測井信號的模極大值小波去噪與交替投影重構(gòu)

高丙坤 周泳含 孫靈川 張 莉

(1.東北石油大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318；2.北京郵電大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，北京 100876)

核磁共振測井可以有效地探測、評估剩余油分布范圍、采油率及儲油效率等，該技術(shù)所獲取的原始數(shù)據(jù)是自旋回波串，包含滲透率、孔隙度、可動流體及不可動流體等眾多的物理信息[1]。由于測井中熱力和重力的作用，加之井下環(huán)境惡劣，干擾因素多，致使核磁共振測井得到的自回波信號較微弱，信噪比低。核磁共振測井回波信號為非線性非平穩(wěn)性信號，故筆者通過小波變換對信號進(jìn)行去噪處理，以提高分辨率，對測井信號做出準(zhǔn)準(zhǔn)的解釋。

核磁共振測井儀器探測到的自旋回波為指數(shù)衰減信號，實(shí)測的1 000組樣本形成的回波信號如圖1所示，有用信號被大量噪聲湮沒，難以表征信號的物理信息。

圖1 核磁共振測井儀器實(shí)測信號

信號的奇異性需要利用Lipschitz指數(shù)進(jìn)行衡量[2]。函數(shù)f(t)在某一點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)α越大，該點(diǎn)就越光滑；否則，該點(diǎn)的奇異性越大。核磁共振測井自旋回波信號是連續(xù)變換的，沒有間斷點(diǎn)出現(xiàn)，其有效信號的Lipschitz指數(shù)α>0，噪聲信號的Lipschitz指數(shù)α<0。基于模極大值的小波變換去噪方法就是根據(jù)這一特性來檢測信號的局部奇異性[3]，具體方法為：

a. 求各尺度下的模極大值，其與信噪比和重構(gòu)誤差均有關(guān)系。信號重構(gòu)時(shí)，誤差與尺度j成正比關(guān)系，故具體的選擇需根據(jù)信號的信噪比確定。

b. 確定尺度j上的模極大值點(diǎn)。對信號做二進(jìn)制小波分解后，選定一個(gè)閾值A(chǔ)和最大分解尺度j，并將j上噪聲對應(yīng)的模極大值點(diǎn)與閾值A(chǔ)作比較，若其對應(yīng)的幅值比閾值A(chǔ)小，就將其刪除，否則將其保留。

c. 尋找尺度j-1上的傳播點(diǎn)，這個(gè)傳播點(diǎn)要和尺度j上小波變換模極大值點(diǎn)相對應(yīng)，從而保留有效信號的極值點(diǎn)，將其他(如噪聲引起)極值點(diǎn)去除。

2 測井自旋回波信號的交替投影重構(gòu)

在尺度1到尺度j下，利用模極大值進(jìn)行信號重構(gòu)。為減小誤差，采用交替投影算法[4]恢復(fù)小波系數(shù)。

尋求某一個(gè)函數(shù)h(x)∈L2(R)，使得該函數(shù)在每一個(gè)尺度j下，其二進(jìn)小波變換Wjh(x)的模極大值與Wjf(x)具有相同的模極大值。h(x)應(yīng)滿足以下兩個(gè)約束條件：

a. 在各個(gè)尺度j下Wjf(x)的任意模極大值

b. {xnj}是Wjf(x)局部極大值的全體集合。

從這兩個(gè)條件可以看出，第二個(gè)條件比第一個(gè)條件實(shí)現(xiàn)起來要困難，因此不要求信號的局部極值點(diǎn)全部位于{xnj}內(nèi)，而要求|Wjh(x)|的平均值達(dá)到最小。另一方面，模極大值的點(diǎn)數(shù)取決于Wjh(x)。因此，為了保證在第二個(gè)條件改變的情況下Wjh(x)的模極大值點(diǎn)數(shù)的準(zhǔn)確性，使Wjh(x)在集合{xnj}以外的點(diǎn)數(shù)盡可能地少，且能量最小，引入以下范數(shù)：

(1)

對于第一個(gè)條件，設(shè)K為所有的函數(shù)序列{gj(x)}j∈Z組成的空間，則通過式(1)可得：

(2)

一個(gè)由所有函數(shù)序列{gj(x)}j∈Z組成的集合Γ，Γ?K，則有：

(3)

(4)

令PΓ和PV分別為凸集Γ和空間V上的兩個(gè)投影算子。這兩個(gè)算子分別對范數(shù)‖*‖是正

交的。令P=PV°PΓ是兩個(gè)空間V和Γ的交替投影算子。迭代n次后P(n)=P°P°…°P,可以證明，對任意空間K中的序列Y={gj(x)}j∈Z，有：

(5)

即對空間V和Γ的交替投影收斂于Hilbert空間V的正交投影。因此，經(jīng)過若干次迭代后，就會收斂于所要求的函數(shù)。

3 測井自旋回波信號去噪與重構(gòu)效果

對前述核磁共振測井自旋回波信號進(jìn)行分解，最大層數(shù)為4，交替投影算法的迭代次數(shù)為6。經(jīng)過小波模極大值處理后，得到的結(jié)果如圖2～4所示。

圖2 回波信號小波分解近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)

圖3 模極大值的尺度傳播特性

圖4 模極大值重構(gòu)的回波信號

由圖2可以看出，信號在經(jīng)過模極大值三層分解后，近似系數(shù)和原始信號較為相似，能夠反映出原始信號的特征信息。細(xì)節(jié)系數(shù)分布較緊密，表明信號噪聲較集中。

由圖3可以看出，尺度越大，小波變換的模極大值就越稀少，但還是會很好地吻合原始信號的突變點(diǎn)，較好地反映突變點(diǎn)的大小和位置，由這些保留下來的模極大值點(diǎn)重構(gòu)的信號能夠很好地反應(yīng)信號的特性，有助于提高回波信號測量的精確度。

由圖4可以看出，模極大值去噪處理的效果很明顯，探針信號中的絕大部分噪聲都被濾除。重構(gòu)信號光滑、平穩(wěn)，去噪后的信號與原始信號很相似。

4 結(jié)論

4.1小波模極大值去噪方法有效地保留了核磁共振測井自旋回波原始信號的奇異點(diǎn)信息，且該算法對噪聲的依賴性相對較低。

4.2交替投影重構(gòu)信號光滑、平穩(wěn)，能很好地顯示去噪后的信號與原始信號的相近性。

[1] 肖立志,謝然紅,丁娛嬌,等．核磁共振測井儀器的最新進(jìn)展與未來發(fā)展方向[J].測井技術(shù),2003，27(4)：265～269．

[2] 華春紅,任章,張敏虎.基于自適應(yīng)閾值估計(jì)的模極大值去噪方法[J].航天控制,2011,29(1)：37～40,47.

[3] 段煒.基于小波變換的探地雷達(dá)信號去噪方法研究[D].長沙：中南大學(xué),2008．

[4] 孫豐榮,翟廣濤,李艷玲,等.由小波變換模極大值重構(gòu)信號的快速算法[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng),2005,26(12):2147～2149.