MC-SAR 改進正交子空間相位誤差估計算法?

(國防科技大學電子科學與工程學院,湖南長沙410073)

0 引言

方位多通道SAR[1-3]是為了滿足高分辨率寬測繪帶成像而產生的新技術。它將一個大天線分成多個沿平臺(衛星或飛機等)航向排列的小天線,且每個小天線都有各自獨立的接收通道。在系統發射端,一般以部分孔徑(或全孔徑加波束展寬)形成方位向和俯仰向的寬波束照射場景,同時為了避免距離模糊,系統的脈沖重復頻率(PRF)較低;在接收端,各小天線對應的通道同時接收回波,單個通道的數據存在方位模糊,通過利用多通道數據完成方位譜重構實現解方位模糊,得到不模糊的信號。它的核心思想就是以空間采樣率的增加換取時間采樣率的降低。

要完成多個通道數據的方位譜重構,要求各通道的特性一致,各通道對應小天線的等效相位中心位置也要排列在與航線方向上。然而實際情況下,各種非理想因素會產生通道相位誤差[4]。關于通道相位誤差的估計與補償,文獻[5]提出了一種基于回波數據的通道誤差時域估計方法,此方法在時域通過相鄰通道的干涉進行通道相位誤差的估計,無需時頻域變換,效率比較高;文獻[6]提出了一種加權的最小化方位譜旁瓣功率(AWLS)方法,該方法認為通道相位誤差增加了方位譜多普勒帶寬外的噪聲能量,而對帶內的能量影響不大;文獻[7]提出了一種最小化旁瓣主瓣功率比(MSCR)算法,此方法認為誤差得到較好校正時,選取的中心區間能量與側邊區間能量比值趨于最小值;文獻[8]提出了一種通道相位誤差估計正交子空間(OS)算法,此方法把來自同一多普勒頻點的不同方向的雜波分量看成“虛擬校正源”,然后利用已知校正源方向的陣列誤差方法來估計通道相位誤差,方法在方位多普勒域估計與補償通道相位誤差,估計精度比較高,但通道數較少時會有估計協方差矩陣不滿秩而帶來算法不穩健的問題。

本文對文獻[8]的方法進行了改進,下文稱文獻[8]方法為常規OS算法。常規OS算法的通道相位誤差估計是對單個多普勒頻點利用信號子空間與噪聲子空間正交的約束建立起代價函數,這時協方差矩陣的估計會出現不滿秩的情況。針對這一情況,考慮各通道在不同多普勒單元上的通道相位誤差基本不變,在全部多普勒頻點上利用信號子空間與噪聲子空間正交的約束建立起修正的代價函數,從而解決協方差矩陣估計不滿秩的問題。另外還考慮了方向圖對信號子空間的加權作用,使得通道相位誤差估計結果更準確。

1 信號模型

圖1是方位多通道SAR的示意圖,T/R表示發射和接收組件,v表示平臺移動的速度。相鄰接收通道之間天線中心沿航向間隔為Δx,在圖中為子孔徑1(或者說為通道1小天線等效相位中心)到子孔徑2的距離。參考通道在方位時刻η的天線等效相位中心坐標為(vη,0,0),目標的坐標為(x,y,z),則目標到參考通道的距離為第m個通道天線等效相位中心的坐標為(vη+ηm,0,0),其中,dm為第m個通道和參考通道之間天線等效相位中心的距離間隔,M為通道數目,則第m個通道到目標的單程等效距離可表示為

圖1 方位多通道SAR示意圖

假設參考通道信號為

式中:pr(τ)表示線性調頻信號;c,λ分別表示發射電磁波波速和波長。由于距離向不模糊也不影響分析,公式推導時不考慮距離向的影響,即忽略快時間項τ,參考通道信號記為s(η),記,由此第m個通道接收的回波信號zm(η)可由s(η)表示為

