貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率的轉換與應用

趙克勤,趙森烽

（1.浙江大學 非傳統安全與和平發展研究中心集對分析研究所，浙江 杭州 310058； 2. 諸暨市聯系數學研究所， 浙江 諸暨311811； 3.浙江工業大學 之江學院，浙江 杭州 310024）

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貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率的轉換與應用

趙克勤1,2,趙森烽3

（1.浙江大學 非傳統安全與和平發展研究中心集對分析研究所，浙江 杭州 310058； 2. 諸暨市聯系數學研究所， 浙江 諸暨311811； 3.浙江工業大學 之江學院，浙江 杭州 310024）

為研究貝葉斯概率與其后驗概率的聯系與轉化以及聯系數化后的貝葉斯推理，定義了貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率，其數學形式等同于古典概型、幾何概型、頻率概型的趙森烽-克勤概率，借助趙森烽-克勤概率中隨機轉換器i的作用，把貝葉斯概率的后驗概率分為增益型、衰減型、維持型，在此基礎上給出貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率轉換定理與相應算法，舉例說明貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率具有智腦思維的完整性、前瞻性和靈活性等特點，從而為人工智能和其他領域應用貝葉斯推理開辟出一條新途徑。

貝葉斯概率；趙森烽-克勤概率; 聯系數； 后驗值；智腦思維特性；集對分析

基于文獻[1-3]關于事物的確定性關系與不確定性關系組成一個不確定性子系統的集對分析（set pair analysis,SPA）理論，文獻[4-6]先后借助“白球+黑球”隨機試驗，向指定區域隨機投針試驗，擲分幣與擲骰子隨機試驗，說明隨機性是事物相互聯系的一個屬性，隨機事件成對存在，在此基礎上提出聯系概率 （connection probability, CP）,（也稱“趙森烽-克勤概率” （Zhao Senfeng-Keqin probability,ZKP）；論證了無論是古典概型概率（classical probability, CP）,幾何概型概率 （geometric probability, GP）,還是頻率型概率 （frequency probability, FP），都可以化為趙森烽-克勤概率ZKP來補充伴隨事件的信息作新的研究；文獻[7-8]將趙森烽-克勤概率ZKP應用到風險決策研究得到了新的風險決策模型。習慣上，古典概型概率CP、幾何概型概率GP和頻率型概率FP統稱為“客觀概率”（objective probability, OP），因為這三類概率都能用客觀上可重復或可大量重復的隨機試驗驗證。但在現實世界中，有些隨機現象不能大量重復甚至不能重復，例如遠程導彈的精確打擊，航天器的成功升空，地外天體探索器的返回，粒子對撞機的建造和正常運行，以及大地震、核泄漏、飛機失事、列車追尾相撞、商廈大火、山體滑坡等等非傳統安全問題，對于這類事件，又如何確定相應的概率？在概率論的發展史上和概率的大量實際應用中，人們已有相應的解決辦法，這就是與上述“客觀概率”相對立的所謂“主觀概率（subjective probability, SP）”。歷史上，貝葉斯（Thomas Bayes）首先研究了此類概率，所以也稱“貝葉斯概率”（Bayes probability,BP），如今，“貝葉斯概率”已得到廣泛應用，基于“貝葉斯概率”的不確定性推理已是人工智能的一項重要推理技術[9-13]。人們會問：對于貝葉斯概率，是否也存在著類似于文獻[4-6]所述的“趙森烽-克勤概率”，貝葉斯公式又能否采用趙森烽-克勤概率加以表達和運算，以開辟出人工智能不確定性推理的新途徑，本文試對這一問題作出回答，舉例說明貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率（Bayes probability-Zhao Senfeng-Keqin probability, BZKP）的應用,并簡要討論貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP的智能化思維特性。

1 貝葉斯概率

1.1 貝葉斯

貝葉斯（1702-1763）是英國數學家，創立了著名的貝葉斯概率（BP）和貝葉斯理論（Bayes theory,BT），在統計決策、統計推斷和統計估算等方面有重要貢獻，促進了現代概率論和數理統計的形成和發展。

1.2 貝葉斯定義的概率

貝葉斯把概率定義為人們根據經驗和認識對一個命題的主觀信任程度的描述，這種描述用一個在[0，1]取值的信任函數-置信度表示，顯然，這樣的概率是一種“主觀概率”，在概率統計發展史上，人們把這種“主觀概率”稱為“貝葉斯概率”。

