對一道高考題的再探究

☉江蘇省石莊高級中學 孫建

對一道高考題的再探究

☉江蘇省石莊高級中學 孫建

文1中徐道老師對2011年江蘇省高考數學試卷第13題進行了討論與推廣，文中的解法及所獲結論均不正確.本文將指出文1中解法的錯誤，并給出正確的結論.

例1（2011年江蘇省高考數學試卷第13題）設1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數列，a2，a4，a6成公差為1的等差數列，則q的最小值是_________.

解析：顯然有q＞1.依題意，數列a1，a2，…，a7可改寫成：1，a2，q，a2+1，q2，a2+2，q3.

于是可得不等式1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，故可得不等式組

這種解法雖未影響答案的正確性，但顯然犯“思考不周”之錯.

例2設1=a1≤a2≤…≤a9，其中a1，a3，a5，a7，a9成公比為q的等比數列，a2，a4，a6，a8成公差為1的等差數列，則q的最小值是_________.

例3設1=a1≤a2≤…≤a2n+（1n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比為q的等比數列，a2，a4，…，a2n成公差為1的等差數列，則q的最小值是_________.

文1中的解法及結果均不對，正確解法及結果如下：

綜上，當3≤n≤5時，q的最小值存在，為√33；當n≥6時，q的最小值不存在.

例4將例3中的“a2，a4，…，a2n成公差為1的等差數列”改為“a2，a4，…，a2n成公差為2的等差數列”，其余條件不變，q的最小值是_________.

例5將例3中的“a2，a4，…，a2n成公差為1的等差數列”改為“a2，a4，…，a2n成公差為3的等差數列”，其余條件不變，q的最小值是_________.

解析：仿例3，得n=3、4時，q的最小值為2；而當n≥5時，q的最小值不存在.

例6將例3中的“a2，a4，…，a2n成公差為1的等差數列”改為“a2，a4，…，a2n成公差為4的等差數列”，其余條件不變，q的最小值是_________.

解析：仿例3，得n=3、4時，q的最小值為√5；而當n≥5時，q的最小值不存在.

例7設1=a1≤a2≤…≤a2n+（1n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比為q的等比數列，a2，a4，…，a2n成公差為d的等差數列，若2＜d≤3+2，則當n=3、4時，q的最小值存在，為；而當n≥5時，q的最小值不存在.

注意到d＞2，后兩個不等式組的解集的交為空集，當n≥5時所得到的不等式組的解集為空集，所以q的最小值不存在.

讀者不難看出，例7是例5、例6的推廣.

例8設1=a1≤a2≤…≤a2n+1（n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比為q的等比數列，a2，a4，…，a2n成公差為d的等差數列，，則當3≤n≤5時，q的最小值存在，為；而當n≥6時，q的最小值不存在.

例9設1=a1≤a2≤…≤a2n+1（n≥3，且n∈N），其中a1，a3，…，a2n+1成公比為q的等比數列，a2，a4，…，a2n成公差為d的等差數列，若，則當3≤n≤5時，q的最小值為；而當n≥6時，q的最小值不存在.其中ξ

顯然，例9是例3的推廣.

1.徐道.淺議2011年江蘇省高考數學試卷第13題［J］.數學教學，2012（6）.FH