基于UG 的球面漸開線弧齒錐齒輪參數化建模

許躍躍，王赫瑩，郭忠峰，趙文增

螺旋錐齒輪是一種齒面節線為曲線的特殊構型的錐齒輪，螺旋錐齒輪有著不同標準的分類，通常按照其齒面節線形式的不同可以分為三類：圓弧齒錐齒輪、延伸外擺線齒錐齒輪和準漸開線齒錐齒輪。其中圓弧齒錐齒輪在世界上應用最廣泛。弧齒錐齒輪在設計上具有更大的重合度，在傳動平穩性、可靠性及承載能力等方面比傳統直齒錐齒輪具有更大的優勢。

弧齒錐齒輪在一定程度上已經取代直齒錐齒輪，廣泛應用在汽車輪船、礦山機械、精密儀器儀表等領域，現階段弧齒錐齒輪正向高速、重載、高精度方向發展，相信在機械領域中會擁有更加廣闊的應用前景。弧齒錐齒輪最早由美國格里森公司提出，以齒輪嚙合理論為基礎[1～3]，經過多年發展已經形成一套完整的格里森齒輪設計理論與方法。目前，主流的設計方法依然采用格里森公司的設計理論，但由于弧齒錐齒輪的齒廓曲線是標準的球面漸開線，無法展成平面，以齒輪嚙合原理為基礎的設計方法存在原理性誤差，需要不斷校正修改才能達到設計精度，由此使弧齒錐齒輪設計工作變得非常繁瑣且效率低下。對此，本文基于球面漸開線的形成原理，對弧齒錐齒輪的三維建模提出新的思路與設計方法。

1 球面漸開線的形成

基圓錐OAB 與大圓平面Q 相切且基圓錐的頂點與大圓平面的圓心重合，基圓錐母線與大圓平面Q 的半徑R 等長，基圓錐在保持上述條件下與大圓平面作無相對滑動的純滾動運動（見圖1）。由此可知，基圓錐底圓上一點P 與圓錐頂點O 的距離始終保持為大圓半徑長R，基圓錐與圓平面Q在作純滾動運動時，P 點在此過程中的運動軌跡PP′是以點O 為球心以OP 長為半徑的球面曲線，通常稱為球面漸開線[4]，動點P 運動的軌跡方程可表示為：

圖1 球面漸開線的形成

式中：δb—基圓錐角（rad）；δp—球面漸開線上P點所對應的錐角（rad）。

2 球面漸開線數學模型的求解

將基圓錐倒放并以之為參考建立三維直角坐標系，圓錐頂點作為坐標系原點O，將OO′作為Z 軸（O′為基圓錐底圓圓心），大圓平面與基圓錐側面相切并沿之作純滾動（見圖2）。在初始時，大圓平面與坐標系XOY 面垂直（即點Mp與Mo重合時），兩平面的交線即發生面與基圓錐的切線OMp。大圓平面上Mo點軌跡展開為球面漸開線MoMp，點M、Mp在XOY 平面的投影點為M1、Mp1，連接OM1和OMp1，根據漸開線性質可知弧長MMo=MMp。過點Mp作OM 的垂線，垂足為N，三角形ONMp為直角三角形，過點Mp1作OM1的垂線，垂足為N1，連接NN1。

圖2 球面漸開線數學模型

經推導，Mp點的空間坐標方程為[2]：

式中：R—基圓錐錐距（mm）；ω—矢徑OMp與Z軸之間的夾角（rad）；σ—矢徑OMp在XOY平面內的投影OMp1與X 軸的夾角（rad）。

3 齒輪端面齒廓與齒形線的形成

根據弧齒錐齒輪的設計理論，弧齒錐齒輪設計的首要工作是確定以下設計參數并構建相應關系表達式：

3.1 大小端雙側齒廓的建立

根據弧齒錐齒輪錐基本設計理論可以得到其分度圓齒厚角為：

以從弧齒錐齒輪副的動輪為研究對象（故齒數為Z2）。由式（1） 球面漸開線軌跡方程可得分度圓處的偏角beta、齒頂圓處的偏角beta_a 及齒根圓處的偏角beta_f 分別為：