例如企業開發某新產品，需要預先對該產品在市場上的暢銷與否作出判斷，由于難以在開發前做大量的隨機試驗，只能由企業家根據經驗和信念作出估計，例如認為暢銷的概率是0.8；又如投資家認為“購買某節能環保股票能獲得高收益”的概率是0.9；科技人員認為“某課題獲得立項”的概率為0.95，腫瘤外科醫生根據自己多年的臨床經驗和一位腫瘤患者的病情估計該患者腫瘤的手術成功可能性是99%，乘坐某航班安全到達目的地的概率是99.999%等，都是人們憑經驗、知識或判斷能力對所關注事件發生可能性給出的一個信念的度量值，其“主觀色彩”昭然若揭，稱其為“主觀概率”名副其實。

1.3 貝葉斯概率的特性

特性1主觀性。貝葉斯概率的主觀性前文已述。歷史上，貝葉斯概率的主觀性曾遭到一些數學家的批評，認為這種主觀的概率確定方法不可取，但貝葉斯概率的廣泛和深入應用已經表明貝葉斯概率有一定的客觀合理性，這種客觀合理性本質上是因為貝葉斯概率具有特性2。

特性2后驗性。人們事先憑經驗、知識或判斷能力對所關注事件發生的可能性給出的貝葉斯概率，可以在事后得到驗證。例如，事先認為某新產品暢銷的概率是0.8，當這一新產品投放市場后，究竟是否暢銷就有了客觀上的答案；課題立項一旦公布，申報的課題是否立項也明確無疑；航班在飛歷了預定的航程后安全到達目的地等。

特性3不確定性。貝葉斯概率的不確定性既來自其主觀性，如不同的企業家對同一個新產品的市場信任度會不同；也來自其后驗結果的不確定性，誰能確切地事先知道一個貝葉斯概率的實際后驗結果是必然還是偶然等。

人們會問：貝葉斯概率的不確定性和后驗性以及后驗值是否可以被一種適當的數學形式（一種“新的貝葉斯概率”）蘊含在其中，從而使得這種“新的貝葉斯概率”是一種“完整的概率”，借此體現出人腦思維的完整性；并進一步借助一定的規則由原先的貝葉斯概率去推知其后驗值，借此體現出人腦思維的前瞻性；并且還能用一定的數學形式對應可能出現的各種后驗結果，借此體現出人腦思維的靈活性；回答是肯定的，這就是：貝葉斯概率的聯系數化，由此引出貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率。

2 貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率

2.1 原理

認識論和人類的社會實踐告訴我們，人們對客觀事物的認識是一個從知之不多到知之較多、從知部分到全部認知、從片面認識到全面認識、從現象性的表面認識到本質性的深層次認識、從錯誤認識到正確認識的過程；在這個過程中，對已知部分的認識呈現出相對的確定性，對未知部分的認識呈現相對不確定性；需要在“實踐—認識—再實踐—再認識”的過程中不斷地把“未知”轉化為“已知”，據此來減少對于“未知”認識的不確定性；因此，當需要客觀地定量刻畫和系統地分析人們認知一個事物的全過程時，既需要對已知的相對確定性部分知識作出可置信意義上的刻畫，也需要對未知的不確定性部分知識作出置信與否不確定意義上的刻畫;并把這兩方面的刻畫結果反映在同一個數學表達式中，既體現出人腦思維的完整性和靈活性，又便于前瞻地根據“已知”對“未知”展開系統性的分析并作出預見，以體現出人腦思維的前瞻性。這一陳述稱之為貝葉斯概率聯系數化的基本原理，以下簡稱原理。

2.2 定義

基于以上原理和文獻[5]中給出的概率補數定理以及有關集對分析聯系數的知識，定義貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率如下：

（1）

貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率也簡稱貝葉斯概型聯系概率或聯系概率（contact probability,CP）；這是因為式（1）與古典概型聯系概率、幾何概型聯系概率、頻率概型聯系概率,具有相同的數學形式，并具有以下3條性質：

