傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)反演識別*

李　想，湯智胤，吳　鋼，周　剛，畢　柯，張青枝

(1.海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院， 湖北 武漢　430033； 2.中國科學(xué)院 低溫工程學(xué)重點實驗室， 北京　100190)

?

傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)反演識別*

李想1，湯智胤1，吳鋼1，周剛2，畢柯1，張青枝1

(1.海軍工程大學(xué) 動力工程學(xué)院， 湖北 武漢430033； 2.中國科學(xué)院 低溫工程學(xué)重點實驗室， 北京100190)

摘要：在傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體系統(tǒng)中，超導(dǎo)磁餅熱導(dǎo)率以及磁餅與導(dǎo)冷體之間的界面熱阻是影響熱輸運的主要因素，也是傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體系統(tǒng)熱設(shè)計的難點。為了獲得準(zhǔn)確的熱導(dǎo)率和界面熱阻參數(shù)，根據(jù) Levenberg-Marquardt算法提出通過表面測溫確定傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)的反演識別方法。搭建低溫實驗數(shù)據(jù)測試平臺，建立高溫超導(dǎo)磁餅三維各向異性熱傳導(dǎo)模型。利用反演算法對傳導(dǎo)冷卻Bi2223高溫超導(dǎo)磁體在40～76K溫區(qū)的各向異性熱導(dǎo)率與界面熱阻進(jìn)行反演識別，并分析測溫誤差對識別結(jié)果的影響。研究成果將為超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)的獲取提供一種新思路。

關(guān)鍵詞：高溫超導(dǎo)；熱導(dǎo)率；界面熱阻；各向異性；參數(shù)識別

近些年來，低溫制冷技術(shù)和新型高溫超導(dǎo)材料的發(fā)展，極大地推動了超導(dǎo)磁體的應(yīng)用[1]。相比于液體浸泡冷卻超導(dǎo)磁體，傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體可以獲得更寬的運行溫度，而且結(jié)構(gòu)緊湊、運行維護(hù)方便、安全性好，是超導(dǎo)磁體應(yīng)用研究的重要方向[2]。傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)(主要包括超導(dǎo)磁餅各向熱導(dǎo)率以及超導(dǎo)磁餅與導(dǎo)冷結(jié)構(gòu)之間的界面熱阻)對傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體的熱設(shè)計和熱分析至關(guān)重要。

目前，超導(dǎo)磁餅熱導(dǎo)率主要采用以下幾種方法獲取：一是采用超導(dǎo)帶材的熱導(dǎo)率作為磁餅的熱導(dǎo)率[3]；二是按照超導(dǎo)磁餅中各種材料組分比進(jìn)行熱導(dǎo)率參數(shù)的換算[4]；三是采用傳統(tǒng)的熱導(dǎo)率測試方法，從磁餅上切割標(biāo)準(zhǔn)樣品進(jìn)行測試[5-6]。然而磁餅是由高溫超導(dǎo)(High Temperature Superconducting,HTS)帶材纏繞而成，并經(jīng)過絕緣處理、環(huán)氧樹脂浸漬固化，其熱物性參數(shù)與帶材有較大不同，具有強烈的各向異性；第二種方法忽略不同組分材料之間的界面熱阻與組織結(jié)構(gòu)；第三種方法準(zhǔn)確性最高，但從磁餅上切割樣品進(jìn)行測試將會導(dǎo)致整個磁餅的報廢，代價太大。目前對于HTS磁體系統(tǒng)中的界面熱阻也有一定的研究[7-9]，但這些大都是基于單一材質(zhì)之間或者單一材質(zhì)與超導(dǎo)帶材之間的界面熱阻研究，而實際傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體系統(tǒng)熱分析中所涉及的界面熱阻主要體現(xiàn)在具有一定結(jié)構(gòu)特征的超導(dǎo)磁餅與導(dǎo)冷結(jié)構(gòu)之間。

當(dāng)前，國內(nèi)外不僅缺乏完整的傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)數(shù)據(jù)，而且也缺乏有效的獲取方法。為此，提出了基于導(dǎo)熱反問題的方法對傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)進(jìn)行反演識別。

1低溫實驗設(shè)計

通過反演的方法獲取HTS磁餅各向異性熱導(dǎo)率，首先需要根據(jù)被研究對象結(jié)構(gòu)特征設(shè)置合適的邊界條件，使其內(nèi)部的熱物性特征通過外在的溫度場分布體現(xiàn)出來。要實現(xiàn)HTS磁餅徑向、軸向、周向熱導(dǎo)率的準(zhǔn)確識別，必須在這3個方向上形成明顯的溫度梯度。為此，對HTS磁餅的傳熱邊界條件設(shè)定如圖1所示，通過加熱器對超導(dǎo)磁餅上的區(qū)域Ω1施加均勻熱流；區(qū)域Ω2與導(dǎo)冷體的控溫面接觸。導(dǎo)冷體與磁餅之間的界面熱阻通過導(dǎo)冷體控溫面與磁餅接觸面之間的溫差體現(xiàn)出來。

