一道2014年高考解析幾何試題的探究與推廣

趙明霞

如圖1，已知雙曲線C：x2a2-y2=1（a>0）

的右焦點為F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標原點）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點P（x0，y0）（y0≠0）的直線

l：x0xa2-y0y=1與直線AF相交于點M，與直

線x=32相交于點N.證明：當點P在C上移動時，|MF||NF|恒為定值，并求此定值.

一、對問題的解答

二、對問題作一般化的探究

性質1：過雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

證明：如圖2，雙曲線C的右焦點F（c，0），則過點F的通徑所在的直線方程為x=c，右準線方程為x=a2c，雙曲線C上任意一點P（x0，y0）（y0≠0）的切線方程為

同理可證，焦點在其他位置時性質亦成立，于是可得性質2.

性質2：過雙曲線C上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

三、將雙曲線性質類比拓展到橢圓、拋物線

性質3：過橢圓C：

同理，焦點在其他位置時性質亦成立，于是可得性質6.

性質6：過拋物線上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=1.

四、總結

定理：過圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）

上非頂點（橢圓非長軸頂點）的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

如圖1，已知雙曲線C：x2a2-y2=1（a>0）

的右焦點為F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標原點）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點P（x0，y0）（y0≠0）的直線

l：x0xa2-y0y=1與直線AF相交于點M，與直

線x=32相交于點N.證明：當點P在C上移動時，|MF||NF|恒為定值，并求此定值.

一、對問題的解答

二、對問題作一般化的探究

性質1：過雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

證明：如圖2，雙曲線C的右焦點F（c，0），則過點F的通徑所在的直線方程為x=c，右準線方程為x=a2c，雙曲線C上任意一點P（x0，y0）（y0≠0）的切線方程為

同理可證，焦點在其他位置時性質亦成立，于是可得性質2.

性質2：過雙曲線C上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

三、將雙曲線性質類比拓展到橢圓、拋物線

性質3：過橢圓C：

同理，焦點在其他位置時性質亦成立，于是可得性質6.

性質6：過拋物線上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=1.

四、總結

定理：過圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）

上非頂點（橢圓非長軸頂點）的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

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如圖1，已知雙曲線C：x2a2-y2=1（a>0）

的右焦點為F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標原點）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過C上一點P（x0，y0）（y0≠0）的直線

l：x0xa2-y0y=1與直線AF相交于點M，與直

線x=32相交于點N.證明：當點P在C上移動時，|MF||NF|恒為定值，并求此定值.

一、對問題的解答

二、對問題作一般化的探究

性質1：過雙曲線C：

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

證明：如圖2，雙曲線C的右焦點F（c，0），則過點F的通徑所在的直線方程為x=c，右準線方程為x=a2c，雙曲線C上任意一點P（x0，y0）（y0≠0）的切線方程為

同理可證，焦點在其他位置時性質亦成立，于是可得性質2.

性質2：過雙曲線C上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

三、將雙曲線性質類比拓展到橢圓、拋物線

性質3：過橢圓C：

同理，焦點在其他位置時性質亦成立，于是可得性質6.

性質6：過拋物線上非頂點的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=1.

四、總結

定理：過圓錐曲線C：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A2+C2≠0）

上非頂點（橢圓非長軸頂點）的任意一點P（x0，y0）的切線與過焦點F的通徑所在的直線交于點M，與焦點F對應的準線交于點N，則|MF||NF|=e.

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