式中,fs=PRF為脈沖發射頻率,或者說是方位采樣頻率。采樣信號的多普勒譜為

式中,fη為多普勒頻率,Zm(fη)與S(fη)分別為zm(η)和s(η)的傅里葉變換。

若需要重構的不模糊信號的多普勒帶寬Ba小于重構帶寬K·PRF,即滿足Ba≤K·PRF,K為重構的PRF倍數,取為正整數,K≤M。fdc為多普勒中心,則需要重構的頻帶為區間IA=fdc+[-K·fs/2,K·fs/2],重構時參考方位頻譜區間取為IB=fdc+[-K·fs/2,-K·fs/2+fs],重構的目的就是把多個通道方位頻譜區間在IB上模糊的信號(由頻譜周期延拓的特點,頻譜區間在IB上的信號可以完全表示該模糊信號的信息量)重構出頻帶區間在IA上的不模糊信號,如圖2取fdc=0,K=2,信號混疊在虛線表示的[-fs,0]范圍內(由頻譜周期延拓的性質,也可以說混疊在[-fs/2,fs/2]),而需要重構出用實線表示的[-fs,fs]內的頻譜以實現解模糊。在頻帶范圍IB內的第m個通道的多普勒譜可以表示為

上式可以理解為把不同方位角混疊在IB內的信號加在一起,或者也可以理解為信號周期延拓的頻率較低使得信號混疊,把混疊在IB內的信號加在一起,這里的近似是把重構區間外的天線方向圖增益認為為0,并且省略了相位誤差項φm,后面修正模型時會加入,由此可以將多個通道的信號寫成矩陣形式:

式中,Z(fη)=[Z1(fη)Z2(fη) … ZM(fη)]T為觀測信號的矩陣形式,A(fη)=fs[a(fη)a(fη+fs) … a(fη+(K-1)fs)]為導向矢量矩陣形式,其中為a(fη+kfs)的具體形式,S(fη)=[S(fη)S(fη+fs)… S(fη+(K-1)fs)]T為多通道信號矩陣。

圖2 多普勒頻域和照射角度的關系

下面進一步考慮通道誤差的影響來修正模型,方位譜重構要求各通道的特性一致,各通道位置的相位中心也要求與航線位置基本一致。對于實際的多通道系統,各個接收通道的幅相特性并不完全一致,并且各通道相位中心位置測量也存在誤差。對于通道特性不完全一致及通道相位中心位置測量引起的誤差,一般考慮常數項相位誤差及幅度誤差,第m個通道的幅相誤差[8-9]可表示為

式中:gm為幅度誤差;?m為常量的相位誤差,由通道特性不一致等原因引起,區別于式(3)的φm;ft為快時間頻率;tm為快時間包絡延遲。幅度誤差可以通過能量均衡法予以校準,快時間的包絡延遲可以通過求相關予以校準,所以進行這些校準后主要考慮相位誤差的影響,即校準后γm=ej?m,考慮把式(4)的φm并入γm中的相位誤差,則γm可以表示為

此時信號的模型可以得到修正,進一步考慮隨機噪聲N(fη)=[N1(fη),N2(fη),…,NM(fη)]T,并且令γ=diag(γ1γ2… γM),可以得到修正模型為

令A′(fη)=γA(fη),則模型可進一步寫成:

2 改進的OS算法

式(10)的模型為線性模型,由陣列信號[10-11]的最小二乘方法可知,當A′(fη)是一個滿秩為K的M×K矩陣,N(fη)為白噪聲時,可以得到

式中,W(fη)=A′(fη)(A′(fη)HA′(fη))-1=γA(fη)(A(fη)HA(fη))-1,而A(fη)已知,因此需要估計γ。 記W(fη)第k列為wk(fη),則為頻點fη+(k-1)fs的頻譜重構值。展開A′(fη)可得到,

多通道成像質量的關鍵在于誤差補償,而相位誤差又是誤差補償中最關鍵的一項。因此要選擇高精度的相位誤差補償算法,常規的正交子空間(OS)算法估計精度就比較高,它的思想是利用信號子空間與噪聲子空間的正交性。

該方法首先需要進行數據的協方差矩陣RZ(fη)的估計,而RZ(fη)=E(ZZH),因此其可由樣本數據估計(fη∈IB,由一系列離散頻點組成,每個頻點方位向包含M個通道的數據,距離向有若干樣本)。把其進行特征分解為

