運用幾何畫板對一道中考題進行探究與推廣

吳舒昊

中考試題是初中知識的“大雜燴”，它涵蓋了初中階段所學的各種知識，是對學生的知識與能力的全面考查.縱觀中考數學試題中的后幾道大題，很多時候都需要綜合運用各種知識，有時甚至還要用到一些特別的技巧，才能把題目解答出來.而2013年廣東省廣州市中考數學試題第24題就是綜合考查圓、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等幾何圖形的相關知識，還涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質、平行線的性質等.它既考查了學生對知識的綜合運用能力，也考查了學生對問題的分析、轉化和推理能力.借助幾何畫板對這道題進行深入的探究，能進一步挖掘題目的內在本質，從中發現極富趣味的規律，再進一步進行推廣，則能達到“舉一反三”的效果.

一、原題及其解答思路

二、運用幾何畫板對原題進行探究

原題中，C點的運動限制在AB的延長線上，而且C點與B點不重合.現在，作者去掉這兩個條件，改為：C點在AB所在的直線上運動.下面運用幾何畫板對題目進行深入的探究.雖然原題中C點在AB的延長線上運動，D點在圓O上運動，但是CD始終與圓的半徑OA相等，即CD的長度一直保持不變，那么在幾何畫板中，可以畫出以C點為圓心、CD為半徑的圓，而D點則是圓C與圓O的交點；此時，D點的運動隨C點的運動的變化而變化，但是保持CD的長度等于OA的長度，所以，這種做法并不偏離題目的本意.因為原題只是規

圖4定D點在圓O上運動，并沒有規定它一定是在直線AC的上方，那么從圖4中可以看出，在直線AC的下方還有一個點D′，滿足條件CD′=OA，這個點與D點關于直線AC對稱.

1.C點在線段AB由A到B方向的延長線上

從題目的設問中，大家可以發現D點在運動過程中有三個關鍵位置：D點為圓O的切點、D點是CE的中點以及OD與EA平行.

（1）D點為圓O的切點.由原題中的第一小問可知：當OC=22時，CD是圓O的切線.如圖4，由對稱的性質得：CD′也是圓O的切線，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因為兩個圓的半徑相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，則四邊形ODCD′為菱形.在菱形ODCD′中，因為∠OD′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一個正方形.

（2）D點是CE的中點.如圖5，當D點是CE的中點時，DE=CD=OD=OE=OA，則

△OED

為等邊三角形，△OEA、△DOC為等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，則△OEA為等腰直角三角形，△OEC為直角三角形.

根據對稱的性質，D點關于直線AC的對稱點D′也是CE′的中點，則EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一個等邊三角形.

（3）OD與EA平行.如圖6，當OD∥EA時，∠2=∠5，∠1=∠6.又因為OA=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC為等腰三角形，則有：∠1=∠2，∠6=∠7.由這四個等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因為∠5=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因為∠1=∠7，所以△EAD為等腰三角形.

2.C點線段OB上

若C點在線段OB上，此時，CD所在的直線與圓O的交點E在直線AC的下方（如圖7所示）.特別地，當C點與B點重合時，CD所在的直線與圓O的交點為D點、E點.因為OD=CD，所以△DOC為等腰三角形.特別地，當C點與B點重合時，

△DOC為等邊三角形.當C點與O點重合時，圓O和圓C重合.

3.C點在O點的左邊

若C點在O點的左邊，此時，根據對稱的性質，當C點在線段OA上運動時，圖形的變化與2中的情形相類似；當C點在線段AB由B到A方向的延長線上運動時，圖形的變化與1中的情形相類似.

三、對原題進行推廣，得出三個推論

原題中，圓O的半徑為2，現在不考慮其半徑的大小，題干中的其他條件保持不變，然后根據原題的設問由題目中的情形推廣到一般情形.這樣，可以推出以下三個結論.

