以一道2014年高考題為例談解析幾何復(fù)習(xí)

黃力江

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，每年高考都重點(diǎn)考查該知識(shí)點(diǎn)，但每年解析幾何的得分率都不高.原因是考生在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)有畏懼心理，認(rèn)為解析幾何很難，考試時(shí)不敢做，放棄解析幾何大題.新課改這幾年，解析幾何的命題趨勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定.下面，筆者以2014年高考廣東卷理科第20題為例，談一談解析幾何復(fù)習(xí).

【例】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一個(gè)焦點(diǎn)為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

本題的解答過程省略，下面筆者證明一個(gè)一般性的結(jié)論.

結(jié)論：已知曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為曲線C外的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到曲線C的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析：（1）當(dāng)其中一條切線的斜率不存在時(shí)，則另一條切線的斜率為零，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，則斜率亦不為零，此種情況為本結(jié)論證明的關(guān)鍵，下面筆者用以下幾種方法來解決這個(gè)問題.

方法一：設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），聯(lián)立方程組

方法二：設(shè)其中一條切線的方程為y-y0=k（x-x0），則另一條切線的方程為y-y0=-1k（x-x0）

，聯(lián)立方程組

方法三：設(shè)兩條切線分別為l1，l2切線l1與橢圓C的切點(diǎn)為A（x1，y1），切線l2與橢圓C的切點(diǎn)為B（x2，y2），則l1的方程為x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，從而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直線AB的方程為

x0xa2+y0yb2=1

.聯(lián)立方程組

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

將③④代入⑤化簡(jiǎn)后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又點(diǎn)P在橢圓外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，從而x2+y2=a2+b2.

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦滿足x2+y2=a2+b2.

綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析幾何對(duì)學(xué)生的分析理解能力、運(yùn)算求解能力以及邏輯思維能力要求較高.一位優(yōu)秀的教師應(yīng)注重對(duì)解題方法的總結(jié)，這也是有效教學(xué)的一個(gè)重要措施.教師在總結(jié)解題方法時(shí)不應(yīng)只停留在題目的表面，更應(yīng)針對(duì)題目的內(nèi)涵進(jìn)行剖析，這樣才能使高三復(fù)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，每年高考都重點(diǎn)考查該知識(shí)點(diǎn)，但每年解析幾何的得分率都不高.原因是考生在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)有畏懼心理，認(rèn)為解析幾何很難，考試時(shí)不敢做，放棄解析幾何大題.新課改這幾年，解析幾何的命題趨勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定.下面，筆者以2014年高考廣東卷理科第20題為例，談一談解析幾何復(fù)習(xí).

【例】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一個(gè)焦點(diǎn)為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

本題的解答過程省略，下面筆者證明一個(gè)一般性的結(jié)論.

結(jié)論：已知曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為曲線C外的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到曲線C的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析：（1）當(dāng)其中一條切線的斜率不存在時(shí)，則另一條切線的斜率為零，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，則斜率亦不為零，此種情況為本結(jié)論證明的關(guān)鍵，下面筆者用以下幾種方法來解決這個(gè)問題.

方法一：設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），聯(lián)立方程組

方法二：設(shè)其中一條切線的方程為y-y0=k（x-x0），則另一條切線的方程為y-y0=-1k（x-x0）

，聯(lián)立方程組

方法三：設(shè)兩條切線分別為l1，l2切線l1與橢圓C的切點(diǎn)為A（x1，y1），切線l2與橢圓C的切點(diǎn)為B（x2，y2），則l1的方程為x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，從而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直線AB的方程為

x0xa2+y0yb2=1

.聯(lián)立方程組

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

將③④代入⑤化簡(jiǎn)后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又點(diǎn)P在橢圓外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，從而x2+y2=a2+b2.

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦滿足x2+y2=a2+b2.

綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析幾何對(duì)學(xué)生的分析理解能力、運(yùn)算求解能力以及邏輯思維能力要求較高.一位優(yōu)秀的教師應(yīng)注重對(duì)解題方法的總結(jié)，這也是有效教學(xué)的一個(gè)重要措施.教師在總結(jié)解題方法時(shí)不應(yīng)只停留在題目的表面，更應(yīng)針對(duì)題目的內(nèi)涵進(jìn)行剖析，這樣才能使高三復(fù)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）endprint

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，每年高考都重點(diǎn)考查該知識(shí)點(diǎn)，但每年解析幾何的得分率都不高.原因是考生在學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)有畏懼心理，認(rèn)為解析幾何很難，考試時(shí)不敢做，放棄解析幾何大題.新課改這幾年，解析幾何的命題趨勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定.下面，筆者以2014年高考廣東卷理科第20題為例，談一談解析幾何復(fù)習(xí).

【例】 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）

的一個(gè)焦點(diǎn)為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

本題的解答過程省略，下面筆者證明一個(gè)一般性的結(jié)論.

結(jié)論：已知曲線C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為曲線C外的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到曲線C的兩條切線相互垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析：（1）當(dāng)其中一條切線的斜率不存在時(shí)，則另一條切線的斜率為零，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）.

（2）當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，則斜率亦不為零，此種情況為本結(jié)論證明的關(guān)鍵，下面筆者用以下幾種方法來解決這個(gè)問題.

方法一：設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），聯(lián)立方程組

方法二：設(shè)其中一條切線的方程為y-y0=k（x-x0），則另一條切線的方程為y-y0=-1k（x-x0）

，聯(lián)立方程組

方法三：設(shè)兩條切線分別為l1，l2切線l1與橢圓C的切點(diǎn)為A（x1，y1），切線l2與橢圓C的切點(diǎn)為B（x2，y2），則l1的方程為x1xa2+y1yb2=1

.又P（x0，y0）在l1上，所以x1x0a2+y1y0b2=1

，同理

x2x0a2+y2y0b2=1

，從而（x1，y1），（x2，y2）是方程

x0xa2+y0yb2=1

的解，所以直線AB的方程為

x0xa2+y0yb2=1

.聯(lián)立方程組

x2a2+y2b2=1

x0xa2+y0yb2=1

，消去y，可得：

（b2x20+a2y20）x2-2a2b2x0x+a4b2-a4y20=0

，

故x1+x2=

2a2b2x0b2x20+a2y20，

x1x2=a4（b2-y20）b2x20+a2y20.

③

同理可得：y1+y2=

2a2b2y0b2x20+a2y20，

y1y2=b4（a2-x20）b2x20+a2y20

④

由l1⊥l2可得：

y0-y1x0-x1·y0-y2x0-x2=-1

即x20+y20-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0. ⑤

將③④代入⑤化簡(jiǎn)后，可得：（b2x20+a2y20-a2b2）（x20+y20-a2-b2）=0，又點(diǎn)P在橢圓外，所以b2x20+a2y20-a2b2≠0，從而x2+y2=a2+b2.

又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）、（a，b）、（-a，b）或（-a，-b）亦滿足x2+y2=a2+b2.

綜上所述，點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=a2+b2.

解析幾何對(duì)學(xué)生的分析理解能力、運(yùn)算求解能力以及邏輯思維能力要求較高.一位優(yōu)秀的教師應(yīng)注重對(duì)解題方法的總結(jié)，這也是有效教學(xué)的一個(gè)重要措施.教師在總結(jié)解題方法時(shí)不應(yīng)只停留在題目的表面，更應(yīng)針對(duì)題目的內(nèi)涵進(jìn)行剖析，這樣才能使高三復(fù)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果.

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