黏彈性基底上阻尼碳納米管的動力學特性*

張大鵬，雷勇軍

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙　410073)

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黏彈性基底上阻尼碳納米管的動力學特性*

張大鵬，雷勇軍

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙410073)

摘要：采用歐拉梁模型建立了有阻尼碳納米管在黏彈性基底上的動力學問題分析模型。通過引入非局部理論、廣義Maxwell黏彈性模型、速度相依的外阻尼模型及黏彈性基底模型推導出碳納米管動力學分析的歐拉梁振動控制方程。在Kelvin-Voigt黏彈性模型基礎上，分別給出無基底和全基底支撐時碳納米管固有頻率的一般解析表達式，并分析討論全基底時的多種典型情況。然后利用傳遞函數方法求解出一般邊界條件下振動控制方程的封閉解。以某單壁碳納米管為例，得到不同邊界條件下該單壁碳納米管的前四階固有頻率，并分析了碳納米管非局部參數、黏彈性參數、基底剛度及長度等影響因素對固有頻率和阻尼因子的影響情況。結果表明，文中所建的動力學分析模型及計算方法對解決碳納米管在黏彈性基底上的動力學問題準確有效。

關鍵詞：動力學特性；黏彈性基底；歐拉梁；非局部彈性理論；傳遞函數方法

自1991年被發現以來[1]，碳納米管(Carbon Nanotubes, CNT)以優異的力學、化學、電學及光學性能在物理、化學、納米工程、電子工程和材料工程等領域得到廣泛應用[2-5]。為指導工程實踐，相關學者在碳納米管制備[6]、電學[7-8]、力學[9-13]等方面進行了大量研究。在力學試驗方面，近年來曼徹斯特大學的Young[14-16]通過將碳納米管或石墨烯固定在有機玻璃上，利用拉曼光譜學法研究了相應結構的力學性能。其中固定在有機玻璃上的碳納米管可等效為在基底支撐下歐拉梁的力學模型。通過對該模型進行動力學分析，可為碳納米管性能測試及其操縱技術[17]等提供重要參考。目前，針對梁在基底支撐下的靜力學變形、動力學響應及動力學穩定性等問題，相關學者已開展了大量研究工作[18-22]。然而，在這些研究中基底大多被簡化為一維Winkler模型[23]，即將基底等效為多個相互獨立的線性彈簧，基底上任一點的作用力僅與該點變形成正比。由于有機玻璃屬于典型的黏彈性材料，采用Winkler模型并不能反映其黏彈性特性，因此為了更好地分析碳納米管在有機玻璃上的動力學特性，必須引入黏彈性基底力學模型。

非局部理論[24-25]能較好地彌補經典局部理論在納米尺度下的不足[2,26]，在碳納米管動力學問題研究中得到了廣泛應用。目前，學者利用非局部理論對碳納米管在基底或周圍介質支撐下的動力學問題做了大量研究，并取得一定成果。Chang[2]根據熱彈性力學及非局部彈性理論分析了歐拉梁在Winkler線彈性介質中的熱力學振動及扭轉穩定性問題； Fang及Zhen等[9]采用非局部彈性理論建立了雙壁碳納米管在Winkler線彈性介質中的動力學控制方程，并對其非線性自由振動問題做了相關研究；Fotouhi和Firouz-Abadi等[10]通過非局部連續殼模型就彈性介質中納米錐自由振動問題進行了研究，其中彈性介質簡化為Winkler和Pasternak模型；Kiani[11]針對任意邊界條件下粗短雙壁碳納米管在彈性基底上受軸向載荷時的振動問題，采用非局部理論求得了動力學控制方程的解析解；Arani等[27]則基于非局部理論和Winkler模型分析了氮化硼納米管的非線性振動及不穩定性。就目前而言，針對碳納米管在黏彈性基底上的動力學問題的研究還很少。本文提出了一種研究碳納米管在黏彈性基底上動力學特性的新方法，可為相關問題研究提供有益參考。

1動力學控制方程

阻尼碳納米管在黏彈性基底上的簡化力學模型如圖1所示，碳納米管的長度為L，安放在位于[x1,x2]內的黏彈性基底上。下面通過建立振動控制方程對其動力學特性問題進行研究。

