混合同余法產(chǎn)生隨機噪聲的FPGA實現(xiàn)

秦雪陳

（河海大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，江蘇 南京 211100）

電子戰(zhàn)是戰(zhàn)場敵對雙方保護(hù)電磁譜為己所用同時防止被敵所用的科學(xué)藝術(shù)。電子戰(zhàn)包括電子支持措施（ESM）、電子對抗措施（ECM）、電子反對抗措施（ECCM）。電子干擾是電子對抗的重要組成部分之一，而有源壓制式干擾是電子干擾中的一種常用手段。有源壓制式干擾一般采用噪聲調(diào)制，目的是盡可能大地降低被干擾雷達(dá)接收機中的信噪比，從而降低雷達(dá)的發(fā)現(xiàn)概率[1]。在壓制式噪聲干擾中，噪聲干擾都是采用隨機噪聲信號對VCO進(jìn)行調(diào)制的干擾。因此在電子對抗領(lǐng)域里，噪聲始終是最基本、最常用的干擾源之一[2]。如何產(chǎn)生穩(wěn)定和精確的噪聲信號已經(jīng)成為一個重要的研究領(lǐng)域。

隨著FPGA技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)字噪聲發(fā)生器的性能也得到了快速的發(fā)展。相對于傳統(tǒng)的物理噪聲發(fā)生器，基于FPGA的硬件電路噪聲發(fā)生器具有實現(xiàn)簡單方便靈活，易于擴展的優(yōu)勢。文獻(xiàn)[3]提出了一種基于M序列的高斯白噪聲產(chǎn)生方法，該設(shè)計選取3個線性反饋移位寄存電路（LFSR），每個時鐘生成一個32bit的均勻分布的隨機數(shù)，序列具有的周期大約為288，足以滿足實際工程需要[3]。但是在該設(shè)計中1片F(xiàn)PGA內(nèi)集成了均勻分布白噪聲模塊，F(xiàn)IR數(shù)字低通濾波器，均值和方差控制電路，耗費FPGA資源較多，結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜。

文獻(xiàn)[4]介紹了混合同余法和中心極限定理，論證了在此方法上可以產(chǎn)生服從正態(tài)分布統(tǒng)計特性的隨機數(shù)。本文在此基礎(chǔ)上，提出了一種基于混合同余法的FPGA隨機噪聲發(fā)生電路設(shè)計。設(shè)計通過主控端控制FPGA從直接波形ROM中讀取數(shù)據(jù)，節(jié)省了FPGA片內(nèi)的加法器和乘法器資源，結(jié)構(gòu)簡單，可靠性高。

1 混合同余法原理介紹

通過同余運算生成偽隨機數(shù)的方法稱為同余法，常用的同余法包括加同余法、乘同余法、混合同余法、除同余法[5]。其中乘同余法和混合同余法的性能更好，有速度快、內(nèi)存省、周期長、統(tǒng)計特性好等優(yōu)點[6]。混合同余法是Lehmer在1951年提出的，混合同余法是加同余法和乘同余法的混合形式，其迭代式如下：

式（1）中a為乘子，x0為種子，b為常數(shù)，M為模。混合同余法是一種遞歸算法，即先提供一個種子x0，逐次遞歸即得到一個不超過模M的整數(shù)數(shù)列。集合{xn}是由0到M-1的全部整數(shù)重新排列而成[7]。當(dāng)b=0時，稱此算法為乘同余法；若b≠0，則稱算法為混合同余法。xn是在（0，M）內(nèi)服從均勻分布的隨機變量，Rn則是在（0，1）內(nèi)服從均勻分布的隨機變量。式中x0，a，b，M的取值并不是隨意的，模M大小是發(fā)生器周期長短的主要標(biāo)志，常見的M為素數(shù)，取b為M的原根，則周期T=M-1。試驗統(tǒng)計表明，用以下參數(shù)進(jìn)行混合同余法產(chǎn)生的隨機序列的統(tǒng)計特性較好：

在式（2）~（12）中，T=231-2，16 807、32 719、1 220 703 125都是231-1的原根。

混合同余法產(chǎn)生的隨機序列具有以下特點：

1）xn重復(fù)周期較小，由于 xn取值在（0，M）內(nèi)，其周期，T≤M，T 受 x0，a，b，M 值的影響。 另外，在編程時，浮點運算也會對T產(chǎn)生影響。

2）用此方法產(chǎn)生的隨機序列，在一個周期內(nèi)任意兩個隨機數(shù)不可能相等，這往往與實際情況不相符。

經(jīng)Hull和 Dobell證明， 只有 x0，a，b，M滿足以下一些關(guān)系才能實現(xiàn)周期最大化，即T=M，條件如下[8]：

1）b與M互質(zhì)（或互素，即它們的最大公約數(shù)為1）

2）設(shè)q為某一質(zhì)數(shù)，M分別能被q和4整除，且a-1能被q和4整除

產(chǎn)生具有最大周期的偽隨機序列的混合同余法算法為：

由于M=2k，k≥2時，M只有一個素數(shù)因子2，且4也是M的因子，此時a=4n+1，正好滿足了T=M的第二個條件；而此時b=2m+1，剛好與M互質(zhì)，即滿足T=M的第一個條件[9]。

