Helmert分類定權法在水準測量中的應用

吳 偉，李 浩，孫傳勝，張國發

（1.中國電建集團 貴陽勘測設計研究院有限公司，貴州 貴陽 550081）

Helmert分類定權法在水準測量中的應用

吳 偉1，李 浩1，孫傳勝1，張國發1

（1.中國電建集團 貴陽勘測設計研究院有限公司，貴州 貴陽 550081）

針對傳統定權方法不能較好地顧及地形起伏對高差觀測誤差的影響這一問題，把整網水準觀測值分為按測站及距離定權，將Helmert方差分量估計方法應用于高差觀測值實測精度的水準網分類定權中，該方法能較合理地根據地形情況確定初始權陣、提高初始權精度、反映高程監測網的實際狀況。結合算例，對該方法定權及平差效果進行了分析。

分類定權；偶然中誤差；方差一致性檢驗；Helmert方差分量估計

在水利水電工程中，精密水準測量已成為保障施工質量、監測外部變形的重要手段，如何獲得高精度的平差結果以及合理的水準測量精度成為水準數據處理的關鍵問題[1]。通常情況下，對高程監測網進行整體平差，要么整網按測站數定權，要么整網按水準路線長度定權，忽略了測段間地理環境的差異。水電工程大多處于深山峽谷地帶，測區環境復雜、落差大，不同區域每km或每測站的高差觀測精度都可能有較大的差異[2]，因此有必要對高差觀測值的權值按地域差異及觀測值類型分類考慮[3]。在處理不同類觀測值或不同精度觀測值權比確定不準的問題時，常用Helmert方差分量估計方法，它通過驗后方差協方差進行重新定權，不斷調整各類觀測值的權比，直至結果收斂[4]。

1 分類定權方法

水準測量的主要誤差有視準軸與水準管軸不平行的誤差、水準尺分劃誤差、水準尺傾斜誤差、調焦誤差、日照及風力引起的誤差、精平誤差和水準儀及水準尺下沉誤差等。顯然，在水準測量的每個測站都有可能引入這些誤差，且隨著視距的拉長，觀測誤差會增大。因此，高差測量的中誤差可表示為測站數N和水準路線長度S的增函數[3]：

式中，f表示某一統計函數關系。

定義統計量K0：

式中，N總為總測站數；S總為總路線長度（km）。同理，對于任意第i測段有統計量Ki：

K0為整體地形因子，對一個特定的水準網，它能反映水準測區的整體起伏狀況；Ki為第i測段的局部地形因子，它能反映單個測段的起伏狀況。

對于任意測段i、j，若Ki＜K0，按水準路線長度定權，即若Kj≥K0，按測站數定權，即

設水準測量中第i測段的往、返測高差是獨立等精度的，權均為Pi，往測高差為hi'，返測高差為hi"，往返測高差較差為di，則有[5]：

由此可得，高差較差的中誤差md為：

式中，n為測段數。由式（7），按誤差傳播定律求得單程（往測或返測）水準測量的高差中誤差m0為：

同理可得，往返測高差中數的偶然中誤差m0'為：

式中，Pi取值不同，m0'的意義不同。若側重考慮路線長度對高差觀測誤差的影響，則可取權Pi=1/Si。代入式（10），可得水準測量每km高差中數的偶然中誤差

若關心測站數對高差觀測精度的影響，則取Pi=1/Ni，代入式（10），可得水準測量每測站高差中數的偶然中誤差

2 Helmert方差分量估計方法

利用預平差的改正數V，按驗后估計各類觀測量驗前方差的方法，m類觀測值的Helmert估計公式為[6]：

式中，

其解為：

Helmert方差分量估計的迭代計算步驟如下：

1）將觀測值按等級或來源分類，并進行驗前權估計，即確定各類觀測值的權初值P1，P2，…，Pm。

3）進行第一次方差分量估計，求得各類觀測值單位權方差的第一次估值再依式（15）定權：

3 方差一致性檢驗

對平差模型的正確性檢驗，常用的方法是進行方差一致性檢驗，又稱整體檢驗法。平差系統的數學模型包括函數模型和隨機模型，觀測值的權決定了平差系統的隨機模型，進而影響整個平差結果。如果隨機模型誤差的數量級不超過最大的偶然誤差，則認為平差模型是可靠的，定權方法是合理的[3]。然而對于同一個控制網的平差，或許有多種定權方法可供選擇，但每種方法都有一定的適用范圍，不能一勞永逸，因此需要建立判定定權方法正確性的統計檢驗模型。

