橫向剪切干涉純背景條紋模擬

代金梅，朱進(jìn)容，2，姚育成，成純富

（1湖北工業(yè)大學(xué)太陽(yáng)能高效利用湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢430068；2武漢理工大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武漢430070）

橫向剪切干涉儀以平行平晶為分光元件，共光路的設(shè)計(jì)增強(qiáng)了干涉儀的抗震性，能夠?qū)崟r(shí)顯示。由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、對(duì)光學(xué)元件要求低，國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用這種干涉法對(duì)溫度場(chǎng)、肥皂泡厚度、天然氣管道泄漏等進(jìn)行無(wú)損檢測(cè)［1－4］。用 Zernike多項(xiàng)式表示光學(xué)系統(tǒng)像差，橫向剪切干涉儀還能擬合出光學(xué)元件表面面形［5］。然而剪切條紋并不直接反映待測(cè)波面，即使在大剪切量的情況下，條紋退化為一組類(lèi)似于全息干涉的條紋，仍包含背景條紋［6］。由此可見(jiàn)，純背景條紋的研究將有助于分析光學(xué)系統(tǒng)定位誤差，實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的快速處理。

本文根據(jù)橫向剪切的成像理論，利用Matlab軟件模擬橫向剪切干涉純背景條紋，分析離焦像差和附加相位差對(duì)條紋特征的影響。對(duì)比純背景條紋的模擬和實(shí)驗(yàn)條紋，驗(yàn)證實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)定位存在的誤差，以指導(dǎo)光路的調(diào)試。

1 橫向剪切干涉原理

平行光穿過(guò)二維軸對(duì)稱(chēng)測(cè)試段入射到平行平晶，經(jīng)平行平晶前后兩表面反射，在水平方向上錯(cuò)開(kāi)一定的距離，相遇后形成剪切干涉條紋。若兩波面在x方向錯(cuò)開(kāi)距離（剪切量）S，則疊加后干涉波面的相位差

其中，W（x，y）和W（x－s，y）分別為平行平晶迎光面和背光面的待測(cè)波面，兩者互為對(duì)偶相且信息等價(jià)；Δl為平行平晶引入的兩剪切波面的幾何光程差。

理論上，理想的橫向剪切干涉純背景（無(wú)待測(cè)場(chǎng)）條紋是一片均勻亮場(chǎng)。由于光學(xué)元件表面存在缺陷、平行平晶兩表面不嚴(yán)格平行等，系統(tǒng)存在球差、像差等光學(xué)系統(tǒng)像差，實(shí)際觀測(cè)到的純背景干涉圖將呈現(xiàn)彎曲互相的平行楔形條紋。根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)的成像理論，初級(jí)像差（即三級(jí)像差）能很好地描述光學(xué)系統(tǒng)的像差。相應(yīng)地，剪切前后的純背景波面W0（x，y）、W0（x－s，y）以及干涉波面的相位差ΔW0（x，y）分別為:

式中，a1、a2分別為近軸像點(diǎn)離焦像差和離軸像差。

作如下坐標(biāo)變換

其中，C為附加相位差，與平行平晶的厚度和偏轉(zhuǎn)角有關(guān)。整理式（4）得到

由上式可知，剪切干涉條紋相位分布是X的三次多項(xiàng)式、Y的二次多項(xiàng)式，故條紋在Y方向恒對(duì)稱(chēng)。從純背景干涉圖上提取3條水平線（即Y恒定）上的數(shù)據(jù)，三次多項(xiàng)式擬合后聯(lián)立求解，可得到離焦a1、a2和C。

2 實(shí)驗(yàn)裝置

橫向剪切干涉儀的光路如圖1所示。整個(gè)裝置放置在精密光學(xué)減震平臺(tái)之上。He-Ne激光器連續(xù)輸出632.8nm的光波，采用可調(diào)衰減器調(diào)整光束強(qiáng)度以保護(hù)圖像采集系統(tǒng)，90°反射后經(jīng)小孔光闌濾掉雜散光。短焦距的半球透鏡的擴(kuò)束鏡和長(zhǎng)焦距的凸透鏡構(gòu)成擴(kuò)束準(zhǔn)直系統(tǒng)，將光束擴(kuò)展為通光口徑100mm的平行光束。平行平晶前后表面的兩反射波面相遇形成的剪切干涉條紋經(jīng)焦距200mm的凸透鏡匯聚后由數(shù)碼相機(jī)捕捉，最后存儲(chǔ)于PC端。實(shí)驗(yàn)采用K9材質(zhì)的平行平晶，折射率為1.51，直徑100mm，厚度40mm。M1、M2、M3均為全反射鏡面，用來(lái)改變光的傳播方向和縮短光路。

圖1 橫向剪切干涉儀的光路示意圖

3 橫向剪切干涉純背景條紋的模擬結(jié)果

計(jì)算域半徑50mm，純背景條紋輸出為灰度圖，明暗條紋的灰度從256過(guò)渡到0，分辨率30pix/mm。K9材質(zhì)高質(zhì)量的雙面平行平晶厚度40mm，折射率1.515。計(jì)算域外側(cè)用黑色填充，條紋不可見(jiàn)一側(cè)用灰色填充。

