例談數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的建模

顧燕萍

全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）在課程目標(biāo)中指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。”近年來，各地中考命題圍繞這一目標(biāo)進(jìn)行了積極的探索，貼近社會(huì)實(shí)際、貼近學(xué)生生活，體現(xiàn)時(shí)代需求，反映市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等應(yīng)用問題如雨后春筍般涌現(xiàn)出來。

解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的關(guān)鍵是對(duì)問題原始形態(tài)的分析、聯(lián)想、抽象、將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問題，即構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。利用數(shù)學(xué)建模解數(shù)學(xué)應(yīng)用題對(duì)于多角度、多層次、多側(cè)面思考問題，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力是很有益的，是進(jìn)行素質(zhì)教育的一條有效途徑。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、思維能力、運(yùn)算能力等方面的訓(xùn)練，而且要重視在應(yīng)用數(shù)學(xué)分析和解決實(shí)際問題的能力方面進(jìn)行訓(xùn)練和提高，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問題，能夠運(yùn)用已有的知識(shí)進(jìn)行交流，并將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，從而形成比較完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。

一、構(gòu)建方程模型

這類問題一般要通過列方程式或方程組求解，首先要明白題意，找出已知量和未知量，并分析各量之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上尋找相等的數(shù)量關(guān)系列出方程式或方程組。必須注意，在求得方程的解之后，要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理。一要檢驗(yàn)所求出的解是否為所列方程的解;二要檢驗(yàn)方程是否符合應(yīng)用題的題意，最終寫出答案。

例1：有一個(gè)允許單向通過的窄道口，通常情況下，每分鐘可以通過9人.一天，王老師到達(dá)道口時(shí)，發(fā)現(xiàn)由于擁擠，每分鐘只能3人通過道口，此時(shí)，自己前面還有36人等待通過（假定先到的先過，王老師過道口的時(shí)間忽略不計(jì)），通過道口后，還需7分鐘到達(dá)學(xué)校.此時(shí)，若繞道而行，需要15分鐘到達(dá)學(xué)校，從節(jié)省時(shí)間考慮，王老師應(yīng)選擇繞道去學(xué)校，還是選擇通過擁擠的道口去學(xué)校？若在王老師等人的維持下，幾分鐘后，秩序恢復(fù)正常（維持秩序期間，每分鐘仍有3人通過），結(jié)果王老師比擁擠的情況下提前了6分鐘通過道口，問維持秩序的時(shí)間是多少分鐘？

解：（1）因?yàn)?6+7=19>15，所以王老師應(yīng)選擇繞道而行去學(xué)校.

（2）設(shè)維持秩序的時(shí)間為t分鐘，則

36-（t+36-3t） =6， 解得t=3

二、構(gòu)建不等式模型

現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在著一些量之間的不等關(guān)系，應(yīng)注意相關(guān)信息的聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)、探索及歸納總結(jié)，能有效的考查學(xué)生的閱讀能力、探索能力和建模能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和實(shí)際應(yīng)用能力，一般當(dāng)問題中出現(xiàn)“未超過”、“最多”、“至少”等關(guān)鍵詞，可考慮建立不等式的數(shù)學(xué)模型解之。

例2：《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過800元的部分不必納稅，超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算：

某人1月份應(yīng)繳納稅款80元，求他當(dāng)月工資是多少元？

如果某單位共有50人，某月繳納稅款3080元，且每人的當(dāng)月的工資都在超過800元而不超過2000元之間，求當(dāng)月工資不超過1300元的職工最多可能有多少？

解：（1）設(shè)他當(dāng)月工資為x元?jiǎng)t，500×5%+（x-1300）×10%=80，解得x=1850（元）

答：他當(dāng)月工資為1850元.

（2）設(shè)當(dāng)月工資不超過1300元的職工為y人，則當(dāng)月工資超過1300元，但未超過2000元的職工為（50-y）人，根據(jù)題意得50×500×5%+（2000-1300）（50-y）×10%≥3080-70y≥1670， y≤23 6 ，

所以y的最大整數(shù)解是y=23

答：當(dāng)月工資不超過1300元的職工最多為23人.

