基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應分析

摘要： 針對ANSYS等商業有限元軟件無法進行基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應分析的問題，將以絕對響應為變量的動力學方程改寫為基礎響應與結構相對響應之和的形式，重新推導以相對響應為變量的結構動力學方程.以組合梁結構為例進行MATLAB程序仿真，并以ANSYS的PSD分析結果驗證所推導的動力學方程的正確性，說明基礎激勵下利用模態疊加法進行諧響應分析的可行性.

關鍵詞： 基礎激勵； 模態疊加法； 諧響應分析； 絕對響應； 相對響應； ANSYS； MATLAB

中圖分類號： O324文獻標志碼： A

0引言

諧響應分析可用以分析結構響應與載荷之間的傳遞特性，獲得結構振動的傳遞函數.該傳遞函數包括響應與載荷之間的幅值和相位關系.在工作中通過模態試驗獲得某結構的模態特性，測量得到結構的前幾階固有頻率和模態阻尼比，通過ANSYS建模獲得基礎激勵下結構的傳遞函數.但是，在ANSYS的諧響應分析中，若采用全方法，則無法輸入各階模態阻尼比，且計算耗費時間；若采用模態疊加法，則能提高計算速度，節約機時，但其幫助文件和相關文獻指出其缺點是不能施加非零約束[12]，即不能進行基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應分析.ANSYS中的PSD分析能夠得到基礎激勵下結構的響應譜，但是忽略響應與激勵之間的相位關系.針對這一問題，本文進行基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應分析動力學方程推導，對典型結構進行數值仿真，進一步獲得結構隨機振動響應的功率譜，并與ANSYS軟件的PSD分析結果進行對比，兩者吻合非常好，證實推導的動力學方程的正確性.1理論分析

在有限元分析時，頻域下線性系統動力學方程[35]為MX¨（ω）+CX·（ω）+KX（ω）=F（ω） （1）式中：M，C和K分別為系統的質量、阻尼和剛度矩陣；X¨，X·和X分別為系統的加速度、速度和位移響應，均為絕對量；Fω為系統的外載荷.

假設系統受到基礎加速度激勵，此時可將式（1）按照約束節點和非約束節點[69]進行分塊，寫為MddMds

MsdMssX¨d

X¨s+CddCds

CsdCssX·d

X·s+KddKds

KsdKssXd

Xs=0 （2）式中：下標d和s分別為結構非約束節點的集合和約束節點的集合；X¨d，X·d和Xd為非約束節點的絕對響應；X¨s，X·s和Xs為基礎約束節點的絕對響應；Mds，Cds和Kds分別為結構邊界單元的耦合質量、耦合阻尼和耦合剛度矩陣.

式（2）中第一部分可改寫為MddX¨d+CddX·d+KdsXd=-MdsX¨s-CdsX·s-KsdXs （3）進行基礎加速度激勵下的諧響應分析，即進行單位基礎加速度激勵下的結構響應計算.式（3）可以利用全方法直接進行計算，但當結構自由度規模較大時，計算困難，耗費機時.式（3）不能直接采用模態疊加法進行計算，其原因在于模態疊加法的假設前提不成立.模態疊加法是假設結構的響應可表示為振型向量的線性組合，即X=Ψη （4）式中：Ψ為結構的振型矩陣；η為結構在正則坐標下的結構響應.需要指出的是，式（4）計算的是結構的相對約束點的響應，是結構的相對響應，而式（3）中的響應是結構的絕對響應，不能直接采用模態疊加法進行計算.因此，需要重新推導動力學方程.

將式（2）中結構的絕對響應表示為結構相對于約束節點的相對響應與基礎節點響應之和，即Xd=Xd，c+Xs （5）式中：Xd，c為結構非約束節點的相對響應.

式（2）可改寫為MddMds

MsdMssX¨d，c+X¨s

X¨s+CddCds

CsdCssX·d，c+X·s

X·s+KddKds

KsdKssXd，c+Xs

Xs=0 （6）式（6）的第一個部分可寫為MddX¨d，c+CddX·d，c+KddXd，c=-MddX¨s-MdsX¨s-CddX·s-CdsX·s-KddXs-KdsXs （7）式（7）可采用模態疊加法進行諧響應計算，得到相對響應，由式（5）可得到結構的絕對響應.

2數值仿真

組合梁結構的有限元模型見圖1.結構參數見表1，邊界約束為支撐梁底部的固支約束.