理論上，不論參數平差模型還是條件平差模型，都有如下統計量[6,7]：

當取顯著水平為a時，接受域為：

若統計量x2落在了接受域D內，則接受原假設H0；若統計量x2落在了接受域D外，則拒絕原假設H0，而接受備選假設H1。一般認為，若H0成立，則可以說平差模型是合理的或基本合理的；若H1成立，則說明平差模型一定不正確。

4 實例分析

為了驗證分類定權平差模型的可行性和有效性，采用某區域二等沉降監測網觀測數據對模型進行檢驗。整條水準線路共由32個測段組成，有的測段地勢平坦，有的測段落差較大（最大為16.6 m）。根據水準網間接平差理論，編寫水準網平差程序，實測數據分別按測站數、測段長度進行高差分類定權，采用Helmert方差分量估計對高差分類定權法進行迭代計算，各定權方法方差一致性檢驗及精度分析如下。

4.1 Helmert方差分量估計

通過建立水準測量分類定權間接平差模型，反復進行“平差-方差分量估計-定權后再平差”，迭代結果如表1所示。

表1 Helmert方差分量估計迭代計算

由表1可知，通過2次迭代計算，Helmert方差分量估計很好地解決了水準測量中分類觀測值權的匹配問題。第2次迭代結束時，相對權比為1∶1，統計量x2值達到最大13.664 6。

4.2 方差一致性檢驗

對3種定權方法（按測段長度定權、按測站數定權、分類定權）的后驗方差在顯著性水平a=0.05下進行一致性檢驗，后驗單位權中誤差分別為0.01、0.35、13.66。

查閱x2分布表，可得接受域為：

由表1可知，基于Helmert方差分量估計的分類定權法后驗單位權中誤差x2統計量值為13.664 6，通過了方差一致性檢驗（7.56＜13.66＜30.19），接受原假設，平差模型是合理的；而前兩種方法均通過檢驗，由此可以證明基于往返測高差較差的水準網分類定權新方法對測段的起伏狀況有良好的適應性，較傳統方法更有優勢。

4.3 高差平差結果對比分析

分別按各定權方法平差后，高差平差值差異對比結果如圖1和表2所示。

表2 各定權方法的高差平差值差異（絕對值）統計表/mm

圖1 各定權方法的高差平差值差異曲線

由圖1和表2可知，3種定權方法的高差平差值差異均較小，幾乎一致。這是因為單位水準路線長度內的測站數差異較小，按3種方法定權各觀測值間的權比關系趨于一致，高差不符值或閉合差的分配也一致，高程和高差的平差結果差異必定很小。

4.4 精度對比分析

各定權方法平差后，相鄰點高差中誤差的對比結果如圖2和表3所示。

圖2 不同定權方法相鄰點高差中誤差對比圖

表3 不同定權方法平差后精度比較表/mm

由圖2和表3可知，3種定權方法平差后高程和高差的中誤差以測站定權為最大，按測段長度定權與分類定權精度相當，這可能是由于整個水準網小，起伏的測段占多數，同時部分測段的起伏又特別劇烈所致。分類定權方法對傳統定權方法精度評定的極端現象起到了一定的中和作用，更能反映監測網的實際狀況。

5 結 語

1）在水準測量中，將觀測值分為按測站數和測段長度定權兩類，能較合理地根據地形情況確定初始權陣，提高了初始權精度，按照Helmert方差分量估計迭代1～2次即可取得滿意結果。

2）分類定權方法對傳統定權方法精度評定的極端現象起到了一定的中和作用，更能反映監測網的實際狀況。

3）由于高差的不符值或閉合差均較小，計算結果精度提高得不明顯；若采用多期觀測、增加多余觀測量等手段，通過分類定權可以使水準測量精度得到明顯提高。

[1] 王磊,郭際明,喻永平,等.水準網定權方法對精度評定的影響[J].測繪通報,2011(5):26-28

[2] 楊魯強,牟平,王春生,等.龍口施工控制網一等跨河水準測量的實施及精度分析[J].水利水電工程設計,2007,26(4): 40-43

[3] 龔率.工程控制網平差的定權方法研究及其軟件研制[D].成都:西南交通大學,2013

[4] 劉長建,馬高峰.Helmert方差分量估計結果的方差一致性檢驗實質[J].測繪學院學報,2002,19(2): 96-98

[5] 武漢大學測繪學院測量平差學科組.誤差理論與測量平差基礎[M].武漢:武漢大學出版社,2009

[6] 崔希璋,於宗儔,陶本藻,等.廣義測量平差[M].武漢:武漢大學出版社,2009

[7] 孔祥元,郭際明.控制測量學 [M].武漢:武漢大學出版社,2006

P216

B

1672-4623（2015）04-0154-04

10.3969/j.issn.1672-4623.2015.04.055

吳偉，碩士，工程師，主要從事工程安全監測工作。

2014-07-09。