研究碰撞問題新思路

康佑民

對于碰撞問題，我們大都用動量守恒定律來處理。本文也不例外，但是多考慮了碰撞過程中動能的損失，建立一個動能的損失和某一物體速度之間的函數關系，由損失的動能來確定碰撞后或碰撞過程中物體系的某一狀態。這樣不僅開拓了研究碰撞問題的思路，還得到非常方便、簡捷的結論，且應用性非常廣泛。

一、碰撞問題研究

如圖1所示，選碰撞前、后兩個狀態，運用動量守恒定律及動能的損失研究碰撞問題，有下面兩個方程：

結論1：在碰撞前后，動能損失最大時，兩物體具有相同的速度（這一結論反過來也成立，即兩物體具有相同速度時，系統動能損失最大）。

盡管二次函數（3）是在碰撞前后兩狀態得出的，但是卻反映了碰撞過程中任意狀態的能量損失和小球m1速度的變化關系。這樣我們可以利用該函數研究任意的碰撞以及碰撞過程的任意狀態。

綜上所述，上面結論可以修正為：在整個碰撞過程中，系統動能損失最大所對應的是兩個物體具有相同速度的狀態，反之命題也成立。

二、結論應用

在實際問題中，這一結論非常有用，只是在具體應用中，這一結論中“動能損失最大”往往以不同的物理情景給出。下面分別舉例說明這一結論的應用情景。

情景1：達到最高點。

【例1】 如圖3所示，質量為M的滑塊靜止在水平桌面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切。一個質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，則小球達到最高點時，小球和滑塊的速度大小分別是多少？

解析：假設背景為碰撞模型，先是小球相對滑塊上升，系統動能轉化為勢能；然后小球相對滑塊下滑，直到分離，勢能轉化為系統動能。最高點時系統損失的動能最多。

由動量守恒定律可得：mv0=（m+M）vv=mm+Mv0。

情景2：彈簧壓縮或伸長最大。

【例2】 （2002年全國高考理科綜合第16題）在光滑水平地面上有兩個相同的彈性小球A、B，質量都是m，現B球靜止，A球向B球運動，發生正碰。已知碰撞過程總機械能守恒，兩球壓縮最緊時彈性勢能為Ep，則碰前A球的速度等于（ ）。

A.Epm

B.2Epm

C.2Epm

D.22Epm

解析：碰撞過程分兩階段：壓縮階段和恢復階段。前階段系統動能轉化為勢能，后一階段勢能轉化為動能。壓縮最緊時彈性勢能最大，也即動能損失最大，具有相同的速度。

設壓縮最緊時球A、B速度為v，由動量守恒定律得

mv0=2mv………（1）

再由能量守恒得

12mv20=12（2m）v2+Ep

………（2）

聯立（1）（2）兩式，解得v0=2Epm

由此可見，用函數的思路研究碰撞問題，不僅能反映始末狀態動量守恒規律，還能反映出整個過程任意狀態都動量守恒的本質。對學生正確理解掌握并應用動量守恒定律有很大的幫助，而且這一結論也具有很廣泛的應用，對開拓學生發散思維，培養應用數學知識解決問題的創新意識有良好的效果。

（特約編輯 安 平）endprint

對于碰撞問題，我們大都用動量守恒定律來處理。本文也不例外，但是多考慮了碰撞過程中動能的損失，建立一個動能的損失和某一物體速度之間的函數關系，由損失的動能來確定碰撞后或碰撞過程中物體系的某一狀態。這樣不僅開拓了研究碰撞問題的思路，還得到非常方便、簡捷的結論，且應用性非常廣泛。

一、碰撞問題研究

如圖1所示，選碰撞前、后兩個狀態，運用動量守恒定律及動能的損失研究碰撞問題，有下面兩個方程：

結論1：在碰撞前后，動能損失最大時，兩物體具有相同的速度（這一結論反過來也成立，即兩物體具有相同速度時，系統動能損失最大）。

盡管二次函數（3）是在碰撞前后兩狀態得出的，但是卻反映了碰撞過程中任意狀態的能量損失和小球m1速度的變化關系。這樣我們可以利用該函數研究任意的碰撞以及碰撞過程的任意狀態。

綜上所述，上面結論可以修正為：在整個碰撞過程中，系統動能損失最大所對應的是兩個物體具有相同速度的狀態，反之命題也成立。

二、結論應用

在實際問題中，這一結論非常有用，只是在具體應用中，這一結論中“動能損失最大”往往以不同的物理情景給出。下面分別舉例說明這一結論的應用情景。

情景1：達到最高點。

【例1】 如圖3所示，質量為M的滑塊靜止在水平桌面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切。一個質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，則小球達到最高點時，小球和滑塊的速度大小分別是多少？