圖1　黏彈性基底支撐下的阻尼碳納米管Fig.1　Damped carbon nanotube with a viscoelastic foundation

1.1　非局部黏彈性理論

針對均勻各向同性彈性材料，Eringen提出的非局部彈性理論[28]將非局部應力張量tij和局部應力張量σij表述為：

(1)

σij(x′)=λeεkk(x′)δij+2μeεij(x′)

(2)

[1-(e0a)22]tij=σij

(3)

將該非局部彈性理論模型推廣到黏彈性材料中，有[30]：

(4)

廣義Maxwell黏彈性模型(如圖2所示)的松弛模量為：

(5)

式中，τm=ηm/Em為松弛時間(其中，ηm為材料阻尼，Em為材料剛度)。

圖2　廣義Maxwell模型Fig.2　General Maxwell model

根據Boltzmann迭加原理，可得碳納米管的本構方程為：

(6)

根據式(4)、式(5)和式(6)，可得[31]：

(7)

1.2　運動平衡方程

在基底支撐區域[x1,x2]上選取微元dx并進行受力分析(如圖1所示)，得到微元dx的動力學平衡方程為：

(8)

(9)

其中，A為橫截面，w(x,t)為碳納米管的橫向變形，p(x,t)為分布外載荷，M(x,t)和Q(x,t)分別為彎矩和剪力，QN(x,t)為基底作用力，Ce(x,t)為外阻尼力。

式(7)兩端乘以y并在橫截面A上積分，得：

(10)

式中，I=∫Ay2dA表示橫截面對y軸的慣性矩。

聯立式(8)、式(9)和式(10)，微元dx的動力學平衡方程變為：

(11)

1.3　外阻尼力及基底作用力

根據文獻[31]，外阻尼力Ce(x,t)取

(12)

式中，C2為外阻尼系數，μ2為黏性系數。

由Winkler模型[19]可知，基底作用力QN(x,t)與變形w(x,t)間的關系式為：

QN(x,t)=kw(x,t)

(13)

式中，k為基底剛度。

在此模型基礎上考慮基底的黏彈性，則基底作用力可表示為：

(14)

式中，C0為基底的黏彈性阻尼系數，H(x)=[H0(x-x1)-H0(x-x2)]，H0(x)為階躍函數。

1.4　動力學控制方程

將外阻尼力表達式(12)和基底作用力式(14)代入動力學平衡方程式(11)，可得：

(15)

為求解碳納米管的固有頻率ω，令p(x,t)=0，同時振動控制方程式的解形如w=W(x)exp(iωt)，則式(15)可化為:

(16)

(17)

當碳納米管端部為固支或簡支時，其位移邊界條件可由位移直接給出。當碳納米管端部自由時，則需給出力邊界條件，其彎矩和剪力表達式為：

(18)

(19)

(20)

對于固支、簡支等邊界條件，可以確定β的取值，如兩端簡支時第i階模態對應有β=iπ。假設β已知，則振動控制方程式(20)可化為關于ω的N+2次常系數多項式，則存在N+2個根，從而可確定碳納米管的固有頻率。

2非局部Kelvin-Voigt黏彈性模型

當黏彈性模型取Kelvin-Voigt模型時，有N=1和E1→，并令τd=η1/E。同時假設外阻尼和基底阻尼均為黏性阻尼(μ2→，μ0→)。

2.1　無基底支撐

基底作用力QN(x,t)中的H(x)項限定了基底的作用范圍，當x1=x2時，碳納米管無基底支撐。此時，式(20)可化為：

-(1+α2β2)ω2+[ζ2+α2β2ζ2+τdc2β4]iω+c2β4=0

(21)

對該二次方程求解，可得到固有頻率為：

(22)

式(22)同文獻[31]中無基底非局部歐拉梁固有頻率表達式完全一致。

2.2　全基底支撐

當x1=0且x2=L時，碳納米管在全長內均受基底支撐，此時式(20)可化為：

(23)

則式(23)根的一般表達式可寫為：

(24)

