d1代替式(1)和(2)中的l，可求得曲線元上一點P1的坐標(XP1，YP1)；由式(7)求得P點到P1點法線的垂距d2

(7)

以(d1+d2)作為l的新值，即可由式(1)和(2)又求得曲線元上更接近P′點的新點P2的坐標(XP2，YP2)；用XP2，YP2及(d1+d2)分別替代式(7)中的XP1，YP1及d1，即可又算得P點到P2點法線的垂距d3。

由l并按式(1)和(2)算得P′(XP′，YP′)偏距D可由式(8)求得

(8)

根據D的正負依據“左負右正”規則可判斷出P點相對于曲線元的邊向，即可以判斷軌道點是左軌還是右軌。在已知P點與P′點坐標情況下不用距離反算公式求D，而用式(8)求D是因為使用式(8)可同時判斷出P點的邊向。

經過以上步驟的計算，可得到軌道點對應的里程、偏距，里程對應的中線點坐標，該中線點對應的軌向方位角。

1.3　軌道幾何參數偏差計算方法

為了進行軌道靜態平順性評價和軌道調整量計算，需要進行軌道橫向偏差、高程偏差、超高偏差的計算，軌道中線、左右軌橫向偏差可以通過公式(9)計算

(9)

中線、左右軌高程偏差可以通過公式(10)計算

(10)

超高偏差可以通過公式(11)計算

(11)

那么就需要進行測量數據對應的設計偏距、設計高程和設計超高的反算。中線設計偏距為0，設計超高基準為1 500 mm，則左右軌設計偏距分別為-0.75 m和0.75 m。

由于設計偏距是一常數，從橫向偏差的計算中可以看出，三維線形坐標系中的偏距可以直接反應軌道的橫向偏差，能夠通過實測偏距直觀獲得軌道鋪設的平面偏差。

1.4　基于三維線形坐標偏差的軌向和高低不平順值計算方法

軌向是衡量軌道中心線在水平面上的平順性指標，分左右軌兩種，曲線上也稱為正矢，本文中一律稱為軌向。高低是衡量軌道在豎直平面內的不平順，也分為左右軌兩種。軌向和高低不平順計算方法類似，區別只是對應軌道的不同維度。我國高速鐵路無砟軌道幾何形位靜態驗收標準中，高低和方向不平順主要檢測方法為：短波不平順檢測法、中波不平順檢測法和長波不平順檢測法[15]。短波基線長為10 m，中波基線長為30 m或48a(m)(a為軌枕/扣件間距，一般為0.625 m)，長波基線長為300 m或480a(m)。

目前軌道軌向和高低不平順主要利用采集的左右軌三維坐標推算得出。在軌道實際精調中，只能在線路橫向和垂向進行調整，需要根據實測數據、線路設計線形和調整量相對關系計算調整后各鋼軌三維坐標，再計算軌道軌向和高低不平順值，這不僅增加了計算難度，即需要將調整量轉化為大地坐標分量，而且不能直觀判斷調整量與軌道高低和軌向不平順的關系。為此需要進行軌道軌向和高低不平順值計算方法的研究，為無砟軌道精調提供理論指導。參考全順喜等基于工程坐標系下軌道幾何參數偏差的中波和長波軌向和高低不平順值計算方法[18-19]，研究基于三維線形坐標系下軌道幾何參數偏差的軌道短波、中波、長波軌向和高低不平順值計算。

首先給出在三維線形坐標系下軌道軌向和高低矢高計算方法。軌道中線坐標、左右軌坐標測量結果在統一的三維線形坐標系下。該三維線形坐標系以該區段設計中線樁點起點為原點，以設計中線的水平投影為坐標橫軸，以設計中線平面法向方向為縱軸，高程與工程坐標系一致。設計左右軌上任一點都可以在此三維線形坐標系下表達為(里程，偏距，高程)。所以左右軌橫向偏差可以通過公式 (9)計算，左右軌高程偏差可以通過公式(10)計算，并規定：當實測軌道計算點在設計軌道沿里程增大方向的左側時，橫向偏差為負，反之為正；當實測軌道計算點在設計軌道上方時，高程偏差為正，反之為負。