（2）

性質2 歸一性，也就是

（3）

性質3 完備性，也就是

（4）

2.3 轉換定理

定理對任意的一個貝葉斯概率，都可以轉換為趙森烽-克勤概率ZKP。

證明根據定義1即可得證。

2.4 后驗取值

類型1衰減型后驗

衰減型后驗可以用以下的不等式表示：

（5）

顯然，根據趙森烽-克勤概率的性質3可知不等式（5）的左邊有可能是負值。例如，設

類型2增益型后驗

例如投資獲得超預期收益、申報的項目獲特批，開發的新產品意外地暢銷，這時的i在[0，1]取值。

增益型后驗可以用以下不等式表示：

（6）

顯然，根據趙森烽-克勤概率的性質3可知不等式（6）的左邊有可能是接近于1的值。例如，設

類型3一致型后驗

后驗值與前期給出的貝葉斯概率一致。一致型后驗公式為

（7）

例如，設

另一方面看，上面所說的“衰減”，“增益”，“一致”，其實質都是一種“后驗”，即由后來的事實驗證先前給出的貝葉斯概率，由此可見，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率是蘊含了后驗結果和后驗值及其不確定性的一種新型概率，是能體現貝葉斯概率后驗性和后驗結果及其不確定性的一種良好的數學模型。所謂“良好”，是指既滿足式（2）所示的歸一化要求，又借助隨機轉換器i在i∈[-,1]的不同取值預設了不同方向的后驗和后驗的不同結果；例如可以是對前期主觀概率的一次“簡單衰減”，也可以是一次“復合衰減”（計及趙森烽-克勤概率中2個概率相互作用的“衰減”（見本節開頭和后面的例2），甚至是“多階段隨機過程的多次簡單或多次復合衰減”的后驗；也可以是對前期主觀概率的一種“增益”性的后驗，還可以是對前期主觀概率的“一致”性后驗。

雖然由已知的貝葉斯概率得出貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率簡便容易，但采用趙森烽-克勤概率進行貝葉斯公式的計算不是易事，因為涉及到趙森烽-克勤概率的條件概率計算。

3 基于趙森烽-克勤概率的條件概率

條件概率的計算公式為

（6）

例如，某公司從甲、乙2個生產廠家采購了N個節能燈泡，其中有不合格品，假定情況如表1。

表1 采購結果Table 1 The result of procurement

現從N個節能燈泡中任意取一個，考察以下事件：A為“取到次品”，B為“取到甲廠的”，不難得到事件A、B以及AB（取到甲廠生產的次品）的概率如下：

（7）

（8）

（9）

現在考慮B發生條件下事件A發生的概率：由于所有可能發生的基本事件僅限于甲廠中的a+b,這當中事件A包含的基本事件為B,因此在事件B發生條件下事件A發生的概率為

（10）

省略式（10）中間的式子后就得到條件概率定義：

定義2設A、B為兩事件，已知P（B）?0,則在B發生的條件下A發生的概率為

（11）

式（11）為A對B的條件概率，簡稱條件概率。

（12）

顯然，第2種算法簡單。但是由第1種算法可以導出用趙森烽-克勤概率表示的條件概率計算公式，并展現出條件概率所蘊含的二次不確定性，說明如下：

（13）

C[P（AB）]=Pc（AB）=P（AB）+[1-P（AB）]i

（14）

C[P（B）]=Pc（B）=P（B）+[1-P（B）]i

（15）

由此得趙森烽-克勤概率意義下的條件概率計算公式：

（16）

式（16）也稱為貝葉斯概型的趙森烽--克勤定理。

整理式（16）得

P（AB）+[1-P（AB）]i

（17）

4 貝葉斯公式的趙森烽-克勤定理

4.1 貝葉斯公式

貝葉斯公式也稱貝葉斯定理，是概率論中的一個重要公式，其表述如下：

設A1A2…An,…是兩兩互不相容的事件，且有

（18）

證明從略。

4.2 基于聯系數的貝葉斯公式

（19）

或

（20）

或

（21）

根據第3節，可以稱式（18）是貝葉斯公式聯系數化的第1種形式，或簡稱為一次式；式（19）和式（20）是貝葉斯公式聯系數化的第2種形式，或簡稱為二次式；在實際計算中采用何種形式，則根據問題求解需要選取。

5 實例應用

例1 患病診斷應用[11]

已知某地區居民的肝癌發病率為0.000 4，現用甲胎蛋白法進行普查，醫學研究表明，化驗結果是有錯誤的，已知患有肝癌的人其化驗結果99%呈陽性（有病），而沒患肝癌的人化驗結果99.9%呈陰性（無病），現某人的檢查結果呈陽性，問1）他真的患肝癌的概率是多少？2）他真的患肝癌的趙森烽-克勤概率是多少？