根據特定物理意義，對固有頻率的一般表達式(24)進行討論，可得以下幾種特殊情況：

1)當碳納米管等效為無阻尼局部彈性梁時，α=τd=ζ0=ζ2=0，則固有頻率為：

(25)

與熟知的歐拉梁經典解ωn=cβ2相比，考慮了基底的剛度參量k*。

2)當碳納米管等效為有阻尼局部歐拉梁時有α=τd=0，可得固有頻率為：

(26)

若k*=ζ0=0，則該解即為黏性阻尼歐拉梁的經典解。

3)當α=ζ0=ζ2=0時，碳納米管為局部黏彈性梁，則有：

(27)

4)當碳納米管等效為無阻尼非局部彈性歐拉梁時，τd=ζ0=ζ2=0，有：

(28)

若k*=0，則該解與文獻[32]中無阻尼非局部歐拉梁固有頻率表達式一致。

5)當等效為非局部黏彈性歐拉梁時，ζ0=ζ2=0，碳納米管復固有頻率表達式為：

(29)

簡要分析了這幾種特殊情況下碳納米管的固有頻率，一般情況下，針對振動控制方程則可通過傳遞函數法[33](Transfer Function Method,TFM)進行求解。

3傳遞函數法求解

(30)

(31)

3.1　基底支撐區域

首先定義狀態向量為：

(32)

將式(30)寫成狀態方程形式，如式(33)所示。

(33)

(34)

式中，

狀態方程式(33)的解可寫為：

(35)

η2(ω)=Ψ(ω)η1(ω)

(36)

3.2　碳納米管整體區域

將式(31)寫成狀態方程形式，如式(37)所示。

(37)

式中，

(38)

碳納米管的邊界條件可以表示為：

M(ω)ηL(ω)+N(ω)ηR(ω)=0

(39)

式中，ηL(ω)=η(0,ω)，ηR(ω)=η(1,ω)，M(ω)和N(ω)為碳納米管的邊界條件選擇矩陣[33]。通過轉換矩陣，ηR(ω)可以通過ηL(ω)表示為：

ηR(ω)=TR(ω)Ψ(ω)TL(ω)ηL(ω)

(40)

將式(40)代入式(39)，則

[M(ω)+N(ω)TR(ω)Ψ(ω)TL(ω)]ηL(ω)=0

(41)

因此，系統的特征方程為：

det[M(ω)+N(ω)TR(ω)Ψ(ω)TL(ω)]=0

(42)

若ωj為其特征值，則對應的模態振型為：

(43)

4算例分析

以某單壁碳納米管(Single-Walled Carbon NanoTubes,SWCNT)為分析對象，黏彈性模型取Kelvin-Voigt模型，分析不同邊界條件下碳納米管非局部參數、黏彈性參數以及基底剛度等對碳納米管固有頻率的影響情況。計算中涉及的主要基本參數[31]如下：SWCNT的等效半徑r=0.55nm，等效壁厚δth=0.342nm，長度L=11nm，楊氏模量E=1TPa，質量密度ρ=2.24g/cm3，非局部參數α∈[0， 0.2]，黏彈性模型Kelvin-Voigt中τd∈[0， 10-4]，基底剛度系數k*∈[0， 3×105]。為便于分析理解，假設系統不消耗能量，黏性阻尼系數ζ0=ζ2=0。

表1給出了不同邊界條件和基底支撐下彈性和黏彈性碳納米管的前四階固有頻率。采用TFM計算得到的無基底支撐下彈性碳納米管的固有頻率與文獻[32]中相關結果相吻合，驗證了模型及算法的正確性。從表縱向分析可知，各階固有頻率在懸臂、簡支及固支條件下受邊界連接剛度的影響依次遞增。從表橫向分析，除懸臂梁基率外，懸臂梁后三階固有頻率和其他邊界條件下各階固有頻率均隨非局部參數α的增大而逐漸減小，考慮黏彈性參數τd后系統的固有頻率出現了虛部，且相對無基底支撐而言，增加基底支撐后各階固有頻率明顯增大。下面將在全基底支撐條件下對各參數的具體影響特性進行分析。

