復雜船舶圍壁的傳熱多項式傳遞函數辨識

李偉光，楊海燕，李麗，李安邦，徐新華

1 中國艦船研究設計中心，湖北武漢430064

2 華中科技大學環境科學與工程學院，湖北武漢430074

0 引 言

船舶空調系統耗能占船舶用能的很大比例，降低其能耗對整個船舶行業的節能減排具有重要意義。空調負荷計算是空調系統設計的基礎，是選擇空調設備容量的依據。目前，船舶的空調負荷計算采用穩態算法，但得到的空調負荷與艙室實際負荷相差很大。實際上，由于船舶的流動性，隨著艙外溫度、海水溫度、船舶行進速度及太陽輻射條件的變化，艙室內的空調負荷也隨之變化。同時，船舶圍壁本身存在蓄熱性，外界熱擾通過圍壁傳入艙室會有時間上的延遲和幅值的衰減。因此，分析船舶圍壁的動態傳熱對船舶空調負荷準確計算和船舶節能具有重要意義。國內外關于船舶圍壁傳熱的研究很少，大多采用穩態計算，傳熱系數則直接根據相關標準［1］和手冊［2］提供的參考值或者簡化算法來獲取。

目前，在建筑空調負荷計算和能耗分析中采用的動態傳熱計算方法為反應系數法［3］和z 傳遞函數法［4］。通常采用直接求根法在頻域內求解熱傳導偏微分方程和傅立葉方程獲得反應系數和z傳遞系數，這種方法存在求根困難、失根等缺點。狀態空間法［5］、時域法［6］也可求取反應系數和z 傳遞系數，但需要長時間的迭代過程。陳友明等［7］提出了一種計算圍護結構動態傳熱的方法——頻域回歸法。該方法基于系統辨識理論，推導計算出圍護結構動態傳熱的理論頻域熱特性，再用辨識算法從得到的理論頻域熱特性中獲得圍護結構的一些簡單又等價的數學模型，即s-多項式傳遞函數，進而計算圍護結構傳熱的反應系數與z傳遞函數。在已知室內、外邊界的條件下，由圍護結構傳熱的反應系數或z 傳遞函數可以計算圍護結構壁面的瞬時熱流。獲取船舶圍壁的傳熱傳遞函數是采用反應系數法或者z 傳遞函數法計算船舶動態傳熱的前提，對于船舶圍壁等不規則結構，其傳熱傳遞函數很難通過理論推導得出。

根據系統辨識理論，在系統頻域特征已知的情況下，可以通過參數辨識的方法獲取系統的傳遞函數。頻域有限差分（FDFD）法可以直接、快速地計算線性熱力系統的頻域熱特性［8］。本文擬通過建立復雜船舶圍壁的頻域有限差分模型來獲取該結構的理論頻域熱特性，然后采用參數辨識方法，對構造的復雜船舶圍壁s-多項式傳熱傳遞函數的參數進行辨識。s-多項式傳遞函數計算得到的頻域熱特性與FDFD 模型計算得到的頻域熱特性的比較結果說明了辨識的s-多項式傳遞函數能很好地反映船舶圍壁的動態熱特性。

1 船舶圍壁物理模型

船舶圍壁結構較為復雜，文獻［1］列出了不同隔熱材料、尺寸的船舶圍壁隔熱結構形式。隔熱結構可分為有金屬骨架的和無金屬骨架的絕熱結構，絕熱結構由絕熱材料、面板和木襯條組成。本文選取其中典型的一種有空氣層的隔熱結構［9］進行分析研究。該種船舶圍壁結構組成及尺寸（單位：mm）如圖1 所示，各部分材料的物理特性參數如表1 所示。船舶圍壁內部空氣層不考慮對流作用，認為是純導熱，空氣層的導熱系數取為當量導熱系數［2］，圍壁內、外表面換熱系數分別取為8 W/（m2·K）和80 W/（m2·K）［1］。

圖1 船舶圍壁結構Fig.1 Structure of ship casing wall

表1 結構各部分的物理特性參數Tab.1 Physical parameters of ship casing wall material

2 傳遞函數法

2.1 船舶圍壁傳遞函數的基本描述

系統的s-多項式傳遞函數G(s) 表征了系統的特性，定義為：初始條件為零時，系統輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。當已知熱擾T(s)時，由圍壁的s 傳遞函數G(s)，就可以得到圍壁的輸出響應，即Q(s)=G(s)T(s)。船舶圍壁材料的物理特性參數可以認為是定常的，因此船舶圍壁系統是線性定常系統，具有疊加性。船舶圍壁傳熱的輸入、輸出響應可以用傳遞矩陣（1）表示：

式中：GX(s)，GZ(s)為圍壁內表面和外表面吸熱s-多項式傳遞函數；GY(s)，GY'(s)分別為圍壁由外到內和由內到外的橫向傳熱s-多項式傳遞函數；Tout(s)為艙外空氣綜合溫度；Tin(s)為艙內空氣溫度；Qout(s)為圍壁外表面熱流；Qin(s)為圍壁內表面熱流。對于平板型圍護結構，G(s)可以通過對其傳熱微分方程作拉氏變換推導得出。但是船舶圍壁結構不規則，其傳熱傳遞函數無法通過理論推導得出。由于船舶圍壁是線性定常系統，可以認為其傳熱傳遞函數具有多項式傳遞函數的形式，即

