矩形永磁體空間磁場解析式推導及驗證

1、長春理工大學機電工程學院 呂瓊瑩 楊柳 盛龍 周凌宇 2、93313部隊 蔣貴德

1 引言

隨著稀土永磁材料的不斷涌現和應用領域的不斷擴大，人們對永磁體的磁場計算更加關注。不同的應用領域所要求的永磁體的形狀不同，對磁場的空間分布和磁場強度的要求也不同[1-4]。目前應用最多的是圓柱形、長方形、扇形和圓環形[1-2]等具有較高對稱性的永磁體。本文描述了分子環流假說觀點，并利用畢奧—薩伐爾定律對矩形永磁體空間三維場解析式進行推導并驗證。

2 矩形永磁體分子電流理論

關于磁介質的磁化理論有兩種不同的觀點：磁荷觀點[5]和分子電流觀點。

2.1 安培分子電流假說

安培分子環流假說[6]：安培認為，在原子、分子等物質微粒的內部，存在著一種環形電流——分子電流，分子電流使每個物質分子都成為一個微小的磁體，它的兩側相當于兩個磁極。對此，把環形電流產生磁場的知識和安培定則聯系起來，就不難理解。值得注意的是，這兩個磁極跟分子電流不可分割地聯系在一起，因而磁極不能以單獨的N極或S極存在。

圖1 安培分子環流模型

安培的分子電流假說揭示了磁性的起源，它使我們認識到磁鐵的磁場和電流的磁場本質是一樣的，都是由電荷的定向運動產生的。運動的電荷（電流）產生磁場，磁場對運動的電荷（電流）有磁場力的作用，所有的磁現象都可以歸結為運動電荷（電流）之間通過磁場而發生的作用，這就是磁現象的電本質。

2.2 磁感應強度B與畢奧—薩伐爾定律

分子電流觀點認為電流在其周圍空間產生磁場，磁場再對其他電流發生作用，磁場矢量用磁感應強度B來描述。

根據畢奧—薩伐爾定律，在空間一點 P（x，y，z）產生的磁感應強度為：

式中 r —源點（x0，y0，z0）矢徑；

r —場點 P（x，y，z）矢徑；

μ0—真空磁導率，μ0=4π×10-7H/m；

所以整個電流回路在P點產生的磁感應強度為：

B的SI制單位為Wb/m2。

其電流強度為 I=Jdz，在 P（n，p，q）點處產生的場強為dB可視為由AB、BC、CD、DA段電流源產生的磁場疊加而成[9-10]。

AB 段在點 P（n，p，q）處產生的磁場強度為：

BC 段在點 P（n，p，q）處產生的磁場強度為：

CD 段在點 P（n，p，q）處產生的磁場強度為：

DA 段在點 P（n，p，q）處產生的磁場強度為：

所以薄層電流環ABCDA在點P（n，p，q）處產生的總磁場強度為：

由于μ0、J均為已知常數，令K=，

則薄層電流環ABCDA在點P處的磁場分量為：

計算整理得:

其中：

3 計算磁感應強度大小并驗證解析式

3.1 MATLAB軟件繪制磁感應強度曲面模型

運用MATLAB軟件繪制磁體表面磁場強度，建立表面磁場強度的三維曲面模型。選取銣鐵硼永磁體N50[11]。 規格如下：長×寬×高：a×b×c=40×30×10mm；剩磁 Br=1.40T（1T=104Gs），內稟矯頑力[10]HcJ=955kA/m，如圖2所示。

圖2 MATLAB軟件繪制磁體表面磁場強度

如圖2所示，x，y軸表示永磁鐵的長度和寬度。z軸表示永磁鐵表面上任意一點的磁感應強度的大小。由此可得出：在磁體中心處的磁感應強度最小，磁體邊緣處的磁感應強度最大。

3.2 ANSYS磁場模塊對磁感應強度公式的驗證

運用ANSYS分析軟件中的電磁模塊對上述永磁體進行分析，結果如圖3所示。

圖3 ANSYS軟件分析

如圖3所示，根據ANSYS軟件分析的結果可以看出，磁體的中心到邊緣的磁感應強度的顏色變化是由藍色逐漸過渡到紅色，即磁感應強度有逐漸由小到大的變化趨勢。磁體中心磁感應強度大小約為2000～3000Gs(1T=10000Gs)，與理論近似計算公式得出的結果相吻合。

可得出結論：在磁體厚度為3cm，長寬比為2.6時，磁體中心處的磁場強度最大。

4 結論

本文根據磁介質的分子電流觀點，建立了矩形永磁體的分子環流理論模型。基于畢奧—薩伐爾定律，推導了該模型的三維磁感應強度解析表達式，并且運用MATLAB和ANSYS軟件對此解析式進行了驗證，與推導結果一致。

[1]王瑞凱；左洪福；呂萌.環形磁鐵空間磁場的解析計算與仿真[J].航空計算技術，2006，41（5）：19-23

[2]王明勇；郎志堅. 方形磁體的空間磁場分布[J]. 磁性材料及器件, 2001, 32(6): 17-20

[3]李曉陽；徐金偉；劉宏娟.矩形永磁體三維磁場空間分布[J].北京工業大學學報，2008,34（1）：1-6

[4]茍曉凡；楊勇；鄭曉靜. 矩形永磁體磁場分布的解析表達式[J]. 應用數學和力學, 2004, 25(3): 23-34

[5]劉世明. 由磁荷觀點分析均勻磁化介質球的磁場分布[J].電子科學, 2009, 13(7): 43-54

[6]趙普選；趙強；張考林. 安培分子電流假說思想的應用[J].物理與工程, 2003, 13(1): 12-24

[7]付林興；鄧志武. 畢奧-薩伐爾定律的推導[J]. 湘潭師范學院學報（自然科學版）, 2006, 28(1): 81-88

[8]賈兆平；劉惠恩. 磁場強度H與磁化電流之間關系的討論[J].教學討論

[9]劉宏娟.矩形永磁體三維磁場空間分布研究[D].北京工業大學.2006.5

[10]李景天；宋一得；鄭勤紅等.用等效磁荷法計算永磁體磁場[J].1999.4.19(2):33-36

[11]王臣；梁國君；楊文英等.永磁體磁特性參數測量分析方法的研究[J].機電元件.2009.6.2（29）：8-13