解：先答（1）：記B為事件“被檢查者患有肝癌”。A為事件“檢查結果呈陽性”，由題設知

這一結果表明：在檢查結果呈陽性的人中，真患肝癌的人不到30%，這個結果使人吃驚，但仔細分析后可以理解，因為肝癌發病率很低，在10 000個人中約有4人，同時有9 996個人不患肝癌。對10 000個人用甲胎蛋白法進行檢查，按其錯檢的概率可知，9 996個不患肝癌者中約有9 996×0.001=9.996（=10）個呈陽性；另外4個真患肝癌的檢查報告中約有4×0.99=3.96個呈陽性，僅從13.96個呈陽性中看，真患肝癌的3.96人約占28.4%。

進一步降低錯檢的概率是提高檢驗精度的關鍵。但在實際中，由于技術和操作上的種種原因降低錯檢的概率又很困難，通常采用復查的方法來減少錯誤率。比如，對首次檢查為陽性的人群再進行復查，這時p（B）=0.284,再用貝葉斯公式計算得

這樣就大大提高了甲胎蛋白法的準確率。

以上是文獻[11]中依據經典概率論貝葉斯公式所做的計算。下面答（2）。

由第3節知，要計算該人真的患肝癌的趙森烽-克勤概率有2種思路：

于是可以作以下分析：

；事實上，我們在文獻[6]中就指出，對于聯系概率（趙森烽-克勤概率）中的i,應該把其看作是不確定性系統的特征參數，因其如此，當需要確定一個聯系概率（趙森烽-克勤概率中i的數值時，需要對i所表征的不確定性系統作具體的物理分析。

但事物總是一分為二的。在某些情況下，關于聯系概率CP中的i僅按定義域取值也有實際意義，見后面的例2。

2）根據式（18）～（20），先把貝葉斯公式中的各個概率聯系數化，也就是按概率補數定理進行“C運算”，根據前面給出的題設條件，得

C（p（B））=pc（B）=0.000 4+0.999 6i

于是有

根據文獻[4]中的計算方法，可以解得

也就是

這一結果與前面利用式（17）所示貝葉斯公式得到結果聯系數化一致，但等式左邊卻顯示出0.284+0.716i其實是一個二次聯系數，也就是說，上述計算過程是一個含有二次不確定（i2）的計算過程。結合題意可知，第一次不確定對應于某地區居民以往的肝癌發病率為0.000 4的不確定性，第2次不確定對應于化驗結果存有錯誤的不確定性，由于某人的這次含有不確定性的檢驗結果要在以往含有不確定性的醫學研究數據基礎上才能作出結論，因此該結論具有二次不確定性不足為奇。

由此可見，面對某個隨機事件的趙森烽-克勤概率，不僅要對這個概率作“表面分析”（表面上的“數量分析”），還要作“由來分析”，（數字后面的“成因分析”），也就是這個森烽-克勤概率是如何計算得來的分析，經過這二道分析后，才可以判定這個趙森烽-克勤概率是一次（冪）概率還是二次（冪）概率，原因在于趙森烽-克勤概率在計算過程中會應用集對分析理論中給出的以下簡化公式：

i=i2=i3=…=in

從另一方面看，本例中，同一問題用2種不同的方法（直接把貝葉斯概率公式算得的結果聯系數化，與把貝葉斯公式中各概率聯系數化后再作運算）求得相同的趙森烽-克勤概率這件事本身也說明上述化簡公式的合理性。

貝葉斯公式聯系數化所揭示的趙森烽-克勤概率具有二次不確定（i2）還可以從以下的例2得到說明。

例2伊索寓言中孩子與狼的故事。故事梗概是：一個小孩每天到有狼出沒的山上放羊，一天，他在山上喊“狼來了、狼來了”，山下的村民聞聲去打狼，到了山上，發現狼并沒有來；第2天仍是如此，第3天，狼真的來了，可以任憑牧羊的孩子怎么喊叫，也沒有人去救他，因為前2次他撒了謊，村民們不再相信他。

現問：1）如何用貝葉斯公式來分析這個寓言中的村民對牧羊孩可信度的下降;2）如何用貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率來分析這個寓言中的村民對牧羊孩可信度的下降;3）分析以上2種思路的異同。