分度圓處偏角

可求得基圓齒厚角JYCHJ、頂圓齒厚角DYCHJ 和根圓齒厚角GYCHJ：

（1） 大端雙側齒廓曲線方程

前文中已經將齒廓曲線上任一點的球坐標參數關系式表示出來，現將球坐標系轉化為直角坐標系方程，其中大端一側齒廓曲線方程為：

3.2 大小端面齒根與齒頂圓弧方程

（1） 大端齒頂圓弧

大端齒頂圓弧可以看作從齒頂圓中截取某一段圓弧，具體過程為保持矢徑在球坐標系中與Z 軸的夾角不變（夾角為頂錐角），然后矢徑從某一點開始繞著Z 軸旋轉一定角度后矢徑端點所劃過的圓弧，方程可表示為：

小端齒頂、齒根圓弧的創建與大端大致相同，

在建立小端兩側齒廓與齒頂、齒根圓弧曲線方程時，與大端有所不同：

①小端矢徑為內錐距R1。

②小端矢徑與X 軸初始夾角為齒輪小端與大端之間的偏角Q12。

3.3 齒形曲線的形成

齒形曲線的繪制是設計弧齒錐齒輪的關鍵。首先需要確定刀盤中心位置，根據刀盤中心位置能夠確定齒形線終點相對于起始點的偏角大小，確定好偏角大小就能夠建立齒形線方程。由文獻[6～7]可推導出：

4 基于UG/Open GRIP 的建模模塊

圖3 單齒輪廓曲線

UG/Open GRIP 是用于UG 二次開發的軟件工具，UG/Open GRIP 語言創建類似FORTRAN 的程序，與Unigraphics 系統集成，運用GRIP 程序能夠完成各種交互操作。例如，完成實體建模、工程制圖、加工制造等任務。GRIP 語言有自己的語法結構、程序結構、內部函數，同時它也是其他通用語言程序相互調用的接口。通過運用GRIP 語句構造相應的點、線、面從而將齒形齒廓曲線的生成、齒面的創建及單齒和全齒實體模型生成過程統一起來，實現弧齒錐齒輪的全參數化建模功能。利用GRIP 人機交互界面改變齒輪的相應設計參數就能夠獲得所需的弧齒錐齒輪[8]，由此簡化弧齒錐齒輪三維模型的設計過程。

4.1 創建UG 可執行程序文件

GRIP 程序文件編寫完成之后需要經過編譯鏈接才能夠被UG 運行。

首先創建文本文檔（.txt） 并將其保存為.grs 格式文件，然后根據弧齒錐齒輪球面漸開線數學模型特點編寫程序；打開UG/OPEN GRIP 界面（見圖4），將編寫完成的.grs 文件編譯生成.gri 目標文件；點擊LINK 對目標文件進行連接生成.grx 文件。此時程序便可被UG 執行。

圖4 程序文件編譯器

4.2 程序的調用與界面的生成

運行UG，在UG 菜單種點擊“文件”-“執行”-Grip，生成弧齒錐齒輪參數化建模界面（見圖5）。

圖5 弧齒錐齒輪參數化建模界面

4.3 創建齒輪實體模型

在參數化建模界面分別輸入主動輪與從動輪的設計參數，創建出齒輪實體模型（見圖6～圖7）。

圖6 主動輪

圖7 從動輪

5 結 語

本文以球面漸開線形成原理為基礎，創建弧齒錐齒輪齒形齒廓曲線方程，利用UG 二次開發工具UG/OPERN GRIP 創建參數化建模模塊。通過修改齒數、壓力角、螺旋角、模數等參數可以生成新的球面漸開線弧齒錐齒輪三維模型，實現弧齒錐齒輪建模任務的尺寸驅動功能，提高弧齒錐齒輪的建模效率，為其他復雜模型的設計工作提供參考。