可以看出，混合同余法產(chǎn)生的隨機序列最多只能有M個不同的取值。為了獲得長周期的隨機數(shù)序列，應(yīng)盡可能取大的M值，并合理選擇其它參數(shù)[7]。

利用混合同余法產(chǎn)生的是在（a，b）區(qū)間上均勻分布的隨機序列，再根據(jù)中心極限定理，就可以得到服從正態(tài)分布的隨機序列。由獨立同分布中心極限定理有：設(shè)隨機變量X1，X2…Xn相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差：

近似服從 N（0，1）分布。

如果 Xn服從（0， 1）均勻分布，則式（16）中 μ=0.5，σ2=

近似服 N（0，1）從分布[10]。

2 方案設(shè)計

本文設(shè)計的高斯白噪聲發(fā)生器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示，首先在PC控制端根據(jù)式（17），應(yīng)用 MATLAB產(chǎn)生需要的高斯白噪聲數(shù)據(jù)[11]，并存入ROM表，計數(shù)器模塊在FPGA的控制下從ROM表中讀出數(shù)據(jù)送往DAC，通過數(shù)模轉(zhuǎn)換就可以得到高斯白噪聲。

圖1 噪聲發(fā)生器的系統(tǒng)設(shè)計框圖Fig.1 System design diagram of the noise generator

下面對噪聲發(fā)生器設(shè)計的各個部分進(jìn)行分析，并在FPGA中仿真實現(xiàn)。

3 系統(tǒng)仿真

在PC主控端，利用MATLAB工具基于混合同余法產(chǎn)生高斯白噪聲數(shù)據(jù)。圖2是MATLAB仿真結(jié)果圖，分別繪出了利用混合同余法時產(chǎn)生的均勻分布序列和在均勻序列基礎(chǔ)上產(chǎn)生的正態(tài)分布序列，以及它們的頻率分布情況。從仿真結(jié)果可以看出，仿真生成的隨機序列的統(tǒng)計特性和單位正態(tài)分布十分吻合。產(chǎn)生的高斯白噪聲滿足噪聲隨機性和統(tǒng)計特性的要求，在PC主控端可以通過改變均值，方差和種子值，從而得到不同的服從正態(tài)分布統(tǒng)計特性樣本，從而產(chǎn)生滿足各種需要的高斯白噪聲。將MATLAB仿真生成的隨機信號數(shù)據(jù)保存成mif文件，存入ROM表中供FPGA讀取使用。

圖2 MATLAB仿真結(jié)果圖Fig.2 MATLAB simulation results

本文中的FPGA設(shè)計平臺選用Altera公司的StratixⅣ芯片EP4SGX230KF40C4ES，開發(fā)工具使用 QuartusⅡ和Modelsim對其進(jìn)行功能仿真并觀察仿真結(jié)果。

圖3所示為該設(shè)計的RTL級電路，從圖中可以看出，電路共有3個輸入信號：使能信號en，復(fù)位信號rst_n，時鐘信號clk。該電路的核心是計數(shù)器模塊和ROM表模塊。ROM表模塊的實現(xiàn)使用Altera內(nèi)部的LPM_ROM IP核。電路工作時，由計數(shù)器cnt產(chǎn)生地址信號，送給ROM表中進(jìn)行尋址，在輸出端就可以產(chǎn)生數(shù)字高斯白噪聲序列。

圖3 RTL級電路示意圖Fig.3 RTL level circuit schematic

利用Modelsim仿真工具進(jìn)行仿真，可以觀察到輸出的高斯白噪聲序列，仿真結(jié)果如圖4所示。

將輸出序列改成模擬形式，可以看到產(chǎn)生的數(shù)字高斯白噪聲的波形，如圖5所示。

圖5 仿真產(chǎn)生的高斯白噪聲波形Fig.5 Gaussian white noise waveform

4 結(jié) 論

本設(shè)計實現(xiàn)的高斯白噪聲發(fā)生器電路，工作穩(wěn)定，并且在PC主控端可以根據(jù)不同要求，通過改變均值方差和種子值，從而得到服從正態(tài)分布統(tǒng)計特性的不同樣本，進(jìn)而得到不同種類和滿足不同特性的噪聲。實驗結(jié)果產(chǎn)生的高斯白噪聲符合噪聲隨機性和統(tǒng)計特性的要求，本設(shè)計可以應(yīng)用在有源干擾機的工程實踐中，有比較好的實用特性。

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