解：首先，記事件A為“孩子說謊”，記事件B為“孩子可信”，不妨設村民們以前對這個孩子的印象為

第1次村民上山打狼，狼沒來，即孩子說了謊（A），村民根據這個信息，對這個孩子的可信程度改變為（用貝葉斯公式計算得）

這表明村民上了一次當后，對這個孩子的可信程度由原來的0.8調整為

這表明村民經2次上當，對這個孩子的可信程度已經從0.8下降到0.138，如此低的可信度，村民們在聽到這個孩子的第3次呼叫時，怎么會再次上山打狼？

以上對試問（1）的解答是文獻[11]中給出的，以下是對試問（2）的解答。

pc（B）=0.8+0.2i

根據第2節中的“八二模型”和集對分析關于聯系數中確定性（聯系分量）與不確定性（聯系分量）相互作用理論，上述聯系概率中的可信度0.8與不可信度0.2存在相互作用，其相互作用值為0.8×0.2=0.16,此0.16在“最壞情況下”可以看作是“不可信度”在“可信度”中所起的“潛在作用值”，換言之，可信度0.8在此假設下實際上只有0.8-0.16=0.64是可信的，在此基礎上再考慮不可信度0.2對可信度0.8的“顯在負面作用”，于是得到以下算式及結果：

也就是說，在充分考慮村民對孩子的不信任度0.2對可信度的“直接負面影響”和“潛在負面影響后”，村民們對該孩子的“潛在核心可信度”其實只有0.44。

此0.44與用貝葉斯公式計算得到的0.444僅相差0.004,0.44≈0.444,因為按“四舍五入”法，0.444可以簡寫為0.44。

村民們在第一次上當后，這種“潛在的核心可信度”得到了一種“證實”和“顯化”；也就是有

根據概率的補數定理知

還可以再聯系數化，得

此聯系概率（趙森烽-克勤概率ZKP）反映出這時村民們對該孩子的潛在核心可信度其實為0.44+0.56i|i=-1=-0.12,當村民們第2次上當后，上述潛在核心可信度得到一種“證實”和“顯化”。根據文獻[3-4]中給出的負概率定義可知，當取B（孩子可信）為參考事件時，pcc（B）可信度=-0.12的物理意義是孩子的話已在0.12程度上判定為是謊言，既然是謊言，村民們在聽到這個孩子的第3次呼叫時，自然就不會上山打狼。

以上是“簡單衰減”分析，還可以作“復合衰減”分析如下：

首先是仿照本文第2節思路中的“八二模型”，把pc（B）=0.8+0.2i改寫成

pc（B）=0.64+0.16i1+0.2i

并取i=-1,i1=-1,后者是從“二次不信任”的角度考慮，也就是再一次把0.16i1這部分也看成對0.64存在“負面作用”，由此得

pc（B）=0.64-0.16i-0.2=0.28

也就是說，在充分考慮村民對孩子的不信任度0.2對可信度的“直接負面作用”和“不信任度與信任度相互作用值0.16的“潛在負面作用后”，村民們對該孩子的“潛在核心可信度”其實只有0.28；顯然，這個0.28比用貝葉斯公式計算得到的0.444還要小。

村民們在第一次上當后，這種“潛在的核心可信度”得到了“證實”和“顯化”；也就是有

類似于前面的分析和做法，把0.28+0.72i改寫為

令i=-1,i1=-1,得結果為-0.84。

當村民們第2次上當后，上述“潛在核心可信度”得到“證實”和“顯化”。根據文獻[3-4]中的負概率定義可知，當取B（孩子可信）為參考事件時，pcc（B）可信度-0.84≈-1的物理意義是孩子的話已被判定為是謊言，既然是謊言，村民們在聽到這個孩子的第3次呼叫時，當然就不會上山打狼。

對應于村民們在聽到這個孩子的第3次呼叫時沒有上山打狼這一事實，這里的“復合衰減”分析比前面的“簡單衰減”分析更接近事實。

二是對貝葉斯公式中的每一個概率聯系數化后再進行運算，由于篇幅原因，在此略去，有興趣的讀者可以自行試算和分析。

答（3），由上可見，答（1）和答（2）是對孩子與狼的故事從不同角度給出的2種解答，這2種解答的基本假定數據完全相同，但數學處理過程不同，前者純粹地應用概率論中的貝葉斯公式，后者主要應用趙森烽-克勤概率；所得的計算結果也不同，前者對于村民2次上當后，對孩子的可信度還有0.138，由于0.138>0,根據概率的本義，村民第3次上山打狼的可能依然存在，只是這種可能性已較小（為0.138），但這種可能實際上沒有出現，村民沒有第3次上山打狼；由此看出，答（2）計算得到的負概率=-0.12更符合村民沒有第3次上山打狼這個事實，而其整個計算過程僅涉及到趙森烽-克勤概率中i的2次取負值（i=-1），比起答（1）中的運算簡便得多；而從村民沒有第3次上山打狼這個事實看，對該問題中的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率作“復合衰減”分析比“簡單衰減”分析更接近實際。當然，從貝葉斯概率聯系數化的角度看，本問題中的趙森烽-克勤概率就是把孩子的3次呼喊結果都預先蘊含在根據初始條件確定的聯系概率pc（B）=0.8+0.2i中，每次呼喊結果無非是對這個聯系概率中i每次取i=-1結果的一種驗證而已；當然，對于驗證結果與實際情況的差異還可以作具體分析，對于同一個問題中的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率是作“簡單衰減”分析還是作“復合衰減”分析，也是一個需要進一步研究的問題。