為計算方便，可以做以下假設[18]：①起點和終點軌道高程和橫向偏差差值相對于弦長來說很小；②設計線形為圓曲線時，弦長所對應圓心角很小；③線路縱斷面最大坡度很小。

(1)短波不平順

軌道短波不平順值的計算方法參考三維坐標法計算，即原計算方法中使用平面坐標和高程，本文使用三維線形坐標。

軌向實測矢高：如圖2所示，將實測點向對應的實測基線(即10 m弦線上)投影，即將實測點C點向A和B連線投影，C到投影點的距離也就是圖中的hi的長度即為C的實測矢高。

理論矢高：根據實測點C的坐標，計算出C所在的里程，在設計曲線上找到對應C里程的點，將此對應點按照實測矢高的計算方法計算其在設計曲線上的投影，并計算其與投影點間的距離，即C對應的理論矢高。

計算軌向時，使用里程和偏距坐標。高低不平順計算方法中，矢高的計算需要首先計算檢測點的里程，并將里程和高程作為檢測或計算點的坐標，此時可將里程當做橫坐標，高程當做縱坐標，類比軌向不平順計算中的平面坐標進行對應矢高的計算即可。

采用坐標法計算短波軌向和高低，計算區間起點A和終點B連線的直線方程為y=kx+b，計算點C到該直線的距離di，可表示為式(12)

(12)

計算軌向和高低不平順值時，規定軌向的符號定義為沿里程增大方向，向左為負，向右為正；規定高低的符號定義為向上為正，向下為負。

(2)中長波不平順

設計線形為直線：

中長波軌向和高低不平順實質是30 m、300 m弦范圍內，間隔5 m、150 m兩測點矢高偏差(設計矢高與實測矢高之差)的差值，如中長波軌道不平順值分別表示為式(13)和式(14)

(13)

(14)

當設計線形為直線時，30 m弦各測點方向矢高偏差計算，各測點高低矢高偏差計算見圖3。

假設測點j為拉弦起點，則測點j+48為拉弦終點，圖3、圖4中pi(i、j表示測點號，j≤i≤j+48)為各測點橫向偏差和高程偏差。其中高程偏差為實測點在豎向到設計線形的距離；橫向偏差為實測點到設計線形的垂直距離。由圖3、圖4可知：不管設計線形在豎向是否有坡度，由于直線上各測點設計矢高為0，故AC為測點i軌向和高低矢高偏差。由1.4節假設①和③可知，∠BAC很小，則有AC≈AB，則各測點高低和軌向矢高偏差可表示成式(15)

Δpi=AC≈AB=AG-BG=

(15)

由于需要間隔5 m測點矢高偏差的差值，故一次拉弦可得測點j+1～j+39矢高偏差的差值，下一弦線從已檢測的最后一點j+39開始。測點i與測點i+8矢高偏差的差值可表示為式(16)

(16)

設計線形為曲線：

當設計線形為圓曲線時，30 m弦各測點方向矢高偏差見圖5。

由圖5可知：對于拉弦起點j和拉弦終點j+48之間任意一測點i，設計矢高為GE。由1.4節假設②可知∠EGF很小，則有GE≈GF；實測矢高為AC，由假設①和假設②可知∠BAC很小，則有AC≈AB，可以證明BF≈DE，且由于MN≈pj，WV≈pj+48，故DE可由拉弦起點和終點橫向偏差值表示，各測點方向矢高偏差表示為式(17)

Δpi=AC-GE≈AG-BF≈AG-DE=

(17)

當設計線形為圓曲線時，各測點高低矢高偏差的計算如圖6所示。由圖6可知：對于拉弦起點j和拉弦終點j+48之間任意一測點i，設計矢高為GF，實測矢高為AC，由假設①可知∠BAC很小，有AB≈AC，所以各測點高低矢高偏差為式(18)

Δpi=AC-GE≈AB-GF=AG-BF≈

(18)

由式(15)、(17)、(18)可知，不管設計線形是直線還是圓曲線，由各測點高程和橫向偏差來計算矢高偏差差值的方法一致。

同理，利用軌道平面和高程絕對偏差計算軌道長波軌向和高低不平順可采用類似方法，長波軌向和高低不平順可表示為式(19)

(19)

根據以上推導，也驗證了與全順喜等[18-19]關于軌向和高低計算方法一文公式的一致性。

考慮到實際軌道測量數據特點，即不局限于軌枕處的測量，所以本文在計算中波和長波不平順時，采用里程間隔標識不同的點。為此，對中波和長波軌向和高低計算公式分別如式(20)和式(21)所示