1.D點為圓O、圓C的切點OC=2OA

如圖4，當D點為圓O的切點時，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已證四邊形ODCD′是一個正方形.正方形ODCD′中，OC為∠DOD′、∠DCD′的平分線，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，則△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，OC=2OA.

當時OC=2OA，因為圓O和圓C的半徑相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此時，CD、CD′為圓O的切線，OD、OD′為圓C的切線.所以，D點、D′點為圓O、圓C的切點.

2.D點為CE的中點OC=3OA

由前文可知：當D點為CE的中點時，△OEC為直角三角形.此時，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：當OD∥EA時，△OED∽△CEO.根據相似三角形的性質，得：EOEC=EDEO，則EC·ED=EO2.

如圖6，EC·ED=EO2可轉化為EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此時，∠5=∠7.又因為△DOC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因為∠EOC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根據同位角相等，得OD∥AE.

參考文獻

鄧繼雄.借“畫板”'之手破中考壓軸[J].中學數學，2013（8）.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

中考試題是初中知識的“大雜燴”，它涵蓋了初中階段所學的各種知識，是對學生的知識與能力的全面考查.縱觀中考數學試題中的后幾道大題，很多時候都需要綜合運用各種知識，有時甚至還要用到一些特別的技巧，才能把題目解答出來.而2013年廣東省廣州市中考數學試題第24題就是綜合考查圓、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等幾何圖形的相關知識，還涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質、平行線的性質等.它既考查了學生對知識的綜合運用能力，也考查了學生對問題的分析、轉化和推理能力.借助幾何畫板對這道題進行深入的探究，能進一步挖掘題目的內在本質，從中發現極富趣味的規律，再進一步進行推廣，則能達到“舉一反三”的效果.

一、原題及其解答思路

二、運用幾何畫板對原題進行探究

原題中，C點的運動限制在AB的延長線上，而且C點與B點不重合.現在，作者去掉這兩個條件，改為：C點在AB所在的直線上運動.下面運用幾何畫板對題目進行深入的探究.雖然原題中C點在AB的延長線上運動，D點在圓O上運動，但是CD始終與圓的半徑OA相等，即CD的長度一直保持不變，那么在幾何畫板中，可以畫出以C點為圓心、CD為半徑的圓，而D點則是圓C與圓O的交點；此時，D點的運動隨C點的運動的變化而變化，但是保持CD的長度等于OA的長度，所以，這種做法并不偏離題目的本意.因為原題只是規

圖4定D點在圓O上運動，并沒有規定它一定是在直線AC的上方，那么從圖4中可以看出，在直線AC的下方還有一個點D′，滿足條件CD′=OA，這個點與D點關于直線AC對稱.

1.C點在線段AB由A到B方向的延長線上

從題目的設問中，大家可以發現D點在運動過程中有三個關鍵位置：D點為圓O的切點、D點是CE的中點以及OD與EA平行.

（1）D點為圓O的切點.由原題中的第一小問可知：當OC=22時，CD是圓O的切線.如圖4，由對稱的性質得：CD′也是圓O的切線，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因為兩個圓的半徑相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，則四邊形ODCD′為菱形.在菱形ODCD′中，因為∠OD′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一個正方形.

（2）D點是CE的中點.如圖5，當D點是CE的中點時，DE=CD=OD=OE=OA，則

△OED

為等邊三角形，△OEA、△DOC為等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，則△OEA為等腰直角三角形，△OEC為直角三角形.

根據對稱的性質，D點關于直線AC的對稱點D′也是CE′的中點，則EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一個等邊三角形.

（3）OD與EA平行.如圖6，當OD∥EA時，∠2=∠5，∠1=∠6.又因為OA=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC為等腰三角形，則有：∠1=∠2，∠6=∠7.由這四個等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因為∠5=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因為∠1=∠7，所以△EAD為等腰三角形.

2.C點線段OB上

若C點在線段OB上，此時，CD所在的直線與圓O的交點E在直線AC的下方（如圖7所示）.特別地，當C點與B點重合時，CD所在的直線與圓O的交點為D點、E點.因為OD=CD，所以△DOC為等腰三角形.特別地，當C點與B點重合時，

△DOC為等邊三角形.當C點與O點重合時，圓O和圓C重合.