要順便指出的是，這個故事及其分析在金融界的意義是貸款信用分析，試問，某人向銀行貸款，連續2次不還，銀行還會第3次貸款給他？在人工智能不確定性推理中的意義是推理結果的可信性分析，試問，某個問題讓機器推理，連續2次推理的結果都不可信，還會讓機器作第3次推理？如此等等。

6 討論

1）從人工智能的角度看，貝葉斯概率（BP）在本質上是人們利用先前儲存在大腦中的經驗和知識對隨機事件概率的一種推斷和估計，這種推斷和估計的正確性由隨后的客觀實踐加以驗證。本文通過把貝葉斯概率轉換為基于集對分析聯系數的趙森烽-克勤概率，所得到的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP，其主要的優越性是把貝葉斯概率的后驗可能值預先蘊含在聯系數化了的貝葉斯概率（貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP中，借助ZKP中隨機轉換器i的取值分析，把可能的后驗結果分成大于、等于、小于原先給出的貝葉斯概率3種情況，從而把人腦對于一個客觀事物從“已知”到“未知”的認識“飛躍”轉換成了一個具體的數學公式，既保留了貝葉斯概率的“合理性”，也使貝葉斯概率從“主觀”向“客觀”的“飛躍”有了“合法性”；“合理性”是指人腦對以往的經驗和通過學習得到的知識作出概括并加以量化表述符合情理；“合法性”是指人腦在已有經驗和知識的基礎上，對“未知”作出帶有不確定性的推斷分析并加以量化表述符合辯證法關于確定性與不確定性既對立統一又可以在一定條件下相互轉化的法則；顯而易見，這種“合法性”事實上還涵蓋了人腦科學地認知一個客觀事物所需要的整體性、前瞻性、靈活性，從而提示貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP實質上是一種智能型概率（intelligence probability,IP）。至于如何對這種智能型概率IP展開具體計算和分析，乃至調控“i”，則是一個有待深入研究的課題。

2） 可以認為：人腦之所以具有“智能”或者“智慧”，一是由于人腦的思維具有整體性，“人無遠慮，必有近憂”、“居安思危”、“知己知彼，百戰不殆”等成語，就是說人腦思維具有整體性的特點；特別是訓練有素的人腦思維，其思維的整體性尤為顯著。二是人腦的思維具有前瞻性，所謂“舉一反三”、“深謀遠慮”、“一葉知秋”、 “見微知著”、“以此類推”等等，就是說人腦能夠依據已有的知識自動地對“未知”進行前瞻性推理。三是人腦的思維具有靈活性，正是靈活性，才使得人們能夠不斷適應環境的變化，原始人隨著環境的變化而進化，現代人也同樣如此；這種靈活性也可以稱為不確定性。由于迄今為止對人腦思維的物理機制和化學機制還沒有完全搞清，因此，從數學的角度給出人腦思維的模型不失為是一種經濟且有效的途徑，也是人工智能的題中之義。換言之，人腦一旦就某事物的“已知”部分作出量化表達，如貝葉斯概率，需要同時對“未知”部分也作出量化表達，正是在這一個意義上，貝葉斯概率聯系數化成為必要。由于“未知”部分對于“已知”部分通常具有不確定性，因此對于“未知”部分作出量化表達時需要有不確定性標記，趙森烽-克勤概率中的i擔當了這一角色。這也是我們把貝葉斯概率聯系數化，轉換成趙森烽-克勤概率的一個初衷。