(20)

(21)

由上述分析可知：無論設計線形是直線還是曲線，用各測點平面和高程偏差值計算其軌向和高低不平順方法一致。

2計算驗證

2.1　工程坐標系與三維線形坐標系的轉換精度驗證

按照本文介紹的工程坐標系與三維線形坐標系轉換方法，選擇上海地鐵某區段設計數據(如表1)進行工程坐標與三維線形坐標轉換方法驗證。該段數據包含了圓曲線、緩和曲線和直線，里程區間為8 300~8 850 m，區間長度為550 m。使用該區段設計左軌、右軌和中線數據進行里程計算，并對比設計里程，驗證里程和偏距計算方法。

軌道施工精調后施工方給出了設計數據，包括里程、中線坐標、左右軌坐標，考慮到工程實際需要，工程施工方給出的里程和中線、左右軌坐標一般都精確到0.1 mm。為了進行三維線形坐標建立方法驗證，首先利用設計方給出的中線坐標和左右軌坐標計算里程，并根據計算里程反算中線坐標、左右軌坐標，再根據反算的坐標結果進行三維線形坐標的計算，并對比正反算里程、中線坐標和左右軌坐標，并將設計數據給出里程與計算里程進行對比。表2～表5分別給出了設計中線、設計左軌、設計右軌工程坐標與線形三維坐標正反算坐標結果偏差，以及設計中線、設計左軌、設計右軌里程正反算偏差。

計算結果顯示，里程和坐標正反算結果較好，里程正反算偏差都在0.000 2 mm以下；偏距正反算偏差在0.003 mm以下；坐標X正反算偏差在0.003 mm以下，坐標Y正反算偏差基本為0。因為設計數據里程精確到亞毫米級，設計中線和左右軌坐標精確到亞毫米級，所以設計里程與計算里程偏差理論應該在0.2 mm以內，表5給出的設計里程與計算里程偏差，通過計算結果顯示，該計算里程與設計里程偏差均在0.2 mm以內，驗證了施工方給定的設計數據的精度，也說明了本文給出的三維線形坐標系建立方法具有較高精度。

2.2　基于三維線形坐標偏差的軌向和高低不平順值計算方法驗證

1.4節探討的基于三維線形坐標偏差的軌向和高低不平順值計算方法存在假設條件，與用三維坐標計算結果存在偏差。為驗證該方法可行性，選取一區段地鐵實測軌道數據，里程區間為8 402.615~8 716.145 m，該區間包含多段緩和曲線、圓曲線和直線，分別用該方法和三維坐標計算各測點高低和軌向不平順，并對比二者計算結果。考慮到不同測量任務或不同測量系統軌道測量數據結果特點，即軌道測量數據點位密度可能并不局限于軌枕處的數據，為此將測量數據最終內插為1 cm里程間隔數據，再進行軌向和高低不平順值的對比計算。

兩種方法短波、中波、長波軌向和高低不平順偏差對比結果如表6～表8所示，可知基于三維線形坐標偏差的軌向和高低不平順值計算方法與三維坐標法計算的結果基本一致，最大不平順偏差也小于0.005 mm。

3結論

介紹了基于三維線形坐標系的軌道靜態平順性檢測數據處理方法，給出三維線形坐標系的定義和建立方法，然后介紹了工程坐標系與三維線形坐標系的轉換方法，闡述了在三維線形坐標的基礎上進行軌道幾何參數及其偏差計算方法和軌道靜態平順值計算方法，水平、高低、軌向、軌距等軌道靜態平順性幾何參數都可以通過三維線形坐標系統中軌道測量結果進行計算，并通過計算，驗證了基于三維線形坐標的軌向和高低不平順值計算方法的等效性。基于三維線形坐標系的軌道靜態平順性檢測數據處理方法中，三維線形坐標(里程，偏距，高)針對軌道線形分布特征定義，更具直觀的幾何意義，方便軌道幾何參數和偏差的計算以及軌道靜態平順性評價。

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中圖分類號：U211

文獻標識碼：A

文章編號：1672-7479(2015)06-0019-06

作者簡介：第一孫海麗(1986—)，博士研究生。

基金項目：測繪地理信息公益性行業科研專項經費資助(HY14122136)；上海市自然科學基金項目(15ZR1443700)。

收稿日期：2015-11-16