圖1　邊界條件設(shè)置Fig.1　Settings of boundary

圖2　低溫實驗系統(tǒng)Fig.2　Low temperature experiment system

為了實現(xiàn)上述邊界條件，建立了如圖2所示的低溫實驗系統(tǒng)。該實驗系統(tǒng)主要包括低溫測量單元、低溫溫控單元、真空單元[10]。低溫溫控單元由低溫制冷機、溫控儀、加熱器、溫度傳感器組成。冷量主要由制冷機二級冷頭提供，并在一級冷頭和二級冷頭上安裝防輻射屏，減少輻射熱對樣品的影響，控溫過程中由溫度傳感器感受導(dǎo)冷體控溫面溫度變化并反饋給溫控儀，溫控儀通過調(diào)節(jié)加熱器電流大小來控制加熱量，從而使控溫面溫度達(dá)到設(shè)定值。真空單元由真空泵、復(fù)合真空計等組成，用來提供和監(jiān)測真空測試環(huán)境。

2導(dǎo)熱正問題模型與數(shù)值求解

2.1　三維各向異性熱傳導(dǎo)模型

HTS磁餅截面如圖3所示，r0，r1分別為HTS磁體的內(nèi)、外徑；L0為HTS磁體的厚度；Ω為磁餅所有的邊界集合。HTS磁餅熱導(dǎo)率在軸向、徑向和周向是正交異性的，柱坐標(biāo)系下三維正交異性穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)微分方程為：

(1)

(2)

T(r,φ,z)=Tb-RCq(r,φ,z)∈Ω2

(3)

其他邊界面為絕熱，滿足

(4)

其中：T為HTS磁餅的溫度分布；r,z,φ分別為徑向、軸向和周向坐標(biāo)；kr，kz，kφ分別為HTS磁餅徑向、軸向和周向的熱導(dǎo)率；Tb為導(dǎo)冷體控溫面溫度；q′為磁餅邊界熱流密度。穩(wěn)態(tài)時由區(qū)域Ω1進(jìn)入磁餅的熱流等于由區(qū)域Ω2流出磁餅的熱流。如圖4所示，由于界面熱阻的存在，磁餅溫度邊界區(qū)域Ω2處的實際溫度邊界應(yīng)為Tb-RCq，RC為磁餅與導(dǎo)冷體之間的界面熱阻，q為流經(jīng)接觸界面處的熱流密度。

圖3　HTS磁餅截面圖Fig. 3　Sectional view of HTS magnetic pancake

圖4　界面熱阻Fig.4　Thermal boundary resistance

2.2　正問題求解

三維正交異性熱傳導(dǎo)正問題求解通常很難獲得解析解，可以通過數(shù)值方法進(jìn)行求解。有限體積法是在有限差分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，同時吸收了有限元法的一些優(yōu)點，具有物理意義明確、計算精度高等特點。采用有限體積法三維均勻網(wǎng)格系統(tǒng)來離散求解域，柱狀體三維控制容積如圖5所示。節(jié)點P位于控制容積的中部，它有6個相鄰節(jié)點，分別位于東(點E)、西(點W)、南(點S)、北(點N)、上(點A)、下(點B)方向。e，w，s，n，t，b分別代表控制體的東側(cè)、西側(cè)、南側(cè)、北側(cè)、上側(cè)、下側(cè)邊界。

圖5　單元體極坐標(biāo)Fig.5　Unit under polar coordinates

有限體積法通過對控制體積的積分來實現(xiàn)方程的離散，在控制容積內(nèi)對式(1)進(jìn)行積分，則得到節(jié)點P對應(yīng)的離散方程：

aPTP=aETE+aWTW+aNTN+aSTS+aATA+aBTB+Su

(5)

3導(dǎo)熱反問題熱輸運參數(shù)識別

3.1　導(dǎo)熱反問題參數(shù)識別描述

導(dǎo)熱反問題熱輸運參數(shù)反演識別的本質(zhì)是通過對待識別熱輸運參數(shù)初始假設(shè)按照一定算法不斷修正，并代入正問題求解模型獲得相應(yīng)溫度分布，以期找到一組熱輸運參數(shù)使檢測點的求解溫度分布與其真實溫度分布相吻合。檢測點的求解溫度與實際測試溫度的吻合程度可以采用目標(biāo)函數(shù)S(P)來衡量。