3）貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP雖然從數學形式上保持了與客觀概型聯系概率OP（古典概型概率聯系概率CP、幾何概型概率聯系概率GP、頻率型概率聯系概率FP）的一致性，但兩者仍有不同之處：3種客觀概型的趙森烽-克勤概率OZKP側重從空間的維度補充了經典概率的即或概率信息，也就是非第一關注事件的信息；貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP側重從時間的維度補充貝葉斯概率的即或概率信息（也就是非第一關注事件的信息，也可以說是第一關注事件的后驗信息），但其時長要大大超過客觀概率OP的即或概率的信息時長，這一點也有待深入研究；由于客觀事物的動態不確定性通常寄寓在時間中，空間的遍歷通常無法抵消由時間流逝帶來的不確定性，因此，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP是一種比客觀概型趙森烽-克勤概率OZKP更為復雜的一種聯系概率CP，本文中的2個應用實例已從應用層面上揭示出這種復雜性，例如其中含有二次不確定或者多次不確定以及不同次不確定的遷移或遞進，這也是可以稱其為是智能型概率IP的一個理由；由于貝葉斯推理是現有人工智能進行不確定性推理的一項重要推理技術，如何把已有的基于貝葉斯概率（BP）的不確定性推理擴展為基于趙森烽-克勤概率（ZKP）的不確定性推理，因此是一項復雜和困難的工作，也是令人感興趣和內容豐富的工作。

4）本文基于人腦思維的整體性、前瞻性和靈活性假設，研究貝葉斯概率的后驗值與貝葉斯概率的關系，得到的貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率（BZKP）在數學形式上與古典概型的趙森烽-克勤概率（CZKP）、幾何概型的趙森烽-克勤概率（GZKP）和頻率型趙森烽-克勤概率（FZKP）完全一致，這一點令人驚訝；它從一個側面說明了在文獻[4-6]中提出的新的隨機摸球試驗、新的隨機投針試驗、新的擲硬幣與擲骰子試驗，不僅僅是一種客觀上的可演示的數學物理實驗，其實還是一種如本文所說的智能思維實驗的數學物理模型；也不僅僅說明本文給出的人腦思維的整體性、前瞻性和靈活性假設可以有相應的隨機試驗作為其數學物理背景，有相應的數學模型，也從一個側面說明了集對分析聯系數思想內涵的深刻性。特別要指出的是：人腦思維的整體性、前瞻性和靈活性不是每一個個體人腦所必定具有，一般說來，只有經過特定教育和訓練的特殊個體人腦，或者是某個群體的人腦之和才具有；為此，需要引進智腦的概念，不妨定義智腦是同時具有思維整體性、思維前瞻性、思維靈活性以及思維現實性、思維經濟性等諸多優良特性的智能腦（intelligent brain,IB），貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP則是智腦IB的一個特征參數；有關趙森烽-克勤概率與智腦思維現實性、經濟性等方面的關系，也有待進一步研究。

5）本文把聯系數化后的貝葉斯概率定義為趙森烽-克勤概率，而不再簡稱為聯系概率CP，原因之一是為了在形式上與貝葉斯概率BP這個名詞術語相對應，但又作明顯區別；原因之二是概率論有用新概念（新算法、新定理）提出者命名這個新概念（新算法、新定理）的習慣做法，如貝努利試驗、契比雪夫不等式、馬爾可夫鏈、高斯分布、等等（其中馬爾可夫鏈就是當年的馬爾可夫在碩士論文中自己命名的）；原因之三是貝葉斯概率聯系化得到的聯系概率BZKP與古典概型CP、幾何概型GP、頻率概型FP聯系數化得到的聯系概率形式相同但實質內容不同。概而言之，在涉及到古典概型概率CP、幾何概型概率GP和頻率型概率FP聯系化的情況下采用聯系概率CP這個稱謂，但在把貝葉斯概率聯系數化時，采用趙森烽-克勤概率這個稱謂較為貼切；在不需要特別說明的情況下，把古典概型聯系概率CCP、幾何概型聯系概率GCP、頻率概型聯系概率FCP、貝葉斯概型聯系概率BCP統稱為趙森烽-克勤概率符合概率論的習慣，也便于應用。原因之四是在漢語中,“聯系”一般作動詞用,但根據“聯系概率”的定義,它是一個專用的名詞,把聯系概率稱為趙森烽-克勤概率就自然地避免了上述誤解;原因之五也是提出者對于概率論創新可能引起非議的一種擔當和承受（歷史上,貝葉斯概率在提出時也曾受到人們的批評和非議）；由于概率論已有300多年的發展史，概率是概率論中最為基礎性的一個概念，但在文獻[4-7]中，基于集對分析理論（SPT）和對一系列新的隨機試驗結果作客觀而深入的思考后引入聯系概率CP的概念，無疑是對于概率概念的一個創新，由此引出的一些新概念已為構建一個新的概率論提供了必要的準備。

6）從聯系數的角度看，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP也是一種概率意義下的聯系數，這從一個側面說明了聯系數內涵的豐富性，有關聯系數方面的知識可以參考文獻[14-16]等。