3.1 離焦像差a1的影響

平行平晶偏轉(zhuǎn)角60°，計(jì)算出S＝24.2mm、C＝0.2πrad。調(diào)節(jié)擴(kuò)束準(zhǔn)直系統(tǒng)中半球透鏡的位置可改變初級(jí)球差a1。若令球差a2＝－6.8×10－6π rad/mm4，離焦像差a1（－0.01～0.01πrad/mm2）對(duì)純背景條紋的影響如圖2所示。分析圖可知，離焦像差a1對(duì)條紋形狀影響很大。隨著a1增大，條紋中心附近出現(xiàn)向外拓展的特殊橢圓輪廓，X方向的不對(duì)稱(chēng)性也越明顯。當(dāng)a1＝－0.01（a1＜0）時(shí)，條紋高度密集。當(dāng)a1＝0時(shí)，橢圓輪廓較明顯。當(dāng)a1＝0.01時(shí)，條紋稀疏，對(duì)稱(chēng)中心兩側(cè)出現(xiàn)明暗相反的特殊橢圓輪廓；內(nèi)部相位梯度無(wú)規(guī)則變化，外部等間距。

圖2 離焦像差a1在－0.01～0.01內(nèi)的純背景模擬條紋

3.2 球差a2的影響

平行平晶偏轉(zhuǎn)角設(shè)置60°，S和C的取值同上。令離焦像差a1＝0，討論A＜0時(shí)球差a2對(duì)純背景條紋的影響，模擬結(jié)果如圖3所示。分析圖可知，條紋分布在X方向仍明顯不對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心兩側(cè)存在橢圓輪廓。球差a2對(duì)條紋的影響很大，從10－5πrad/mm4變?yōu)?0－6πrad/mm4，僅降低一個(gè)數(shù)量級(jí)，條紋間距劇增。即a2太小，將沒(méi)有足夠的背景條紋作為參考；a2太大，條紋密集而難以分辨。因此，實(shí)驗(yàn)時(shí)需調(diào)試得到合適的a2值。

圖3 不同數(shù)量級(jí)的球差b3的純背景模擬條紋

3.3 附加相位差C的影響

由于光強(qiáng)表達(dá)式中的余弦函數(shù)以2π為周期，其他分布都可平移一個(gè)周期內(nèi)的分布來(lái)得到。設(shè)定離焦像差a1＝2.9×10－2πrad/mm2，球差a2＝－6.8×10－6πrad/mm4，2π內(nèi)C 對(duì)條紋分布特征的影響如圖4所示。討論如下:

1）C＝0πrad時(shí)，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX），條紋整體呈對(duì)稱(chēng)分布；

2）C＝0.5πrad時(shí)，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋0.5π）＝sin（AX3＋AXY2＋ABX），條紋分布將向右移動(dòng)1/4周期，條紋在X方向正負(fù)半軸上明暗正好相反；

3）C＝πrad時(shí)，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋π）＝－cos（AX3＋AXY2＋ABX），條紋分布將向右移動(dòng)1/2周期，對(duì)稱(chēng)性與1）相同，只是條紋明暗正好相反；

4）C＝1.5πrad時(shí)，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋1.5π）＝－sin（AX3＋AXY2＋ABX），條紋分布將向右移動(dòng)2/3周期，對(duì)稱(chēng)性與2）相同，只是條紋明暗分布正好相反；

5）C＝2πrad時(shí)，cos（ΔW0）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX＋2π）＝cos（AX3＋AXY2＋ABX），相位差分布將向右移動(dòng)1個(gè)周期，條紋與1）完全相同。

圖4 C在0～2πrad周期內(nèi)的純背景模擬條紋

3.4 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

取純背景干涉圖上3條水平線上的數(shù)據(jù)，求解得到離焦a1＝2.88×10－2πrad/mm2、球差a2＝－6.81×10－6πrad/mm4、C＝0.16πrad。將這些系數(shù)帶入到橫向大剪切干涉成像的數(shù)學(xué)描述中，并賦予亮條紋He-Ne激光的顏色，純背景干涉圖的實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果分別如圖5所示。實(shí)驗(yàn)干涉只記錄了部分視野范圍內(nèi)的干涉條紋，對(duì)應(yīng)虛線寬內(nèi)的模擬條紋。兩者的條紋分布特征基本一致，在模擬結(jié)果的有效干涉區(qū)出現(xiàn)了2個(gè)并排橢圓輪廓。

圖5 純背景干涉圖的實(shí)驗(yàn)和模擬結(jié)果

4 結(jié)論

1）純背景條紋的相位分布規(guī)律性很強(qiáng)，豎直方向始終對(duì)稱(chēng)，水平方向的分布受附加相位差的影響，對(duì)稱(chēng)性呈周期性變化。

2）當(dāng)擴(kuò)束準(zhǔn)直透鏡組焦距失配時(shí)，平行光將明顯匯聚或發(fā)散，像差較大使得條紋密集不易分辨。調(diào)試光路，可以獲得適宜的像差系數(shù)，輸出易于處理的純背景條紋。

3）借助于Matlab軟件純背景模擬條紋與實(shí)驗(yàn)條紋基本一致。

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