超級電容模型的遞推增廣最小二乘辨識

李 月，張曉冬

（北京交通大學 電氣工程學院，北京 100044）

超級電容器一種介于常規電容器與化學電池二者之間的新型儲能元件，具有功率密度高、充放電循環使用壽命長、充電時間短、可靠性高、環境溫度對正常使用的影響不大、檢測方便、充放電電路簡單等優點，因此超級電容有著很好的實用價值。隨著超級電容越來越多的應用對超級電容性能的要求也越來越高，這就需要我們能夠及時了解超級電容器的動態特性以及荷電狀態、健康狀態等信息。因此，建立能夠精確反映超級電容實際工作特性的模型是非常必要的。

超級電容應用范圍廣泛，但其工作過程是一個非常復雜的電化學過程，具有較強的時變性和非線性，因此能建立精確的模型是十分困難的。針對上述問題，本文先對單體超級電容進行大量實驗測得一些的數據，然后采用系統辨識的方法估計出超級電容的傳遞函數，最后利用MATLAB仿真驗證了模型的正確性和普遍適用性[1]。

1 系統辨識的原理

系統辨識主要是根據試驗所得的一些數據，按照給定的“辨識準則”在一組模型類中選擇一個與數據擬合最好的模型。因此，系統辨識由三部分組成，即候選數學模型、辨識準則及辨識算法。圖1給出了系統辨識的框圖。

圖1 系統辨識的結構框圖Fig.1 Structure diagram of the system identification

系統辨識的主要內容包括4個方面：試驗設計、模型結構辨識、模型參數辨識、模型驗證。對于一個給定系統，辨識步驟大致為：根據所辨識系統需要達到的目標，利用試驗所得的數據建立初始模型，采集數據進行分析處理，進而對初始模型結構和參數進行修正，通過核驗得到最精確模型。因此，系統辨識的基本過程如圖2所示[2-3]。

2 遞推增廣最小二乘法的原理

遞推算法就是測得被辨識系統在運行時的觀測數據，然后利用新的觀測數據對以前的估計結果進行修正得到最新估計結果，這樣，隨著每次觀測數據的引入就能對前估計值進行修正最終得到最接近真實值的參數估計值。

增廣最小二乘法（Extended Least Squares，ELS）是在最小二乘法的基礎上進行了擴充，它不僅擴充了參數向量θ和φ（k）數據向量的維數而且在辨識過程中考慮了噪聲模型。

圖2 系統辨識的基本過程Fig.2 Basic process of the system identification

設SISO系統的數學模型如下式

噪聲 e（k）為 MA 模型，稱{ε（k）}為新息序列。即在給定的輸出序列{y（k）}和輸入序列{u（k）}的條件下，ε（k）的條件均值為零，把具有這種性質的隨機序列稱為新息序列。

如果{ε（k）}是可量測的，則模型式（1）可寫為

其中 φk=[-y（k-1）…-y（k-n）u（k-1）…u（k-n）ε（k-1）…ε（k-m）]T

θ=[a1a2…anb0b1…bnd1…dm]T

此時，用最小二乘法計算式（2）可得參數θ的估計值。可是，式中 φk的分量 ε（k-1），ε（k-2）…是未知的。 為了解決這個問題，一個很自然的方法是用ε^（k）來計算出誤差估計 ε（k），借助過去已知的參數估計值來計算出誤差估計ε^（k），即ε^

這樣，可以采用迭代算法。

迭代初值，取

以上介紹了ELS算法。按照遞推最小二乘法公式的推導方法，可得到如下的遞推增廣最小二乘法（RELS）算法[4-5]。

根據上述算法，編寫MATLAB程序辨識出需要的參數。

3 超級電容模型的建立

為了使超級電容能夠很好地表征其電氣性能，建立的超級電容模型需要滿足以下幾個要求：

1）所建立的模型在充放電過程中應該與超級電容的物理特性相匹配，能很好的體現電容器在充放電過程中的動態特性。在計算和分析精確的基礎上，盡可能使所建模型簡單。

2）所建立的模型參數盡可能簡單，可以通過試驗得到超級電容的電氣特性進而求得模型參數。

超級電容由多孔電極和電解液兩部分構成，這兩部分的兩相界面是空間分布的，所以在每個微孔內的電極電解液兩側都存在著電荷；這樣就可以將每個微孔看作是電阻和電容并聯，然后再將每個微孔串并聯起來等效成梯形等效電路模型，其結構如圖 3所示[6]。