(6)

3.2　Levenberg-Marquardt反問題算法

Levenberg-Marquardt算法是一種簡單、收斂速度快的優(yōu)化算法[12]。它通過使目標(biāo)函數(shù)最小化來確定反問題的解。通過對式(6)求偏導(dǎo)可得到S(P)最小化條件：

(7)

其中，J(P)=?T(P)/?PT。將T(P)在Pk處按泰勒級數(shù)展開并去掉高階項，同時在結(jié)果中加入衰減參數(shù)μ調(diào)節(jié)收斂速度，得到P的迭代公式：

(8)

其中：上標(biāo)k表示迭代次數(shù)，Pk是第k次迭代得到的識別參數(shù)向量，T(Pk)、Jk分別是在參數(shù)向量Pk下計算得到的檢測面溫度和敏感系數(shù)矩陣；μ為一個取正值的調(diào)節(jié)系數(shù)，W為一對角矩陣。

4實例與結(jié)果分析

采用Bi2223高溫超導(dǎo)磁餅為研究對象，圖6為其實物結(jié)構(gòu)，其外徑r1=135mm，內(nèi)徑r0=75mm，厚度h=10mm。根據(jù)磁餅的結(jié)構(gòu)設(shè)置磁餅的熱邊界條件如圖7所示，扇形區(qū)域Ω1為熱流邊界，扇形區(qū)域Ω2為恒定的溫度邊界。

圖6　Bi2223高溫超導(dǎo)磁餅Fig.6　HTS Bi2223 pancake coils

在HTS磁體上依次設(shè)置4個熱電偶監(jiān)測溫度，設(shè)置位置如圖7所示。采用紫銅作為導(dǎo)冷體與超導(dǎo)磁餅上區(qū)域Ω2接觸，并在兩界面之間填充低溫導(dǎo)熱脂。導(dǎo)冷體的溫度控制在Tb=40K，磁餅上區(qū)域Ω1的熱流密度為q=5000W/m2。

圖7　測溫點設(shè)置Fig.7　Setting of temperature measuring points

圖8中反演識別結(jié)果顯示Bi2223超導(dǎo)磁餅軸向、周向和徑向的熱導(dǎo)率分別為kz=4.07W·m-1K-1，kφ=225.46W·m-1K-1，kr=0.538W·m-1K-1；導(dǎo)冷體與磁餅之間的界面熱阻為Rc=1.74×10-3m2K·W-1。由圖9可知，Levenberg-Marquardt算法在熱傳導(dǎo)反問題熱輸運參數(shù)識別中具有較高的精度和較快的收斂速度。為了考慮測溫誤差對反演識別結(jié)果的影響，假設(shè)溫度測量誤差服從正態(tài)分布，TP=(1+σ·ξ)Te為含有測量誤差的測點溫度信息，Te為測點溫度信息的真實值，σ為系統(tǒng)測溫誤差水平，ξ為服從正態(tài)分布的隨機變量。表1為不同測溫誤差水平下熱輸運參數(shù)的定量識別結(jié)果，當(dāng)測溫誤差小于0.3K時，熱導(dǎo)率的識別誤差小于16.1%。

圖8　熱輸運參數(shù)辨識過程Fig.8　Process of heat transfer parameter identification

圖9　收斂精度Fig.9　Convergence precision

表1　測溫誤差對識別結(jié)果的影響

5結(jié)論

1)根據(jù)HTS磁體的結(jié)構(gòu)特征，提出了通過反問題算法與低溫實驗相結(jié)合手段，同時確定傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體中磁餅各向異性熱導(dǎo)率以及超導(dǎo)磁餅與導(dǎo)冷體之間界面熱阻的方法。

2)通過該方法獲得了高溫超導(dǎo)Bi2223磁餅在工作溫區(qū)軸向、徑向和周向熱導(dǎo)率以及磁餅與Cu導(dǎo)冷體之間界面熱阻數(shù)據(jù)，能夠為傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁餅的熱分析和熱設(shè)計提供參考。

3)反演識別結(jié)果表明經(jīng)過環(huán)氧樹脂固化的Bi2223高溫超導(dǎo)磁餅具有嚴(yán)重的各向異性：磁餅周向熱導(dǎo)率比軸向熱導(dǎo)率高2個數(shù)量級，比徑向熱導(dǎo)率高3個數(shù)量級。因此，采用文獻(xiàn)[3-6]中簡單方法確定的磁餅的熱導(dǎo)率是很難滿足磁體精確化熱設(shè)計需求的。

4)低溫下導(dǎo)冷體與磁餅之間存在較大的界面熱阻，在傳導(dǎo)冷卻超導(dǎo)磁體的熱設(shè)計過程中不容忽視。

5)采用Levenberg-Marquardt算法對傳導(dǎo)冷卻高溫超導(dǎo)磁體熱輸運參數(shù)進(jìn)行反演識別，具有收斂速度快，收斂精度高等優(yōu)點。

參考文獻(xiàn)(References)

[1]Ono M, Kuriyama T, Oguchi A, et al. Cryocooler-cooled highTcsuperconducting magnet excited by thermoelectromotive force[J]. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2004, 14(2): 1194-1197.

