完全圖與完全二部圖上的H—Hopf模結構

江妙浩?趙汝菊

摘 要：在完全圖，完全二部圖，完全r部圖上分別定義H-Hopf模結構，并證明它們的H-Hopf模結構，并指出它們分別與一元多項式H-Hopf模，二元多項式H-Hopf模及r元多項式H-Hopf模是同構的。

關鍵詞：H-Hopf模；完全圖；完全二部圖；完全r部圖；多項式H-Hopf模

完全圖與完全二部圖是圖論中較為重要的兩類圖，Schmitt W R[1][2]在完全圖上建立了關聯Hopf代數結構，趙燕[3]給出了完全圖與完全二部圖及完全r部圖的Hopf代數結構，并指出它們分別與一元二元及r元多項式代數 Hopf代數同構。

本文在完全圖與完全二部圖及完全r部圖上建立H-Hopf模結構并證明之，并指出它們分別與一元多項式H-Hopf模，二元多項式H-Hopf模及 r元多項式H-Hopf模是同構的。

全文分四部分，第一部分列出我們要用到的一些定義及引理；第二部分在以完全圖為基生成的向量空間上建立H-Hopf模結構，定義H-模的結構映射，H-余模結構映射；第三部分在完全二部圖為基生成的向量空間上建立H-Hopf模結構，定義H-模的結構映射，H-余模結構映射；第四部分把上述結論推廣到完全r部圖的H-Hopf模結構。

一、一些定義及引理

在這部分，我們復習一些將要用到的定義及引理。

定義1 ：完全圖Hopf代數結構。

代數結構：M（Kn，Km）=Kn·Km=

Kn+m

單位元：空圖 K0=1

余代數結構：Δ（Kn）=ΣC Ki×Kn-i

余單位：ε∶K↑к，Kn↑{

反積元：S（Kn）=（-1）nKn

定義2：完全二部圖Hopf代數結構。

代數結構：若Kn，m=〈V1，V2，E〉，

Ks，t=〈V'1，V'2，E'〉，則 Kn+s，m+t=〈V1∪V'1，

V2∪V'2，E∪E'〉即M（Kn，m，Ks，t）=

Kn，m·Ks，t=Kn+s，m+t

單位元為空圖，記為K0，0=1

余代數結構：Δ（Kn，m）=ΣC C Ki，j×

Kn-i，m-j

余單位：ε（Kn，m）={

反積元：S（Kn，m）=（-1）n+mKn，m

定義3[4]：設G為n階無向簡單圖，若G中每一個頂點均與其余的n-1個頂點相連，則G稱為n階無向完全圖，簡稱n階完全圖，記作Kn，約定K0為空圖即沒有任何邊圖。

定義4： 設G=〈V，E〉為一個無向圖，若V分V1為V2，且V1∪V2=V，

V1∩V2 =φ使得G中每條邊的兩端都是一個屬于V1，另一屬于V2，則稱G為二部圖，記為G=〈V1，V2，E〉，又若G是簡單二部圖， V1中的每個項點均與V2中的所有頂點都相連，則G稱為完全二部圖，記為Kn，m，規定零圖為二部圖。

定義5：設G=〈V，E﹥為一個n階無向圖，若V分成r（r≥2）個互不相交的子集V1，V2…，Vr，使得其中任何一條邊的兩端都不在同一個Vi（i=1，2，…，r），則稱G為r部圖，記為G=〈V1，V2，…，Vr，E〉。設G是簡單r部圖，若對任意的i（i=1，2，…，r）， Vi中任一個頂點均與Vj（i≠j）中的所有頂點都相連，則稱G為完全r部圖，記為G=Kn ，n …n ，規定零圖為r部圖。

定義6[5]：一個K-代數是三個數組（A，M，u），其中A是一個K-空間，

M∶A×A↑A和u∶κ↑ A是K-同態，

使下兩式成立即M（I×M）=M（M×I），M（u×I）=1或M（I×u）=1

定義7：一個K-余代數是三個數組（C，Δ，ε），其中C是一個K-空間，Δ∶C↑C×C和ε∶C↑κ是K-同態，使下兩式成立即（I×Δ）Δ=（Δ×I）Δ ，Δ（ε×I）=1或Δ（I×ε）=1