解析：假設背景為碰撞模型，先是小球相對滑塊上升，系統動能轉化為勢能；然后小球相對滑塊下滑，直到分離，勢能轉化為系統動能。最高點時系統損失的動能最多。

由動量守恒定律可得：mv0=（m+M）vv=mm+Mv0。

情景2：彈簧壓縮或伸長最大。

【例2】 （2002年全國高考理科綜合第16題）在光滑水平地面上有兩個相同的彈性小球A、B，質量都是m，現B球靜止，A球向B球運動，發生正碰。已知碰撞過程總機械能守恒，兩球壓縮最緊時彈性勢能為Ep，則碰前A球的速度等于（ ）。

A.Epm

B.2Epm

C.2Epm

D.22Epm

解析：碰撞過程分兩階段：壓縮階段和恢復階段。前階段系統動能轉化為勢能，后一階段勢能轉化為動能。壓縮最緊時彈性勢能最大，也即動能損失最大，具有相同的速度。

設壓縮最緊時球A、B速度為v，由動量守恒定律得

mv0=2mv………（1）

再由能量守恒得

12mv20=12（2m）v2+Ep

………（2）

聯立（1）（2）兩式，解得v0=2Epm

由此可見，用函數的思路研究碰撞問題，不僅能反映始末狀態動量守恒規律，還能反映出整個過程任意狀態都動量守恒的本質。對學生正確理解掌握并應用動量守恒定律有很大的幫助，而且這一結論也具有很廣泛的應用，對開拓學生發散思維，培養應用數學知識解決問題的創新意識有良好的效果。

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對于碰撞問題，我們大都用動量守恒定律來處理。本文也不例外，但是多考慮了碰撞過程中動能的損失，建立一個動能的損失和某一物體速度之間的函數關系，由損失的動能來確定碰撞后或碰撞過程中物體系的某一狀態。這樣不僅開拓了研究碰撞問題的思路，還得到非常方便、簡捷的結論，且應用性非常廣泛。

一、碰撞問題研究

如圖1所示，選碰撞前、后兩個狀態，運用動量守恒定律及動能的損失研究碰撞問題，有下面兩個方程：

結論1：在碰撞前后，動能損失最大時，兩物體具有相同的速度（這一結論反過來也成立，即兩物體具有相同速度時，系統動能損失最大）。

盡管二次函數（3）是在碰撞前后兩狀態得出的，但是卻反映了碰撞過程中任意狀態的能量損失和小球m1速度的變化關系。這樣我們可以利用該函數研究任意的碰撞以及碰撞過程的任意狀態。

綜上所述，上面結論可以修正為：在整個碰撞過程中，系統動能損失最大所對應的是兩個物體具有相同速度的狀態，反之命題也成立。

二、結論應用

在實際問題中，這一結論非常有用，只是在具體應用中，這一結論中“動能損失最大”往往以不同的物理情景給出。下面分別舉例說明這一結論的應用情景。

情景1：達到最高點。

【例1】 如圖3所示，質量為M的滑塊靜止在水平桌面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切。一個質量為m的小球以速度v0向滑塊滾來，設小球不能越過滑塊，則小球達到最高點時，小球和滑塊的速度大小分別是多少？

解析：假設背景為碰撞模型，先是小球相對滑塊上升，系統動能轉化為勢能；然后小球相對滑塊下滑，直到分離，勢能轉化為系統動能。最高點時系統損失的動能最多。

由動量守恒定律可得：mv0=（m+M）vv=mm+Mv0。

情景2：彈簧壓縮或伸長最大。

【例2】 （2002年全國高考理科綜合第16題）在光滑水平地面上有兩個相同的彈性小球A、B，質量都是m，現B球靜止，A球向B球運動，發生正碰。已知碰撞過程總機械能守恒，兩球壓縮最緊時彈性勢能為Ep，則碰前A球的速度等于（ ）。

A.Epm

B.2Epm

C.2Epm

D.22Epm

解析：碰撞過程分兩階段：壓縮階段和恢復階段。前階段系統動能轉化為勢能，后一階段勢能轉化為動能。壓縮最緊時彈性勢能最大，也即動能損失最大，具有相同的速度。

設壓縮最緊時球A、B速度為v，由動量守恒定律得

mv0=2mv………（1）

再由能量守恒得

12mv20=12（2m）v2+Ep

………（2）

聯立（1）（2）兩式，解得v0=2Epm

由此可見，用函數的思路研究碰撞問題，不僅能反映始末狀態動量守恒規律，還能反映出整個過程任意狀態都動量守恒的本質。對學生正確理解掌握并應用動量守恒定律有很大的幫助，而且這一結論也具有很廣泛的應用，對開拓學生發散思維，培養應用數學知識解決問題的創新意識有良好的效果。

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