[2]Choi Y S, Kim D L, Shin D W. Initial cooldown characteristic of conduction-cooled high field magnet system[J]. IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2011, 21(3): 1604-1607.

[3]唐斯密，吳鋼，王惠齡，等．直接冷卻的高溫超導(dǎo)磁體熱穩(wěn)定性有限元仿真[J]．低溫與超導(dǎo)，2006，34(6)：446-450．

TANG Simi, WU Gang, WANG Huiling, et al. Simulation on the thermal stability of the superconducting magnet directly cooled by cryocooler based on FEM[J]．Cryogenics and Superconductivity, 2006，34(6)：446-450．(in Chinese)

[4]Lehtonen J, Mikkonen R, Paasi J. Effective thermal conductivity in HTS coils [J]. Cryogenics, 2000, 40(4): 245-249.

[5]Huang T T, Johnstone A, Yang Y F, et al. Finite element modeling of thermal stability and quench propagation in a pancake coil of PbBi2223 tapes [J].IEEE Transactions on Applied Superconductivity, 2005, 15 (2): 1647-1650.

[6]Naitoa T，F(xiàn)ujishiro H，Yamada Y．Anisotropic thermal transport in double-pancake coil wound with DI-BSCCO tape[J]．Physica C: Superconductivity，2010, 470(20):1397-1400．

[7]Bi D M, Chen H X, Tian Y. Influences of temperature and contact pressure on thermal contact resistance at interfaces at cryogenic temperatures[J]. Cryogenics, 2012, 52(7): 403-409.

[8]Rao R S, Wang J R, Zhuang H R, et al. An investigation on interface thermal resistance at superconductor cooling by cryocooler[J]. Physica C: Superconductivity, 2003, 386(8): 547-550.

[9]Fujishiro H，Okamoto T，Hirose K．Thermal contact resistance between high-Tcsuperconductor and copper[J]．Physica C: Superconductivity，2001，357(8): 785-788．

[10]王惠齡. 超導(dǎo)應(yīng)用低溫技術(shù)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2008.

WANG Huiling. Superconducting application low temperature technology [M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2008. (in Chinese)

[11]李人憲.有限體積法基礎(chǔ)[M]. 2版.北京：國防工業(yè)出版社，2008.

LI Renxian. The foundation of finite volume method[M]. 2rd ed. Beijing: National Defense Industry Press, 2008. (in Chinese)

[12]Marquardt D W. An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters[J]. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 1963, 11(2): 431-441.

http://journal.nudt.edu.cn

Inversion identification of heat transport parameters of conduction cooling high temperature superconducting magnet

LIXiang1,TANGZhiyin1,WUGang1,ZHOUGang2,BIKe1,ZHANGQingzhi1

(1. College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China;

2. Key Laboratory of Cryogenics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

Abstract：In conduction cooling high temperature superconducting (HTS) magnet system, thermal conductivity of HTS magnetic pancakes and thermal boundary resistance between magnetic pancake and cooling body are the major factors affecting heat transport, and the difficult points for the thermal design of conduction cooling HTS magnet as well. A new method, based on the Levenberg-Marquardt algorithm, to simultaneously identify each heat transport parameter from the temperature distribution on the inspection surface was put forward. A low temperature experiment platform was setup, and a three-dimensional orthotropic heat transfer model of magnetic pancake was built. The orthotropic thermal conductivity and thermal boundary resistance of conduction cooling Bi2223 HTS magnet at 45～72 K were obtained with the method mentioned above. The influence of temperature measurement error on identification results was analyzed. The research result provides a new thought for obtaining heat transport parameters of conduction cooling superconducting magnet.

Key words：high temperature superconducting; thermal conductivity; thermal boundary resistance; orthotropic; parameter identification

中圖分類號：O511.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)06-150-05

作者簡介：李想(1986—)，男，河南信陽人，博士研究生，E-mail：suplixiang@163.com； 吳鋼(通信作者)，男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，E-mail：gangwu206@hotmail.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(51076165)；中國科學(xué)院重點實驗室基金資助項目(CRYO201221)

收稿日期：*2014-12-23

doi:10.11887/j.cn.201506027