3.C點在O點的左邊

若C點在O點的左邊，此時，根據對稱的性質，當C點在線段OA上運動時，圖形的變化與2中的情形相類似；當C點在線段AB由B到A方向的延長線上運動時，圖形的變化與1中的情形相類似.

三、對原題進行推廣，得出三個推論

原題中，圓O的半徑為2，現在不考慮其半徑的大小，題干中的其他條件保持不變，然后根據原題的設問由題目中的情形推廣到一般情形.這樣，可以推出以下三個結論.

1.D點為圓O、圓C的切點OC=2OA

如圖4，當D點為圓O的切點時，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已證四邊形ODCD′是一個正方形.正方形ODCD′中，OC為∠DOD′、∠DCD′的平分線，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，則△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，OC=2OA.

當時OC=2OA，因為圓O和圓C的半徑相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此時，CD、CD′為圓O的切線，OD、OD′為圓C的切線.所以，D點、D′點為圓O、圓C的切點.

2.D點為CE的中點OC=3OA

由前文可知：當D點為CE的中點時，△OEC為直角三角形.此時，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：當OD∥EA時，△OED∽△CEO.根據相似三角形的性質，得：EOEC=EDEO，則EC·ED=EO2.

如圖6，EC·ED=EO2可轉化為EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此時，∠5=∠7.又因為△DOC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因為∠EOC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根據同位角相等，得OD∥AE.

參考文獻

鄧繼雄.借“畫板”'之手破中考壓軸[J].中學數學，2013（8）.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint

中考試題是初中知識的“大雜燴”，它涵蓋了初中階段所學的各種知識，是對學生的知識與能力的全面考查.縱觀中考數學試題中的后幾道大題，很多時候都需要綜合運用各種知識，有時甚至還要用到一些特別的技巧，才能把題目解答出來.而2013年廣東省廣州市中考數學試題第24題就是綜合考查圓、等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、梯形等幾何圖形的相關知識，還涉及了勾股定理的逆定理、相似三角形的判定與性質、平行線的性質等.它既考查了學生對知識的綜合運用能力，也考查了學生對問題的分析、轉化和推理能力.借助幾何畫板對這道題進行深入的探究，能進一步挖掘題目的內在本質，從中發現極富趣味的規律，再進一步進行推廣，則能達到“舉一反三”的效果.

一、原題及其解答思路

二、運用幾何畫板對原題進行探究

原題中，C點的運動限制在AB的延長線上，而且C點與B點不重合.現在，作者去掉這兩個條件，改為：C點在AB所在的直線上運動.下面運用幾何畫板對題目進行深入的探究.雖然原題中C點在AB的延長線上運動，D點在圓O上運動，但是CD始終與圓的半徑OA相等，即CD的長度一直保持不變，那么在幾何畫板中，可以畫出以C點為圓心、CD為半徑的圓，而D點則是圓C與圓O的交點；此時，D點的運動隨C點的運動的變化而變化，但是保持CD的長度等于OA的長度，所以，這種做法并不偏離題目的本意.因為原題只是規

圖4定D點在圓O上運動，并沒有規定它一定是在直線AC的上方，那么從圖4中可以看出，在直線AC的下方還有一個點D′，滿足條件CD′=OA，這個點與D點關于直線AC對稱.

1.C點在線段AB由A到B方向的延長線上

從題目的設問中，大家可以發現D點在運動過程中有三個關鍵位置：D點為圓O的切點、D點是CE的中點以及OD與EA平行.

（1）D點為圓O的切點.由原題中的第一小問可知：當OC=22時，CD是圓O的切線.如圖4，由對稱的性質得：CD′也是圓O的切線，且∠OD′C=∠ODC=90°.又因為兩個圓的半徑相等，所以有OD=OD′=CD=CD′，則四邊形ODCD′為菱形.在菱形ODCD′中，因為∠OD′C=∠ODC=90°，所以∠DOD′=∠DCD′=

90°

.所以，菱形ODCD′是一個正方形.

