基于反演滑模的二元機翼顫振控制

趙志航，張 成，薛文濤

（江蘇科技大學 電子信息學院，江蘇 鎮江 212003）

在航空領域，對顫振問題的研究對于飛行器的設計具有重要的意義。而顫振的主動抑制更是學術界和工程界研究的熱點。自20世紀80年代起，美國開展的主動氣動彈性記憶計劃，使得顫振主動抑制作為一項重要內容和關鍵技術，開始向工程應用邁進[1]。顫振主動抑制的主旨在于控制反饋改變原系統的極點分布，使開環不穩定系統閉環且具有穩定極點。而近年來，以現代控制理論方法為基礎的最優控制、魯棒控制以及智能控制等方法的發展，逐漸成為顫振主動抑制的設計手段，并取得了一定的成果[2-3]。

滑模變結構控制[4]是變結構系統的一種控制策略。其主旨是在相空間設計一組滑模面和一系列切換函數，這些切換函數的目的是使系統狀態變量向滑模面運動，當狀態變量到達滑模面時，控制使狀態變量按照設定的軌跡做滑模運動，最終漸近穩定。由于滑模運動不受系統參數及外界擾動的影響，所以處于滑模狀態的系統具有很好的魯棒性，但傳統滑模控制切換裝置的非理想性存在抖振現象，滑動模態精度會受采樣時間的影響，同時傳統滑模還存在相對階數的限制[5]。因此，考慮引入反演方法來改善滑模控制的綜合性能。反演控制方法通過將復雜的非線性系統分解成不超過系統階數的子系統，然后引入中間虛擬量并設計每個子系統的李雅普諾夫函數，使其滿足李雅普諾夫穩定定理，從而保證系統的穩定性。反演與滑模控制的結合已經被用于復雜非線性系統的魯棒控制[6]。

本文以一個帶后緣控制面的二元機翼為研究對象，首先建立機翼氣動彈性系統的狀態空間方程，然后將反演與滑模控制相結合，設計一種反演滑模控制器，去抑制非線性機翼顫振，并利用Lyapunov穩定性理論證明了系統的穩定性。

1 二元機翼系統建模

帶后緣面的二元機翼氣動彈性系統的結構如圖1所示，采用準定常氣動理論，可得到系統的運動方程[7]如下：

其中，h為浮沉位移，α為俯仰角，b為機翼半弦長，mt為主翼和控制部分的總質量，mw為主翼的質量，Iα為機翼慣性矩，xα是質心到彈性軸的無量綱距離，ch和cα分別為浮沉位移和俯仰角阻尼系數，kh和kα（α）分別為浮沉位移和俯仰角的彈簧剛度系數，L和M分別為氣動力和力矩。這里的kα（α）可以表示一下式子：

圖1 二元機翼氣動彈性系統結構Fig.1 The structure of two-dimensional wing aeroelasticsystem

則有：

其中，a為機翼中心到彈性軸的無量綱距離，β為空氣密度，sp為翼剖面的跨度，clα和cmα分別為單位攻角所對應的升力系數和力矩系數，clβ和cmβ分別為后翼單位偏轉角對應的升力系數和力矩系數，cmα和cmβ分別為單位攻角和后翼單位偏轉角對應的力矩派生系數，表示為

本實驗的模型在對稱機翼機構條件下，cmα=0，適用于低頻、亞音速飛行條件。將（3）式帶入（1）式中，改寫狀態方程：

假設模型中u1=g1β，u2=g2β。方程中各項系數變量如下所示：

2 反演滑模控制器設計

反演控制的基本思想是將復雜的非線性系統分解成不超過系統階數的子系統，然后引入中間虛擬量并設計每個子系統的李雅普諾夫函數，一直后退到整個系統，直到完成最終的控制器設計[8]。本文將反演控制與滑模控制相結合，實際系統的不確定部分可以通過滑模控制來補償，從而保證系統的穩定性與魯棒性。

定義系統的狀態向量及參考輸入：

定義Lyapunov函數：

對求導有：

為了是V˙1≤0，需要進一步定義新的Lyapunov函數。根據上述定義的Z2，求得其導數為：

定義滑模面函數：

其中，k2>0，k4>0。

定義如下Lyapunov函數：

則的導數為：

假設滑模控制器的趨近律為：

其中，η1，η2，η3，η4均為正常數。

則我們得到的切換率為：

將（12）式代入（10）式中得到：

若能保證|Q1|≥0，|Q2|≥0，η1≥0，η2≥0，η3≥0，η4≥0，從而V˙2≤0，滿足 Lyapunov 穩定性條件，z11，z12，z21，z22均以指數形式漸進穩定，從而保證了系統的穩定性。

當飛行器的速度較大時，機翼的浮沉和俯仰角自由度可能偏離設定值產生較大的變化，這時就要求控制器的輸出絕對值有較大的控制量，實際情況機翼后緣控制面的偏轉角是不能過大的。為了避免控制器輸出絕對值偏大，我們加入飽和限幅函數對偏轉角進行限制。飽和函數如圖2所示。非線性二元機翼的閉環控制系統框圖如圖3所示。

圖3 二元機翼反演滑模控制系統結構Fig.3 The structure of two-dimensional aerofoilbackstrpping sliding mode control system

3 仿真分析

系統的初始狀態 x（0）=[α，α˙，h，h˙]為[15°，0°/s，0.15 m，0 m/s]。開環顫振速度為U=19.062 5 m/s，機翼的浮沉和俯仰自由度參考值 x1d=0，x3d=0。 考慮外部擾動 d1=0.1sin（t），d2=0.02sin（t）。

二元機翼氣動彈性系統的參數如表1所示。

表1 氣動彈性系統仿真參數Tab.1 Sim ulation parameter for aeroelastic system

控制器的參數取值如下：k1=k3=2，k2=k4=7，η1=η3=3，η2=η4=2。

如圖4所示為反演滑模控制的氣動彈性系統的仿真，其中俯仰角和浮沉位移的時間響應分別如圖（a）和圖（b）所示，俯仰角和浮沉位移的相平面軌跡分別如圖（c）和圖（d）所示。可以看出，機翼的俯仰角初始狀態給予15°的偏差，但經過控制后俯仰運動6 s內收斂到零位，如圖（a）所示，機翼的浮沉位移初始狀態給予0.15 m的偏差，但經過控制后浮沉運動在1 s內收斂到零位，如圖（b）所示。機翼俯仰運動和浮沉運動的收斂過程平穩，并且控制器能夠使系統變量穩定在平衡狀態，有效抑制系統的顫振。從相平面軌跡看，機翼的俯仰角和浮沉位移的相平面軌跡穩定地收斂到原點，保證了非線性機翼系統的穩定性。本文中的提出的反演滑模控方法，能夠使二元機翼的浮沉位移和俯仰角平穩、快速地收斂到零，保證了氣動彈性系統的穩定，且顫振得到了有效抑制。

4 結 論

圖4 反演滑模控制仿真結果Fig.4 The simulation results of backstepping sliding mode control

針對非線性二元機翼氣動彈性系統的顫振問題，通過反演控制與滑模控制相結合的控制策略來控制氣動彈性系統的浮沉運動與俯仰角，并利用Lyapunov理論證明了控制系統的穩定性。仿真結果表明，在開環顫振速度下，閉環系統的浮沉與俯仰狀態能夠快速的收斂到穩定狀態，控制器能有效地控制非線性機翼系統的顫振。

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