三、構(gòu)建函數(shù)模型

現(xiàn)實(shí)中普遍存在最優(yōu)化問題，常可歸結(jié)為函數(shù)最值問題，通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)和方法去解決，這也是近年來中考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，這要求我們?cè)诮虒W(xué)中要切實(shí)重視最值問題的探究。

例3：某校九年級(jí)（1）班共有學(xué)生50人，據(jù)統(tǒng)計(jì)原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元.經(jīng)測(cè)算和市場(chǎng)調(diào)查，若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費(fèi)用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費(fèi)用，另一部分是其他費(fèi)用780元，其中，純凈水的銷售價(jià)x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關(guān)系.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時(shí)，請(qǐng)你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個(gè)人買飲料，哪一種花錢更少？

（3）當(dāng)a至少為多少時(shí)， 該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水一定合算？

解：（1）設(shè)y=kx+b，∵x=4時(shí)，y=400;x=5時(shí)，y=320.

∴ ? ? ? ? ? ?解之，得

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ? ? ? ? ? ? ? .

該班學(xué)生買飲料每年總費(fèi)用為50×120=6000（元），

當(dāng)y=380時(shí)，380=-80x+720， 得x=4.25，該班學(xué)生集體飲用桶裝純凈水的每年總費(fèi)用為380×4.25+780=2395（元），顯然，從經(jīng)濟(jì)上看飲用桶裝純凈水花錢少.

（3）設(shè)該班每年購買純凈水的費(fèi)用為W元，則

W=xy=x（-80x+720）=-80（x-4.5）2+1620

∴當(dāng) x=4.5時(shí)， Wmax=1620

要使飲用桶裝純凈水對(duì)學(xué)生一定合算，則50a≥Wmax+780，即50a≥1620+780解之，得a≥480.所以a至少為48元時(shí)班級(jí)飲用桶裝純凈水對(duì)學(xué)生一定合算。

四、構(gòu)建幾何圖形模型

現(xiàn)實(shí)生活中，航行、建橋、測(cè)量、人造衛(wèi)星等涉及一定圖形屬性的應(yīng)用問題，常構(gòu)建幾何圖形，利用幾何圖形的性質(zhì)，用方程、不等式或三角函數(shù)知識(shí)來解答。

例4：青海玉樹地震發(fā)生后，一支專業(yè)搜救隊(duì)驅(qū)車前往災(zāi)區(qū)救援.如圖，汽車在一條南北走向的公路上向北行駛，當(dāng)在 處時(shí)，車載GPS（全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)）顯示村莊在北偏西26°方向，汽車以35km/h的速度前行2h到達(dá)B處，GPS顯示村莊 在北偏西52。方向.

（1）求B處到村莊C的距離;

（2）求村莊C到該公路的距離.（結(jié)果精確到0.1km）

（參考數(shù)據(jù)： ? ? ? ? ? ? ， ? ? ? ? ? ?，

， ? ? ? ? ? ? ）

解：過C作 ? ? ? ?，交AB于D.

（1） ? ? ? ? ? ， ? ? ? ?，

， ? ? ? ? ?，

即B處到村莊C的距離為70km.

（2）在 ? ? ? ?中，

即村莊C到該公路的距離約為55.2km.

數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的橋梁，研究和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型，能幫助學(xué)生探索數(shù)學(xué)的應(yīng)用，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的智力開發(fā)具有深遠(yuǎn)的意義。只要教師在教學(xué)中能根據(jù)當(dāng)?shù)丶皩W(xué)生的實(shí)際，使數(shù)學(xué)知識(shí)與生活、生產(chǎn)實(shí)際聯(lián)系起來，就能增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的意識(shí)，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力。

總之，解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，應(yīng)將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，脫去其“應(yīng)用”的神秘外衣，還其數(shù)學(xué)問題的真面目。根據(jù)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法去解答，最后對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行解析，并作出準(zhǔn)確的判斷后返回到實(shí)際問題中去。