引理1：設N是一個向量空間，H 是一個代數，φ‥H×N→N是一個K-同態，使得下兩式成立即：φ（I×φ）=φ（H×I），φ（μ×I）=1，則（N，φ）是一個左H-模。

引理2：設N是一個向量空間，C是一個余代數，ρ‥N→N×C是一個K-同態，使得下兩式成立即：（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ，（I×ε）ρ=1 ，則（N，ρ）是一個右C-余模。

引理3：設（H，M，μ，Δ，ε）是一個Hopf代數，N是一個右H模，φ‥N×H→N是一個K-同態，N是一個右H余模，ρ‥N→N×H是一個K-同態，如果φ‥N×H→N是一個余代數同態或ρ‥N→N×H是一個代數同態或ρ（mh）=Σm0h1×m1h2，則N是一個右H-Hopf模。

二、完全圖的H-Hopf模結構

在這部分，我們將在完全圖上定義H-Hopf模結構，并指出它與一元多項式的H-Hopf模結構是同構的。

設K是以所有完全圖為基的域κ上的向量空間，我們建立如下H-Hopf模結構。

1.完全圖的H-模結構

定義：n元完全圖Kn與m完全圖Km的乘積是將Kn中的n個頂點與Km中的m個頂點分別相連接，構成n+m階完全圖Kn+m，即φ（Kn×Km）=Kn·Km=Kn+m

例如，·· ·▏= K1·K2=K3

▏· ▏= K2·K2=K4

▏· = K2·K3=K5

單位元：空圖 K0=1

定理：K在上述定義下構成H-模結構。

證明：顯然φ‥N×H→N是一個K-同態。

φ（I×φ）（Kn×Km×Kl）=φ[Kn×φ（Km×Kl）]=φ（Kn×Km·Kl）=Kn·Km+l=Kn+m+l=Kn+m·Kl=（Kn·Km）·Kl=M（Kn×Km）·Kl=φ[M（Kn×Km）×Kl]=φ（M×I）（Kn×Km·Kl）

∴φ（I×φ）=φ（M×I）

φ（μ×I）（k×Kn）=φ[μ（k）×Kn]=φ（k1H×Kn）=kKn=k·Kn

∴φ（μ×I）=1

2.完全圖的H-余模結構

定義：ρ對Kn作用，將n元完全圖Kn分成所有可能的2個完全圖因子的張量積，再求和，即ρ（Kn）=ΣCnKi×Kn-i

例如，ρ（K3）=C31×K3+C3K1×K2+

C3K2×K1+C3K3×K0

用圖表示為：ρ（ ）=1× +3·×

▏+3▏×·+ ×1

定理：K在上述定義下構成H-余模結構。

證明：顯然ρ ‥N→N×H是一個K-同態。

（I×Δ）ρ（Kn）=ΣCn（I×Δ）（K1×Kn-i）=ΣCnKi×Δ（Kn-i）=ΣCnKi×（Kn-i）1×（Kn-i）2=ρ（Kn）×（Kn-i）2=（ρ×I）（Kn×K（n-i）2）=（ρ×I）ρ（Kn）

∴（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ

（I×ε）ρ（Kn）=（I×ε）（ΣCnKi×

Kn-i）=ΣCnKi×ε（Kn-i）=Kn

∴（I×ε）ρ=1

三、完全二部圖的H-Hopf模結構

1.完全二部圖H-模結構

定義：若Kn，m=〈V1，V2，E〉，Ks，t=〈V'1，V'2，E'〉 ，則它們的乘積是將V1與V'2中所有點連接，將V2與V'1中的所有點連接，則Kn+s，m+t= 〈V1∪V'1，

