基于偽譜法電磁編隊六自由度最優控制

陳 晶，岳曉奎

（西北工業大學 陜西 西安 710072）

編隊飛行是一項重要的使能技術，基于傳統推力器的編隊飛行存在推進劑消耗和羽流污染等問題，電磁編隊飛行可有效克服上述問題，具有廣泛的應用前景[1]。電磁衛星上安有三組正交通電線圈，當配合使用控制力矩陀螺等姿態控制器時，可對衛星的位置和姿態進行協同控制。

之前的相關研究驗證了電磁編隊飛行的可行性：Kwon[2]研究了電磁衛星近距離時的機動；Eslinger[3]首先在微重力環境下演示驗證了電磁衛星。Elias[4]將動力學模型線性化，并采用了非線性控制器。由于系統存在很強的非線性和耦合性，以及眾多的約束條件，電磁編隊的軌跡重構問題充滿挑戰。為了生成合理的重構軌跡，先前的研究中分別采用了滑模變結構控制[5]、人工勢函數法[6]和最優控制等方法。對于最優控制，偽譜法可用于離散狀態空間，其求解方法往往依賴于商業優化軟件，如 OTIS和DIDO等。

目前，電磁編隊飛行的研究中仍存在一些問題。首先，多數研究往往基于三自由度的動力學模型，這忽略了電磁的耦合特性，因此需建立六自由度的空間相對動力學模型。此外，由于系統存在很強的非線性和耦合性，現有的優化軟件有可能并不適用，因此需采用高精度的數值算法進行求解。

文中將首先介紹電磁力學的相關內容，然后推導非線性的姿軌耦合動力學模型，接著利用了勒讓德偽譜法，將電磁編隊的重構問題轉化為有約束的最優控制問題，最后改進數值算法，并進行仿真驗證。

1 六自由度動力學模型

在本節，編隊的相對軌道動力學模型將描述在固連于主星的Hill系下，相對姿態動力學模型將描述在從星本體系下，坐標系如常規方式定義。

1.1 相對軌道動力學

忽略軌道攝動影響，相對軌道動力學模型可描述為：

其中：

在實際應用中，通常需利用參考軌道的角速度，將該模型進行單位化處理，以提高計算精度。

1.2 相對姿態動力學

對于電磁衛星，切向的電磁力會引起電磁力矩的產生，而由于電磁力矩的幅值有限，通常需在衛星上配置姿態控制系統，本文采用控制力矩陀螺(CMG)模型，將電磁衛星視作六自由度的控制器。對于常規編隊的主星，通常任其在空間自由翻滾，對其姿態不加以控制；但電磁編隊內的衛星由于受到電磁力矩的作用，需對每顆衛星的姿態均進行主動控制。

編隊內第i個從星相對于主星的姿態運動學方程為：

其中qri為從星本體系相對于主星本體系的姿態四元數；ωri為相應的姿態角速度，其定義如下：

其中Aic為主星本體系到從星本體系的轉換矩陣；ωc是主星姿態角速度。

將主星的電磁力矩與控制力矩之和記為Tc，從星的電磁力矩與控制力矩之和記為Ti，從星相對于主星的姿態動力學方程可寫作：

當Ic=Ii=I=diga[I1,I2,I3]滿足I1=I2=I3時，可定義等效合控制力矩 T△ri，其形式為：

控制量T△ri的引入能保證電磁耦合效應的充分利用，將電磁力矩視為控制力矩的一部分，而不是干擾力矩；此外，T△ri內含有Ti和Tc這兩個控制量，這涉及到姿態控制的分配問題，即角動量分配問題，因此可以將相對姿態的控制問題視作最優控制問題，進行求解。忽略下標的ri，可以得到以相對姿態四元

數的二階形式描述的從星相對于主星的姿態動力學方程：

由于如式(6)所示的動力學方程形式復雜，具有很強的非線性。為了求解角動量分配問題的方便，此處將先采用非線性反饋控制，將相對姿態動力學模型寫為狀態誤差的形式，再進行最優控制問題的求解。由于姿態四元數存在歸一化的約束，對姿態進行控制時，只需對相對姿態四元數的矢部qv進行控制，定義狀態誤差為e=qv-qvd=qv，則姿態控制系統的控制目標轉化為設計控制律，使e→0得；當等效合控制力矩T△選取為時，相對姿態的誤差模型形式如下：