（2）D點是CE的中點.如圖5，當D點是CE的中點時，DE=CD=OD=OE=OA，則

△OED

為等邊三角形，△OEA、△DOC為等腰三角形.所以∠3=∠4=∠5=60°，∠6=∠7=12∠4=30°.所以，∠5+∠6=90°，則△OEA為等腰直角三角形，△OEC為直角三角形.

根據對稱的性質，D點關于直線AC的對稱點D′也是CE′的中點，則EE′=CE=CE′=2CD，所以△CEE′是一個等邊三角形.

（3）OD與EA平行.如圖6，當OD∥EA時，∠2=∠5，∠1=∠6.又因為OA=OE=OD=CD，所以△OEA、△DOC為等腰三角形，則有：∠1=∠2，∠6=∠7.由這四個等式，可得：∠5=∠7，∠1=∠7.因為∠5=∠7，∠3=∠3，所以△OED∽△CEO.又因為∠1=∠7，所以△EAD為等腰三角形.

2.C點線段OB上

若C點在線段OB上，此時，CD所在的直線與圓O的交點E在直線AC的下方（如圖7所示）.特別地，當C點與B點重合時，CD所在的直線與圓O的交點為D點、E點.因為OD=CD，所以△DOC為等腰三角形.特別地，當C點與B點重合時，

△DOC為等邊三角形.當C點與O點重合時，圓O和圓C重合.

3.C點在O點的左邊

若C點在O點的左邊，此時，根據對稱的性質，當C點在線段OA上運動時，圖形的變化與2中的情形相類似；當C點在線段AB由B到A方向的延長線上運動時，圖形的變化與1中的情形相類似.

三、對原題進行推廣，得出三個推論

原題中，圓O的半徑為2，現在不考慮其半徑的大小，題干中的其他條件保持不變，然后根據原題的設問由題目中的情形推廣到一般情形.這樣，可以推出以下三個結論.

1.D點為圓O、圓C的切點OC=2OA

如圖4，當D點為圓O的切點時，∠ODC=∠OD′C=90°.前面已證四邊形ODCD′是一個正方形.正方形ODCD′中，OC為∠DOD′、∠DCD′的平分線，所以，∠DOC=∠D′OC=∠DCO=∠OCD′=45°，則△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，OC=2OA.

當時OC=2OA，因為圓O和圓C的半徑相等，所以有：在△DOC中，OD2+CD2=2CD2=OC2；在△D′OC中，OD′2+CD′2=2CD′2=2CD2=OC2.所以，△DOC、△D′OC為等腰直角三角形，∠ODC=∠OD′C=90°.此時，CD、CD′為圓O的切線，OD、OD′為圓C的切線.所以，D點、D′點為圓O、圓C的切點.

2.D點為CE的中點OC=3OA

由前文可知：當D點為CE的中點時，△OEC為直角三角形.此時，在Rt△OEC中，OC=EC2-OE2=（2OE）2-OE2=3OE=3OA

.

3.OD∥EAEC·ED=EO2

由前文可知：當OD∥EA時，△OED∽△CEO.根據相似三角形的性質，得：EOEC=EDEO，則EC·ED=EO2.

如圖6，EC·ED=EO2可轉化為EOEC=EDEO，所以有△OED∽△CEO.此時，∠5=∠7.又因為△DOC是等腰三角形，所以∠6=∠7.所以∠5=∠6.因為∠EOC是等腰△OEA的外角，且∠EOC=∠5+∠6，所以∠1=∠2=∠5=∠6.所以∠1=∠6.根據同位角相等，得OD∥AE.

參考文獻

鄧繼雄.借“畫板”'之手破中考壓軸[J].中學數學，2013（8）.

（責任編輯 鐘偉芳）endprint