圖3 超級電容梯形等效電路模型Fig.3 Ladder equivalent circuit model of supercapacitor

由圖3可知，超級電容的等效模型是由無數的RC分支構成，這些分支決定了超級電容外部特性的精確性。超級電容的外部充放電特性決定了這些分支的排列分布，因此各個分枝RC值各不相同，離端口最近的分枝的RC值最小，離端口越遠的分枝的RC值越大。當超級電容充電時，端電壓上升很快，一旦充電停止，端電壓會緩慢跌落。這是因為停止充電后，在超級電容內部，電荷會發生一個重新分配的過程，由時間常數小的分枝向時間常數大的分枝轉移，導致超級電容端電壓下降。

高度精確的模型管理起來相當復雜，不具備實用性。在經過了很多次實驗后本文選取階次為二的超級電容模型作為研究對象，如圖4所示。通過實驗和仿真可以說明二階超級電容模型比較準確，仿真時間也比較短。

圖4 二階超級電容模型Fig.4 Second order equivalent circuit model

4 實驗和仿真結果分析

辨識超級電容的傳遞函數需要超級電容充電實驗數據。為了驗證算法并估計出超級電容的傳遞函數，辨識所采用的實驗數據是在25℃下對超級電容以150 A充電100 s，以10 ms的采樣周期記錄超級電容的電壓響應，實驗曲線如圖5所示。利用前面介紹的遞推增廣最小二乘法對超級電容的傳遞函數進行估計[7]。

圖5 150A充電電流曲線Fig.5 150A charging current curve

圖6 實測電壓曲線Fig.6 Measured voltage curve

通過參數辨識程序可得到超級電容離散傳遞函數為：

在獲得模型的離散傳遞函數后．可采用雙線性反變換式將離散傳遞函數轉化為連續傳遞函數。

為了驗證超級電容模型傳遞函數的正確性，利用MATLAB軟件編寫程序進行仿真。仿真后電壓曲線直接和實測電壓曲線進行對比，這樣就能使模型的正確性得到驗證。仿真結果如圖7所示，可以看出，在充電階段超級電容模型能很好地描述實驗曲線，包括充電開始時的電壓突變特性和充電端電壓的非線性。

圖7 超級電容仿真曲線Fig.7 The simulation curve of supercapacitor

圖8 實測曲線和仿真曲線圖Fig.8 Measured curve and simulation curve

5 結 論

分析闡述了系統辨識的原理及遞推增廣最小二乘法算法，考慮了噪聲模型的存在．采用遞推增廣二乘法進行了參數辨識估計出模型的傳遞函數，提高了辨識精度。結果表明，采用遞推增廣最小二乘法不僅提高了辨識結果的穩定性和精度，而且成功地辨識出超級電容的模型，所得模型能很好的描述其電氣特性，為其控制提供先驗知識，對于超級電容的在線工作狀態評估具有一定指導意義。

[1]張逸成，朱建新.基于超級電容模型的參數辨識及其仿真研究[J].機電一體化，2010（12）:13-16.ZHANG Yi-cheng，ZHU Jian-xin.Study of supercapacitor’s parameter identification based on equivalent circuit model[J].Mechatronics，2010（12）:13-16.

[2]劉黨輝，蔡遠文，蘇永芝，等.系統辨識方法及應用[M].北京:國防工業出版社，2010.

[3]李鵬波，胡德文，張紀陽.系統辨識[M].北京：中國水利水電出版社，2010.

[4]朱豫才.過程控制的多變量系統辨識[M].張湘平，等，譯.長沙:國防科技大學出版社，2005.

[5]王志賢.最優狀態估計與系統辨識[M].西安:西北工業大學出版社，2004．

[6]趙洋，韋莉，張逸成，等.基于粒子群優化的超級電容器模型結構與參數辨識[J].中國電機工程學報，2012（5）:155-161.ZHAO Yang，Wei Li，ZHANG Yi-cheng.Structure and parameter identification of supercapacitors based on swarm optimization[J].Proceedings of the CSEE，2012（5）:155-161.

[7]孫家南，趙洋，韋莉，張逸成.基于系統辨識的電化學超級電容器建模[J].高壓電器，2012（9）:16-21.SUN Jia-nan，ZHAO Yang，Wei Li，et al.Modeling of electrochemical supercapacitor based on system identification[J].High Voltage Apparatus，2012（9）:16-21.