V2∪V'2，E∪E'〉，即φ（Kn，m×Ks，t）=Kn，m·Ks，t=Kn+s，m+t

例如， ▏· = K1，1·K1，2=K2，3

單位元：空圖，記為K0，0=1

定理：K2在上述定義下構成H-模結構。

證明：顯然φ‥A×H→N是一個K-同態。

φ（I×φ）（Kn，m×Ks，t×Kl，h）=

φ[Kn，m×φ（Ks，t×Kl，h）]=φ（Kn，m×Ks，t·

Kl，h）=Kn，m·Ks+l，t+h=Kn+s+l，m+l+h=Kn+s，m+l·

Kl，h=M（Kn，m×Ks，t）·Kl，h=φ[M（Kn，m×

Ks，t）×Kl，h]=φ（M×I）（Kn，m×Ks，t

×Kl，h）

∴φ（I×φ）=φ（M×I）

φ（μ×I）（k×Kn，m）=φ[μ（k）×

Kn，m]=φ（k1H×Kn，m）=kKn，m=k·Kn，m

∴φ（μ×I）=1

2.完全二部圖的H-余模結構

定義：ρ對Kn，m作用，將Kn，m分為所有可能的兩個完全圖因子的張量積，

再求和，即ρ（Kn，m）=ΣΣCnCmKi，j×

Kn-i，m-j

例如，ρ（K1，2）=C1C2K0，0×K1，2+C1C2K0，1×K1，1+C1C2K0，2×K1，0+C1C2K1，0×K0，2+C1C2K1，1×K0，1+C1C2K1，2×K0，0=1×K1，2+2K0，1×K1，1+K0，2×K1，0+K1，0×K0，2+2K1，1×K0，1+K1，2×1

用圖表示為：ρ（ ）=·× +2·×

▏+ ×·+·× +2▏×·+ ×1

定理：K2在上述定義下構成右H-余模結構。

證明：顯然ρ ‥N→N×H是一個K-同態。

（I×Δ）ρ（Kn，m）=ΣΣCnCm（I×

Δ）（Ki，j×Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×Δ（Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×（Kn-i，m-j）1×

（Kn-i，m-j）2=ρ（Kn）×（Kn-i）2=（ρ×I）（Kn×K（n-i）2）=（ρ×I）ρ（Kn，m）

∴（I×Δ）ρ=（ρ×I）ρ

（I×ε）ρ（Kn，m）=（I×ε）（Σ

ΣCnCmKi，j×Kn-i，m-j）=ΣΣCnCmKi，j×ε（Kn-i，m-j）=Kn，m

∴（I×ε）ρ=1

四、完全r部圖的H-Hopf模結構

下面我們將完全二部圖推擴到完全r部圖。

定義：在n階完全r部圖G=Kn ，n …，n中，頂點個數n=Σni，邊數m=Σninj，在以{Kn ，n …，n ，n1，n2，…nr≥0}為基的向量空間k上，定義H-Hopf模結構。

φ（Kn …，n ×Km ，…，m ）=Kn …，n ·

Km ，…，m =Kn +m ，…，n +m

ρ（Kn …，n ）=ΣCn Cn …Cn Ki ，i ，…，i ×

Kn -i ，n -i ，…，n -i

ρ（Kn …，n ，Km ，…，m ）=Σ（Kn …，n ）0

（Km ，…，m ）1×（Kn …，n ）1 （Km ，…，m ）2

可以證明Kr是一個H-Hopf模。

r元多項式空間是以{x1 x2 …xr│n1，…，nr≥0}為基的數域κ上向量空間，在這個空間上的H-Hopf模結構如下： x1 x2 …xr ，x1 x2 …xr ∈Kr

φ（x1 x2 …xr ×x1 x2 …xr ）=x1 x2 …xr ·x1 x2 …xr =x1 …xr

ρ（x1 x2 …xr ）= Σ Cn Cn …Cn x1 x2…xr ×x1 x2 …xr

ρ[（x1 x2 …xr ）·（x1 x2 …xr ）]=Σ

（x1 x2 …xr ）0（x1 x2 …xr ）1×（x1 x2 …xr ）1（x1 x2 …xr ）2

結論：完全r部圖H-Hopf模Kr與r元多項式H-Hopf模K[x1 x2 …xr ]是同構的。

只要做對應Kr→K[x1，x2，…，xr ]，

Kn ，n …，n → x1 x2 …xr ，結論就可證明。

參考文獻：

[1]Schmitt W·R. Incidence Hopf algebras[J]. Journal of Pure and Applied Algebra，1994，96（03）：299—330.

[2]Schmitt W·R. Hopf algebra methods in graph theory[J]. Journal of Pure and Applied Algebra，1995，101（01）：77—90.

[3]趙 燕.完全圖與完全二部圖上的Hopf代數結構[J].曲阜師范大學學報（自然科學版），2005，33（03）： 25—29.

[4]盧開澄，盧華明. 圖論及其應用[M]. 北京：清華大學出版社，1995.

[5]Dascalescu S，Nastasescu C，Raianu S. Hopf algebra：An introduction[M].Boca Raton：CRC Press，2000.

（作者單位：廣西師范學院）