表1不同邊界條件下不同α時固有頻率對比

Tab.1Comparison of the natural frequencies of the nano-beam with different boundary conditions andα

邊界條件無基底支撐下彈性碳納米管固有頻率/GHz(τd=0)全基底支撐下黏彈性碳納米管固有頻率/GHz(k*=3×105,τd=10-4)α=0α=0.1α=0.2α=0α=0.1α=0.2懸臂39.796639.969440.514195.8+0.5i95.9+0.5i96.1+0.5i249.4011234.0656198.9371263.5+19.5i249.2+17.2i216.8+12.4i698.3303577.9745416.6747686.9+153.2i575.0+104.9i422.2+54.5i1368.4487969.8934613.41021238.6+588.3i927.9+295.5i608.2+118.2i簡支111.71106.5894.589141.6+3.9i137.6+3.6i128.6+2.8i446.84378.36278.24450.9+62.7i385.7+45.0i290.6+24.3i1005.4731.65471.18957.9+317.6i717.4+168.2i474.1+69.7i1787.41113.0660.791481.6+1003.6i1046.3+389.1i652.2+137.2i固支253.2239.0206.9265.1+21.2i239.7+17.3i192.8+11.2i698.1577.1411.8715.1+160.7i567.8+99.4i390.9+46.4i1368.5970.2617.21297.3+617.7i925.4+279.6i585.3+105.8i2262.11373.5810.81576.5+1611.7i1250.8+562.9i769.4+187.7i

不同邊界條件下非局部參數α對頻率比Rei/Rei0及Imi/Rei0的影響曲線如圖3所示，其中Rei和Imi分別為第i階固有頻率的實部和虛部，Rei0為所分析參數為初始值時的第i階固有頻率實部。從圖3 (a)和圖3(b)可以看出，懸臂梁(C-F)的一階固有頻率隨α的變化很小，近似水平；兩端簡支(S-S)、固支-簡支(C-S)及兩端固支(C-C)時一階固有頻率均隨α的增大而減小，且減小幅度依次遞增，即固有頻率對α的敏感度隨邊界連接剛度的提高而增大。對比圖3(c)和圖3(d)，二階固有頻率在各邊界條件下具有相似規律，且α的影響程度隨固有頻率階次的增加而增大，其變化規律與碳納米管復固有頻率解析表達式(29)相符。

圖4給出了碳納米管前兩階固有頻率虛部隨黏彈性參數τd的變化曲線。從圖中可以看出，各邊界條件下前兩階固有頻率虛部隨τd呈線性增大，與固有頻率解析表達式(29)的虛部表達式[c2β4/(2+2α2β2)]τdi相一致。同時可以看出，碳納米管在懸臂、簡支、固支-簡支及固支條件下受τd的影響程度依次遞增，即各階固有頻率虛部對τd的敏感度隨邊界連接剛度的提高而增大。對復固有頻率表達式(29)的實部進行分析，發現各邊界條件下松弛時間τd對固有頻率實部的影響很小。

基底剛度系數k*對碳納米管前兩階固有頻率影響曲線如圖5所示。前兩階固有頻率在不同邊界條件下隨剛度系數k*的增大而逐漸增大，且兩端固支梁增大幅度很小，而懸臂梁則有明顯增大，剛度系數k*從0增大到3×105時，一階固有頻率實部增大了近1.4倍，即碳納米管對k*的影響敏感度隨邊界連接剛度的增大而逐漸減小。同時可以看出，基底剛度k*對固有頻率的影響隨階次的增加而減小。通過分析復固有頻率解析表達式(29)的虛部可知，各邊界條件下碳納米管固有頻率虛部不受基底剛度系數k*的影響。

(a)一階實部(a) Real part of the first natural frequencies

(b)一階虛部(b) Imaginary part of the first natural frequencies

(c)二階實部(c) Real part of the second natural frequencies

(d)二階虛部(d) Imaginary part of the second natural frequencies圖3　不同邊界條件下前兩階復固有頻率隨非局部參數α的變化情況Fig.3　Variation of the first two complex natural frequencies with α in different boundary conditions