圖 1組合梁結構有限元模型，mm

Fig.1Finite element model of composite beam structure， mm

表 1組合梁結構的模型參數

Tab.1Parameters of composite beam structure截面高度/

mm截面寬度/

mm密度/

（kg/m3）彈性模量/

Pa泊松比10102 7007.1E+100.3

本算例模型未實際加工，因此未通過模態試驗測量得到各階模態阻尼比.在數值仿真中，可按經驗值取模型前2階模態阻尼比為0.02，根據下式得到比例阻尼的系數，ξi=12αωi+βωi，i=1，2 （8）結構的比例阻尼矩陣可表示為C=αM+βK （9）此時，邊界耦合阻尼矩陣可表示為Cds=αMds+βKds （10）計算的頻率范圍為10～200 Hz，在此頻率范圍內結構共有11階模態.第3～11階模態阻尼比可根據如下方法得到.

將阻尼矩陣在正則坐標下解耦，得Cη=ΨTCΨ （11）式中：Cη為11×11維的矩陣，其對角線元素滿足關系式Cη（i，i）=2ξiωi，（i=1，2，…，11） （12）由式（12）可獲得模態阻尼比向量ξi（i=1，2，…，11）.

基礎載荷設置幅值為1 m/s2的加速度譜，采用MATLAB對式（7）采用模態疊加法進行編程計算得到結構諧響應.endprint

由于ANSYS無法計算基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應，無法直接將上述推導方程的諧響應計算結果與ANSYS仿真結果進行對比，因此在編程計算時，得到結構的相對響應和絕對響應，并與ANSYS的PSD分析結果進行對比.選擇圖1中標號為①和的y方向（橫向）絕對加速度響應為例，對比結果見圖2.

a）①號節點b）號節點

圖 2節點y方向響應絕對值對比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由圖2可知：本文所推導的基礎激勵下基于模態疊加法的響應譜與ANSYS的PSD仿真結果基本一致，說明所推導的方程正確.

3結束語

推導基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應計算公式，典型組合結構的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結果完全一致，為ANSYS等商業有限元軟件實現非零約束下基于模態疊加法的諧響應分析提供理論支持.參考文獻：

[1]葉先磊， 史亞杰. ANSYS工程分析軟件應用實例[M]. 北京： 清華大學出版社， 2003： 239240.

[2]張洪才， 何波. 有限元分析——ANSYS 13.0從入門到實戰[M]. 北京： 機械工業出版社， 2011： 152153.

[3]倪振華. 振動力學[M]. 西安： 西安交通大學出版社， 2006： 239240.

[4]王勖成. 有限單元法[M]. 北京： 清華大學出版社， 2003： 469471.

[5]SINGIRESU S R. 機械振動[M]. 4版. 李欣業， 張明路， 譯. 北京： 清華大學出版社， 2009： 316319.

[6]張亞輝， 智浩， 呂峰. 結構多點隨機地震響應分析及擬靜位移計算[J]. 計算力學學報， 2004， 21（5）： 564570.

ZHANG Yahui， ZHI Hao， LYU Feng. Seismic random response analysis of multisupported structures and the quasistatic displacement approximation[J]. Chin J Comput Mech， 2004， 21（5）： 564570.

[7]張雷明， 張昌金. 多點激勵下結構地震響應計算擬靜力位移法[J]. 工程抗震與加固改造， 2005， 27（4）： 2427.

ZHANG Leiming， ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting， 2005， 27（4）： 2427.

[8]胡杰， 張希農. 基礎激勵下結構響應計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應用學術會議論文集. 南京， 2011： 672676.

[9]ALKHALEEFI A M， ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure， 2002， 80（22）： 16891697.

（編輯武曉英）endprint

由于ANSYS無法計算基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應，無法直接將上述推導方程的諧響應計算結果與ANSYS仿真結果進行對比，因此在編程計算時，得到結構的相對響應和絕對響應，并與ANSYS的PSD分析結果進行對比.選擇圖1中標號為①和的y方向（橫向）絕對加速度響應為例，對比結果見圖2.

a）①號節點b）號節點

圖 2節點y方向響應絕對值對比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由圖2可知：本文所推導的基礎激勵下基于模態疊加法的響應譜與ANSYS的PSD仿真結果基本一致，說明所推導的方程正確.