7）從集對的角度看，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP是人們已有知識（集）與未知知識（集）組成的一個集對，對于這個概率的全部分析，也因此是一種集對分析，如何把集對分析的已有理論方法應用到趙森烽-克勤概率的計算和分析上，也是一個需要進一步研究的課題。

8）從辯證法和聯系科學的角度看, 貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP把已知與未知聯系,主觀與客觀聯系、確定與不確定聯系、歷史與未來聯系、簡單與復雜聯系、局部與整體聯系、靜態與動態聯系,因此也是關于事物聯系的一種數學模型,是辯證法和聯系科學研究的一項內容[17-18],對此也需要深入研究。

7 結束語

本文基于集對分析和聯系數理論以及作者已有工作基礎上，研究貝葉斯概率與其后驗值的關系及其聯系數表述，定義了貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP，給出了貝葉斯概率BP向聯系概率CP轉換定理，舉例說明貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率（BZKP的實際應用，通過討論貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP與古典概型聯系概率CCP，幾何概型聯系概率GCP，頻率型概率聯系概率FCP的形式一致性和內涵差異性，指出了貝葉斯概率聯系數化的重要意義不僅把主-客觀概率統一起來,更在于給出了人腦從已知推導未知思維的一種數學模型和給出智腦IB的概念：智腦IB是具有思維整體性、思緒前瞻性、思維靈活性、以及思維現實性、思維經濟性、等優良特性的智能腦，貝葉斯概型的趙森烽-克勤概率BZKP則是這種智腦的一個特征參數，從而為腦科學研究和人工智能中的貝葉斯推理研究開辟了新的途徑……;所有這些工作，都有大量需要進一步研究的問題，我們將在后續論文中繼續討論相關問題, 也期待有興趣的專家學者與我們共同致力于這方面的探索和研究.

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趙克勤，男，1950年生，浙江省諸暨市聯系數學研究所研究員，浙江大學非傳統安全與和平發展中心集對分析研究所所長，中國人工智能學會理事，人工智能基礎專業委員會副主任，集對分析聯系數學專業籌備委員會主任，1989年提出集對分析（聯系數學），已出版《集對分析及其初步應用》專著一部，發表學術論文90余篇。

趙森烽，男，1993年生，主要研究方向為概率統計、集對分析聯系數學等，發表學術論文5篇。

Bayes probability transition to Zhao Senfeng-Keqin probability and its application

ZHAO Keqin1，2， ZHAO Senfeng3

（1.Center for Non-traditional Security and Peaceful Development Studies, Zhejiang University, Hangzhou 310058 ,China；2.Zhuji Institute of Connection Mathematics, Zhuji 311811；3.School of zhi jiang, Zhejiang Technology University, Hangzhou,310024，China）

In order to study the Bayesian probability and posterior Bayesian inference relation and transformation as well as the number of contact probability after，The definition of Zhao Senfeng-Keqin probability of Bayes probability model，Zhao Senfeng-Keqin probability of its mathematical form equivalent to classical subscheme, geometric probability, frequency probability model，With the help of Zhao Senfeng-Keqin probability random converter I effect，The Bayesian posterior probability for gain, attenuation, maintenance，Based on this Bayesian probability transformation theorem and the corresponding algorithm to Zhao Senfeng-Keqin probability，To illustrate the characteristics of Bayesian probability model Zhao Senfeng Keqin probability with zhinao thinking integrity, foresight and flexibility etc，open up a new way for the application of artificial intelligence and other areas of Bayesian reasoning.

Bayes probability; Zhao Senfeng-Keqin probability;connection number;posterior values;wisdom brain thinking characteristics; set pair analysis

2014-05-18.

日期：2015-01-13.

國家社會科學基金重點資助項目（08ASH006）；教育部哲學社會科學研究重大課題攻關項目（08JZD0021-D）.

趙克勤.E-mail: zjzhaok@sohu.com.

10.3969/j.issn.1673-4785.201405022

http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3969/j.issn.1673-4785.201405022.html

文獻標志碼：A 文章編號：1673-4785（2015）01-0051-11

趙克勤,趙森烽. 貝葉斯概率向趙森烽-克勤概率的轉換與應用[J]. 智能系統學報， 2015, 10（1）: 51-61.

英文引用格式：ZHAO Keqin，ZHAO Senfeng. Bayes probability transition to Zhao Senfeng-Keqin probability and its application[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems, 2015, 10（1）: 51-61.