當選擇合適的控制參數矩陣Kp和Kd時，可以保證上式所描述的誤差動力學模型是指數穩定的；當考慮有界干擾時，能夠保證該誤差模型是漸進穩定的，即當t→0時，e→0→0。該證明過程在此不贅述。

1.3 六自由度相對動力學模型

對于考慮姿軌耦合效應的動力學模型，將x=[rT,eT]T和u=[aT,T△T]T作為狀態變量和控制變量，則六自由度相對動力學模型可寫為如下形式：

其中：

本文只對六自由度動力學中的相對姿態動力學采用了非線性反饋控制，將其寫為狀態誤差的形式，從而便于系統角動量分配這一最優控制問題的求解。在下一章中將基于此動力學模型，利用最優控制理論，規劃相對運動軌跡。

2 偽譜法

電磁編隊的相對運動軌跡規劃可以表述成一個非線性的、帶有控制約束、始末狀態約束和動力學約束的最優控制問題，即泛函的條件極值問題。本文利用勒讓德偽譜法將連續問題離散化，轉化為非線性規劃問題，并采用相應的高精度數值算法進行求解。

由于電磁編隊系統存在很強的非線性和耦合性，常規的數值算法并不適用，因此本文采用高精度的數值求解算法，求解電磁編隊的重構軌跡規劃問題，該算法也可應用于其他最優控制問題的求解。

上文所描述的有約束的最優控制問題首先通過增廣拉格朗日乘子法轉化為無約束非線性規劃問題，得到包含性能函數和約束條件的乘子罰函數。通過不斷修改搜索方向和搜索步長，修正狀態空間，使得乘子罰函數最小。其中搜索方向是由罰函數的梯度和Hessian矩陣決定，由單一算法生成的Hessian矩陣有可能不穩定，因此本文采用了復合DFP算法，該算法在Davidon-Fletcher-Powell(DFP)算法和 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno(BFGS)算法間進行切換；與單一算法相比，該復合算法能達到更高的精度、更快的收斂速度和更少計算量。搜索步長由改進的模式搜索法確定，需要說明的是，由于罰函數的導數十分復雜，其他搜索方法，如黃金分割搜索法和立方插值法等，并不適用于該問題，計算效果均不理想。綜上，求解非線性規劃問題的流程如圖1所示。

圖1 求解非線性規劃問題的流程Fig.1 Procedures to solve nonlinear program problem

3 仿真算例

對于三星編隊，將衛星3選作“自由星”，其控制磁矩選作。仿真中的參數選取見表1。

相對位置的始、末標稱狀態選取如下：

表1 仿真參數Tab.1 Simulation parameters

圖2 電磁編隊的相對位置和速度Fig.2 Relative position and velocity

圖3 電磁編隊的相對姿態四元數Fig.3 Relative quaternion

4 結論

為了實現電磁編隊六自由度的協同控制，本文應用了電磁力和電磁力矩的耦合效應，建立了姿軌耦合動力學模型。通過勒讓德偽譜法將編隊軌跡的重構問題轉化為最優控制問題，由于系統存在很強的非線性和耦合性，本文對數值解法提出改進，仿真結果驗證了該方法的有效性。本文所提出的數值解法可推廣用于其他最優問題的求解。

圖4 電磁編隊的控制力矩Fig.4 Control torque

[1]Kong,E.M.C.,Kwon,D.W.,Schweighart,S.A.,Elias,L.M.,Sedwick,R.J.,and Miller,D.W.Electromagnetic Formation Flight for Multisatellite Arrays[J].Journal of Spacecraft and Rockets,2004,41(4):659-666.

[2]Umair A,David W M,Jaime L R.Control of electromagnetic satellite formations in Near-earth orbits[J].Journal of guidance,control,and dynamics,2010,303(6):1883-1891.

[3]Eslinger G J,Saenz-Otero A.Electromagnetic formation flight control using dynamic programming[J].American Astronautical Society Rocky Mountain Chapter,2013.

[4]Elias L M,Kwon D W,Sedwick R J,et al.Electromagnetic formation flight dynamics including reaction wheel gyroscopic stiffening effects[J].Journal of guidance,control,and dynamics,2007,30(2):499-511.

[5]SU J,DONG Y.Sliding mode variable structure control for electromagnetic satellite formation station-tracking[J].Journal of Astronautics,2011(5):21.

[6]Ahsun U,Miller D W.Dynamics and control of electromagnetic satellite formations[C]//American Control Conference,2006.