例說化歸與轉化思想在解決不等式問題中的應用

方愛珍

金華市第六中學 浙江金華 321000

解決數(shù)學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，往往需要變換，將原問題轉化為一個對自己較熟悉的新問題，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”.本文就不等式問題談談這種思想方法的應用，以供參考.

一、利用“等價變換”思想，解不等式

解不等式實際上是等價變換,也就是說，要求每一次變形所得到的不等式與變形前的不等式是等價的,因此，解不等式通常運用這種化歸與轉化思想。比如：解分式不等式等價轉化為整式不等式、解含絕對值不等式轉化為不含絕對值不等式、解高次不等式向低次不等式轉化，等等.

例 1.解不等式|x-1|-|x-2|＜0.

本題也可以利用不等式的乘方性質可直接轉化為不含絕對值的不等式，原不等式即|x-1|＜|x-2|,兩邊平方等價于(x-1)2＜(x-2)2，整理即得當然，利用絕對值的幾何意義，即|x-1|表示在數(shù)軸上到表示實數(shù)1的點的距離小于到表示實數(shù)2的點的距離，這樣的實數(shù)在數(shù)軸上表示的點在實數(shù)對應的點的左側，可直接得

二、利用“函數(shù)方程”思想，變換不等式問題為函數(shù)方程問題

不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、相互制約.在解決不等式問題時，函數(shù)與方程思想是一種重要方法，同時利用數(shù)形結合，以達到“以數(shù)輔形，以形助數(shù)”目的，從而使問題迎刃而解.

例2設不等式x2-2ax+a+2≤0的解集為M，且 ，求實數(shù)a的取值范圍[1】。

三、利用“反客為主”思想，解決含參不等式問題

例3.若不等式2x-1＞m(x2-1)對|m|≤2的所有m都成立，求實數(shù)x的取值范圍.

解析 形式上看這個問題是含參數(shù)m的x的不等式問題，直接令（fx）=mx2-2x+(1-m)難以解決.若將其化為含參數(shù)x的m的一次不等式（x2-1）m（-2x-1）＜0，再令（fm）=（x2-1）m（-2x-1），這是因為（fm）是關于m的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，（fm）在[-2，2]上的最大值必在端點位置取得，所以（f-2），（f2）必有一個是最大值，因此只要f（-2）＜0，且f（2）＜0，解得

可見，在解決此不等式問題時，有時將條件等價轉化，利用“反客為主”思想，將含參數(shù)m的問題轉化為含參數(shù)x的問題，變換主元與參數(shù)地位，從而使問題迎刃而解.

四、利用“導數(shù)”思想，證明不等式

不等式問題中，經常遇到不等式的證明。有些不等式證明似乎很難下手，但通過構造函數(shù)，利用“導數(shù)”工具將所求問題轉化為求函數(shù)最值來解決顯得思路簡潔.

誠然，在解決不等式問題時運用轉換的思想并不僅限于此，限于篇幅，這里不再贅述.總之，在平時不等式教學過程中，教師注重這些思想方法的滲透，有利于提高學生的解題能力，從而培養(yǎng)了學生良好的思維品質。