式中,λi為協方差矩陣的特征值,并滿足λ1≥λ2≥… ≥λM,ui為對應的特征向量,ΣS=diag(λ1,λ2,…,λK)由K個數值較大的特征值組成,信號子空間US=[u1u2… uK]由對應的特征向量組成,即K為信號子空間維數。同理ΣN=diag(λK+1,λK+2,…,λM)由剩余M-K數值較小的特征值組成,噪聲子空間UN=[uK+1uK+2… uM]。協方差矩陣的大特征值對應的特征矢量張成的空間US與信號的導向矢量空間A′(fη)是同一個空間,并且US和UN正交,從而得到un和正交,其中n∈[K+1,…,M],k∈[1,…,K],但協方差矩陣由樣本數據估計而來,因此不一定嚴格正交,從而通過求代價函數J的最小值來實現。J定義為

式中,

上式為了求最小值的需要,令y=[γ1γ2… γM]T,從而得到估計相位誤差γ的目標函數:

g1表示M×M維單位矩陣的第一列,為歸一化因子,保證γ1=1。根據陣列信號知識的線性約束最小方差法可以得到

相位誤差認為在不同的多普勒頻點上的值保持不變[5,8],因此常規的OS算法為了減小估計誤差,對不同多普勒頻點的估計結果^y進行平均得到最終的通道相位誤差估計值。但是以上方法的一個問題在R(fη)的滿秩性難以得到保證,譬如,通過3個通道的數據估計多普勒帶寬為兩倍PRF的回波信號,即M=3,K=2,此時噪聲子空間的UN的維數為1,的秩為1,因此由式(14)可知,R(fη)的秩小于等于2,不滿足可逆條件。當然由于協方差矩陣由數據估計而來,因此可能可逆,但是該方法的穩健性一般。

一個改進的思路是先對每個頻點估計的協方差矩陣求平均,然后再通過上述方法進行求解。相當于把求平均提前到協方差矩陣估計上來,這樣大大加強了方法的穩健性,另外考慮到不同頻點上方向圖的增益值是不一樣的,越靠近多普勒中心的值越大,因此可以用方向圖的幅度值Pk(fη)對導向矢量進行加權,認為方向圖值越大的頻點對代價函數做的貢獻越大,這是因為越靠近多普勒中心,受到噪聲的影響越小,其導向矢量與噪聲子空間正交穩定性越好,這種方法稱為改進的OS算法。對代價函數進行修正以代替原來的代價函數,修正后的代價函數可用JM表示為

修正后的協方差矩陣R′(fη)為

Pk(fη)在系統設計時已知,實驗時可以通過數據進行估計。對IB上的多個頻點求和得到R′(fη),求和使得R′(fη)滿足可逆條件從而可以比較穩健地得到相位誤差的估計值。

3 實測數據分析與驗證

3.1 算法驗證

本節將利用38所的機載三通道回波數據對本文方法進行驗證。表1列出了雷達的主要性能參數,由于原數據PRF為1 400 Hz,多普勒帶寬為517 Hz,方位不模糊,為了驗證算法,首先對每個通道的原數據進行降采樣以產生模糊信號,采用降4倍采樣,使每個通道的PRF降為350 Hz,得到3個通道的模糊信號。實驗時方位向點數取為8 192,距離向點數取為8 192,通道數取為M=3,重構時重構倍數取為K=2,重構后的數據帶寬為700 Hz,重構后數據的PRF大于多普勒帶寬,可以實現解方位模糊。圖3(a)是通道一降2倍采樣的方位譜,它作為重構后的參考方位譜(通道二、三降2倍采樣后的方位譜也基本一致);圖3(b)是降4倍采樣后信號的方位譜,它作為待重構的模糊信號,可以看到明顯的方位模糊。

表1 雷達的主要參數

通道相位誤差估計與補償時。由于距離向的點數較多,可以在距離向進行分塊處理[12],距離向分塊是為了防止下視角范圍較大引起的距離向相位空變誤差,不同塊可以估計出不同的相位誤差。實驗中距離向分27塊,每塊300個點。先用能量均衡法進行幅度失配的估計,其次用OS算法和改進的OS算法進行相位誤差估計,通道一為參考通道,用OS算法估計時由于某些頻點協方差矩陣不滿秩從而不能估計出值,因此用剩余頻點的估計值進行平均,而改進OS算法很穩定,每次都可以估計出穩定的值,這也可以看出改進OS算法的穩健性很好。從圖4的估計結果可以看到通道間相位誤差較大,并且沿距離向有空變。