本文將通過建立船舶圍壁的FDFD 模型來計算該結構的頻域熱特性，并采用參數辨識的方法來辨識復雜船舶圍壁s-多項式傳遞函數的系數。

2.2 頻域有限差分模型

FDFD 模型的基本原理是：采用經典有限差分法將二維模型離散成一系列的單元格，每個單元格由4 個熱阻和1 個熱容組成，如圖2 所示；然后建立各單元的傳熱方程并進行頻域求解，最終得到模型的頻域熱流響應。熱容節點的溫度可以表示成振幅為、頻率為ω、初相位為Φ 的復指數形式，如式（3）所示。每個單元格與相鄰4 個單元格的能量平衡方程如式（4）所示。將式（3）的表達式代入式（4），可以得到式（5）的熱流平衡方程。最后，聯立每個節點的熱流平衡方程得到船舶圍壁整個計算區域內的熱流平衡方程組。

圖2 船舶圍壁的離散模型Fig.2 Discrete model of ship casing wall

給定不同頻率的邊界諧波熱擾，對船舶圍壁整個計算域內的熱流平衡方程組進行求解，可以得出各個節點的u 和v，即獲得了船舶圍壁的頻域熱特性。從而進一步由式（1）可以得到船舶圍壁的內表面吸熱理論頻域熱特性GX(jω)、外表面吸熱理論頻域熱特性GY(jω)以及橫向傳熱理論頻域熱特性GZ(jω)。

2.3 s-多項式傳遞函數參數辨識

本文對船舶圍壁的s-多項式傳遞函數的辨識實質是求得合適的s-多項式傳遞函數的系數，以使其頻域熱特性與理論頻域熱特性（由FDFD 模型計算得到）相一致。船舶圍壁的多項式傳遞函數如式（2）所示，將s=jω 代入其中，就可以得到該多項式函數的頻域熱特性。船舶圍壁傳遞函數的辨識過程可以描述為一個最優化問題：求得系數β0，β1，β2，…，βr和α1，α2，…，αm使得在給定頻域范圍內的目標函數（9）最小。本文采用最小二乘法求解此優化問題，所選取的頻域范圍為10-8～10-3rad/s，具體的求解過程可參考文獻［7］。

式中：ωk表示第k 個頻率點；IM(·)表示取復數的虛部；RE(·)表示取復數的實部；N 表示所選取頻率點的總數。

3 計算結果分析

根據FDFD 模型計算得到10-8～10-3rad/s 頻域范圍內船舶圍壁的頻域熱特性，進而通過參數辨識得到等價的s-多項式傳遞函數，如式（10）～式（12）所示。

將s=jω 代入式（10）～式（12）便可得到s-多項式傳遞函數的頻域熱特性，即FDFD 模型可以計算得到船舶圍壁的理論頻域熱特性，即GX(jω)，GY(jω)，GZ(jω)。s-多項式傳遞函數的頻域熱特性與FDFD 模型的理論頻域熱特性的比較如圖3～圖5 所示。

由圖可見，兩者的頻域熱特性曲線非常吻合，變化趨勢一致。在低頻區域，船舶圍壁內表面吸熱頻域熱特性與橫向傳熱頻域熱特性的幅值基本不變，相位角接近于0。在高頻區域，頻域熱特性的幅值和相位角隨頻率的變化較大，船舶圍壁內表面吸熱頻域熱特性的幅值是隨頻率的增加而增加，橫向傳熱頻域熱特性的幅值是隨頻率的增加而減小，內表面吸熱和橫向傳熱頻域熱特性的相位角隨頻率增加而減小。在頻率為10-5rad/s（周期為174 h，即7 d）時，船舶圍壁內表面吸熱頻域熱特性與橫向傳熱頻域熱特性的幅值和相位角開始出現較大變化，船舶圍壁傳熱呈現出明顯的動態特征。結果說明，由參數辨識方法得到的s-多項式傳遞函數可以很好地反映船舶圍壁（FDFD 模型）的動態熱特性。圖3～圖5 的頻域熱特性也進一步說明了在實際周圍環境的周期變化下，圍壁的動態特性很強，在進行傳熱計算時需要考慮其動態特性。

圖3 船舶圍壁內表面吸熱頻域熱特性曲線Fig.3 Frequency responses of internal heat conduction of ship casing wall

圖4 船舶圍壁外表面吸熱頻域熱特性曲線Fig.4 Frequency responses of external heat conduction of ship casing wall

圖5 船舶圍壁橫向傳熱頻域熱特性曲線Fig.5 Frequency responses of cross heat conduction of ship casing walls

4 結 語

本文構造了復雜船舶圍壁的多項式傳熱傳遞函數，以該圍壁的FDFD 模型計算的理論頻域熱特性為參考，采用參數辨識算法辨識了多項式傳遞函數的系數。s-多項式傳遞函數的頻域熱特性曲線與FDFD 模型的理論頻域熱特性曲線能很好地吻合，在低頻區域，船舶圍壁內表面吸熱頻域熱特性與橫向傳熱頻域熱特性的幅值和相位角基本不變，在高頻區域（周期約小于7 d），頻域熱特性的幅值和相位角隨頻率的變化較大，船舶圍壁傳熱呈現明顯的動態特征。結果表明，通過參數辨識得到的多項式傳遞函數可以很好地反映船舶圍壁的動態熱特性，也進一步說明了在實際周圍環境的周期變化下圍壁的動態特性很強，在進行傳熱計算時需要考慮其動態特性。

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