(a)一階虛部(a) Imaginary part of the first natural frequencies

(b)二階虛部(b) Imaginary part of the second natural frequencies圖4　不同邊界條件下前兩階復固有頻率隨松弛時間τd的變化情況Fig.4　Variation of the first two complex natural frequencies with τd in different boundary conditions

(a)一階實部(a) Real part of the first natural frequencies

(b)二階實部(b) Real part of the second natural frequencies圖5　不同邊界條件下前兩階復固有頻率隨基底剛度系數k*的變化情況Fig.5　Variation of the first two complex natural frequencies with k* in different boundary conditions

(a)一階實部(a) Real part of the first natural frequencies

(b)二階實部(b) Real part of the second natural frequencies圖6　不同邊界條件下前兩階復固有頻率隨基底長度l0的變化情況Fig.6　Variation of the first two complex natural frequencies with l0 in different boundary conditions

5結論

采用歐拉梁模型建立了有阻尼碳納米管在黏彈性基底上的動力學問題分析模型。通過引入非局部理論、廣義Maxwell黏彈性模型、速度相依的外阻尼模型及黏彈性基底模型，建立了碳納米管動力學分析的歐拉梁振動控制方程。基于Kelvin-Voigt黏彈性模型，在特定邊界條件下給出了碳納米管固有頻率的一般精確解析式，并分析討論了多種典型情況。分析表明，無基底支撐時有/無阻尼的經典局部歐拉梁及非局部歐拉梁均是所建模型的特殊情況。

利用傳遞函數方法得到了一般邊界條件下碳納米管的振動控制方程的封閉解。以某單壁碳納米管為算例，得到了不同邊界條件下SWCNT的前四階固有頻率，并分析了碳納米管非局部參數、黏彈性參數、基底剛度及長度等影響因素的動力學特性。其主要結論有：

1)無基底支撐時碳納米管固有頻率與已有文獻中結果吻合，驗證了所建模型及計算方法的正確性；

2)非局部參數α對固有頻率的實部和虛部均有較大影響，且影響程度隨碳納米管邊界連接剛度和頻率階次的增大而增大；

3)不同邊界條件下各階固有頻率實部受碳納米管松弛時間τd影響很小，而虛部則隨τd的增大近似呈線性增加；

4)基底剛度及長度對各階固有頻率虛部影響均很小，而實部則隨之增大而增大，同時基底剛度和長度的影響程度隨頻率階次增高而減小。

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http://journal.nudt.edu.cn

Dynamic characteristics of damped carbon nanotubes on viscoelastic foundations

ZHANGDapeng,LEIYongjun

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

Abstract：The dynamic characteristic analysis model of damped carbon nanotubes on viscoelastic foundations was built by using Euler-Bernoulli beams. The nonlocal viscoelastic theories, general Maxwell viscoelastic model, velocity-dependent external damping model and viscoelastic foundation model were employed to deduce the governing equation of Euler-Bernoulli beams for dynamic characteristics analysis of carbon nanotubes. On the basis of Kelvin-Voigt model, new general analytical expressions for the natural frequencies of damped carbon nanotubes with no foundation and full foundation were obtained respectively and some typical special cases at full foundation were discussed. Then a transfer function method was developed to obtain a closed-form and uniform solution for the vibration governing equation under arbitrary boundary conditions. Considering a single-walled carbon nanotube as a numerical example, the first four natural frequencies with different boundary conditions were obtained, and the effects of the nonlocal and viscoelastic constants, the foundation stiffness coefficient and length on the natural frequencies and damping factors were analyzed. Results demonstrate the efficiency of the proposed model and the analysis methods in solving dynamic problems of damped carbon nanotubes on viscoelastic foundations.

Key words：dynamic characteristics; viscoelastic foundations; Euler-Bernoulli beams; nonlocal elasticity theory; transfer function method

中圖分類號：O343

文獻標志碼：A

文章編號：1001-2486(2015)06-141-09

作者簡介：張大鵬(1989—)，男，河南新鄉人，博士研究生，E-mail：zhangdapenghit@126.com；雷勇軍(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：leiyj108@nudt.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11272348，11302254)

收稿日期：*2014-12-25

doi:10.11887/j.cn.201506026