圖4 OS算法和改進OS算法相位誤差估計

從相位誤差的估計結果可以看到OS算法和改進的OS算法估計的精度基本一致,但是OS算法不穩健,因此采用改進OS算法補償相位誤差。進行方位譜重構時,K值取為2,圖5(a)為不進行誤差校正直接解模糊后的重構方位譜,可以看到解模糊的效果很差,重構后多普勒中心發生了變化,重構的方位譜也很不均勻;圖5(b)為進行誤差校正后重構的方位譜,可以看出和原始數據的方位譜吻合度很高,所以認為改進后的OS算法比較好地完成相位誤差補償,從而實現了無模糊重構。

圖5 誤差補償前后方位譜

然后對上述處理后的數據進行WK成像。圖6是截取的部分特征區域。圖6(a)是重構前成的圖像(取通道一的數據成像,PRF=350 Hz),可以看到圈出來的部分出現了明顯的模糊,實線圈是場景實際像點,虛線圈出現了明顯的模糊像點。圖6(b)沒有進行誤差校正直接解模糊成像,可以看到模糊并沒有解除。圖6(c)為進行誤差校正后的圖像,與圖6(a)進行比較可以看出模糊去除,與圖6(d)進行比較可以看到基本達到了單發單收的效果(圖6(d)為進行降2倍采樣后的數據成像的結果,其與重構后的數據PRF相等,所以作為同等情況下的單發單收結果)。

3.2 性能分析

為了驗證算法的有效性,并且盡可能地減少一些不可控因素的影響,實現對通道相位誤差的精準控制,通過單通道數據降采樣生成多通道數據進行性能分析。采用的實測數據為算法驗證時用到的數據,PRF為1 400 Hz,多普勒帶寬為517 Hz。距離向點數取為4 098,方位向點數取為1 024,加入定量的隨機噪聲產生不同信噪比的信號,再在通道二、三中加入隨機的相位誤差,范圍為(-90°,90°),蒙特卡羅仿真次數取為200次。

圖6 成像效果對比圖

實驗一:降6倍采樣變成“6個通道”,每個通道的PRF為233.33 Hz,取其中3個相間隔的通道,這時模擬的是均勻采樣情況下的通道相位誤差估計,然后在通道二和通道三分別加入不同的相位誤差進行蒙特卡羅仿真;實驗二:降5倍采樣變成“5個通道”,每個通道的PRF為280 Hz,取其中3個相間隔的通道,這時模擬的是非均勻采樣情況下的通道相位誤差估計,然后在通道二和通道三分別加入不同的相位誤差進行蒙特卡羅仿真。圖7示意了3個通道數據的生成過程。

圖7 仿真數據生成的示意圖

仿真不同信噪比下的平均均方根誤差,用下式進行計算:

式中,N為實驗蒙特卡羅仿真次數,Δ?m為通道m實際的相位誤差,為通道m第n次蒙特卡羅仿真時的相位誤差估計值。得到圖8的相位誤差估計性能曲線。圖8(a)為均勻采樣的情況,兩種算法估計精度基本類似;圖8(b)為非均勻采樣的情況,改進OS算法相位誤差估計的偏差小于OS算法和AWLS算法,并且低信噪比時OS算法估計還可能出現失效的情況,因此驗證了算法的高精度性和穩健性。

圖8 不同信噪比下改進OS算法和OS算法的平均均方根誤差比較

4 結束語

針對方位多通道系統的相位誤差估計問題,本文提出了一種改進的OS算法,算法可以克服OS算法在通道數較少時由不滿秩導致算法失效的問題,該方法利用所有多普勒頻點建立目標函數來估計相位誤差值,并且考慮了天線方向圖的加權作用,以代替對每個頻點得到相位估計值后再求平均的常規OS算法,實現了對原方法的改進,提高了精度和算法的穩健性。最后按照多通道實測數據成像的處理流程逐步分析結果,實現了對改進OS算法有效性的驗證。

致謝 感謝中國電子科技集團公司第三十八研究所提供的機載SAR多通道實測數據。

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