3結束語

推導基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應計算公式，典型組合結構的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結果完全一致，為ANSYS等商業有限元軟件實現非零約束下基于模態疊加法的諧響應分析提供理論支持.參考文獻：

[1]葉先磊， 史亞杰. ANSYS工程分析軟件應用實例[M]. 北京： 清華大學出版社， 2003： 239240.

[2]張洪才， 何波. 有限元分析——ANSYS 13.0從入門到實戰[M]. 北京： 機械工業出版社， 2011： 152153.

[3]倪振華. 振動力學[M]. 西安： 西安交通大學出版社， 2006： 239240.

[4]王勖成. 有限單元法[M]. 北京： 清華大學出版社， 2003： 469471.

[5]SINGIRESU S R. 機械振動[M]. 4版. 李欣業， 張明路， 譯. 北京： 清華大學出版社， 2009： 316319.

[6]張亞輝， 智浩， 呂峰. 結構多點隨機地震響應分析及擬靜位移計算[J]. 計算力學學報， 2004， 21（5）： 564570.

ZHANG Yahui， ZHI Hao， LYU Feng. Seismic random response analysis of multisupported structures and the quasistatic displacement approximation[J]. Chin J Comput Mech， 2004， 21（5）： 564570.

[7]張雷明， 張昌金. 多點激勵下結構地震響應計算擬靜力位移法[J]. 工程抗震與加固改造， 2005， 27（4）： 2427.

ZHANG Leiming， ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting， 2005， 27（4）： 2427.

[8]胡杰， 張希農. 基礎激勵下結構響應計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應用學術會議論文集. 南京， 2011： 672676.

[9]ALKHALEEFI A M， ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure， 2002， 80（22）： 16891697.

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由于ANSYS無法計算基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應，無法直接將上述推導方程的諧響應計算結果與ANSYS仿真結果進行對比，因此在編程計算時，得到結構的相對響應和絕對響應，并與ANSYS的PSD分析結果進行對比.選擇圖1中標號為①和的y方向（橫向）絕對加速度響應為例，對比結果見圖2.

a）①號節點b）號節點

圖 2節點y方向響應絕對值對比

Fig.2Absolute response comparison of nodes in y direction

由圖2可知：本文所推導的基礎激勵下基于模態疊加法的響應譜與ANSYS的PSD仿真結果基本一致，說明所推導的方程正確.

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推導基礎激勵下基于模態疊加法的諧響應計算公式，典型組合結構的MATLAB編程計算與ANSYS仿真結果完全一致，為ANSYS等商業有限元軟件實現非零約束下基于模態疊加法的諧響應分析提供理論支持.參考文獻：

[1]葉先磊， 史亞杰. ANSYS工程分析軟件應用實例[M]. 北京： 清華大學出版社， 2003： 239240.

[2]張洪才， 何波. 有限元分析——ANSYS 13.0從入門到實戰[M]. 北京： 機械工業出版社， 2011： 152153.

[3]倪振華. 振動力學[M]. 西安： 西安交通大學出版社， 2006： 239240.

[4]王勖成. 有限單元法[M]. 北京： 清華大學出版社， 2003： 469471.

[5]SINGIRESU S R. 機械振動[M]. 4版. 李欣業， 張明路， 譯. 北京： 清華大學出版社， 2009： 316319.

[6]張亞輝， 智浩， 呂峰. 結構多點隨機地震響應分析及擬靜位移計算[J]. 計算力學學報， 2004， 21（5）： 564570.

ZHANG Yahui， ZHI Hao， LYU Feng. Seismic random response analysis of multisupported structures and the quasistatic displacement approximation[J]. Chin J Comput Mech， 2004， 21（5）： 564570.

[7]張雷明， 張昌金. 多點激勵下結構地震響應計算擬靜力位移法[J]. 工程抗震與加固改造， 2005， 27（4）： 2427.

ZHANG Leiming， ZHANG Changjin. Discussion on the pseudostatic displacement method for seismic analysis of structures under multiple excitations[J]. Earthquake Resistant Eng & Retrofitting， 2005， 27（4）： 2427.

[8]胡杰， 張希農. 基礎激勵下結構響應計算的直接求解法[C]//第十屆全國振動理論及應用學術會議論文集. 南京， 2011： 672676.

[9]ALKHALEEFI A M， ALI A. An efficient multipoint supportmotion random vibration analysis technique[J]. Comput & Structure， 2002， 80（22）： 16891697.

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