數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中學(xué)生直覺力的培養(yǎng)

覃卓

關(guān)于數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，教師比較一致的看法是：對比能力的培養(yǎng)和基本知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)，能力的培養(yǎng)更為重要，其核心在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，幫助學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和處理問題.

意大利哲學(xué)家、美學(xué)家克羅齊指出，人的知識(shí)來源有兩種：一種是直覺的，一種是邏輯的；前者是“從想象中得來的”，后者是“從理智中得來的”.前蘇聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫說：“沒有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開直覺活動(dòng).”

直覺是直覺力的具體表現(xiàn)，它以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題，是一種能迅速識(shí)別、直接理解和綜合判斷的能力.數(shù)學(xué)家視直覺力為數(shù)學(xué)創(chuàng)造的重要工具，法國著名的數(shù)學(xué)家彭加勒曾經(jīng)指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具.”因此，在數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，強(qiáng)化直覺力的培養(yǎng)尤為重要.狄多涅就告誡學(xué)生：“經(jīng)驗(yàn)證明，要達(dá)到這個(gè)目的（指對所要處理的數(shù)學(xué)對象有一個(gè)‘可靠的直覺），只能通過長期與所要學(xué)習(xí)的教材打交道，并且不斷嘗試從所有可能的角度去了解它……獲得‘直覺的過程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式、表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解提高、深化.”

在數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，就必須培養(yǎng)學(xué)生的直覺力.本文從以下幾個(gè)方面談?wù)剬W(xué)生直覺力的培養(yǎng).

一、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累——培養(yǎng)直覺力的基礎(chǔ)

知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累是直覺力產(chǎn)生的主要因素之一.學(xué)習(xí)者利用頭腦里已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)問題作出預(yù)期的評(píng)估和判斷，這種評(píng)估和判斷往往是解決問題思路的關(guān)鍵和本質(zhì)，也是培養(yǎng)直覺力的基礎(chǔ).

二、數(shù)形結(jié)合——誘發(fā)直覺力的靈感

俗話說：“數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)少入微.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過由形思數(shù)、由數(shù)輔形，借助圖形特征的誘發(fā)直覺力的靈感.

分析：要善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法解題.

三、類比聯(lián)想——培養(yǎng)直覺力的品質(zhì)

類比聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導(dǎo)，類比聯(lián)想主要通過對不同對象的比較，由此及彼，把抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化、生疏的問題熟悉化，從而達(dá)到培養(yǎng)直覺力的品質(zhì).

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：x、y、z成等差數(shù)列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的結(jié)構(gòu)像一元二次方程的判別式，因此猜想可通過構(gòu)造符合題意的一元二次方程來解決.構(gòu)造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判別式為零，可知該方程有兩個(gè)相等的實(shí)根1，由韋達(dá)定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化簡得2y=x+z.

四、強(qiáng)化洞察——培養(yǎng)直覺力的敏銳度

歷史上很多科學(xué)發(fā)現(xiàn)都是科學(xué)家從精心觀察入手，經(jīng)過對事物長期不懈的深入考察后，充分調(diào)動(dòng)大腦中貯存的知識(shí)信息，孕育預(yù)感，催生靈感，悟出科學(xué)真諦.學(xué)生在解題中更少不了洞察，只有洞察才有發(fā)現(xiàn).洞察不是停留在對表象的認(rèn)識(shí)，而是透過表象觸及事物的本質(zhì)、規(guī)律.

【例5】 計(jì)算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此題直接求解頗難，難在不易觀察出題中的數(shù)量關(guān)系：“24=3（32-1）”.若擊破此難點(diǎn)，則易得結(jié)果為32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展開式中的常數(shù)項(xiàng).

分析：常規(guī)方法是將（x+1x+2）6組合為[（x+1x）+2]6，然后展開求解，但過程較繁瑣.若注意到括號(hào)內(nèi)的常數(shù)2=2·x·1x，則有x+1x+2=（x+1）2x.問題轉(zhuǎn)化為求（x+1）12展開式中x6項(xiàng)的系數(shù).結(jié)果為C612.

五、數(shù)學(xué)美感——培養(yǎng)直覺力的源泉

數(shù)學(xué)家彭加勒和阿達(dá)瑪認(rèn)為，數(shù)學(xué)事實(shí)間的最佳組合往往是依靠審美直覺找出的，沒有美感的人，就不可能成為數(shù)學(xué)發(fā)明家.審視和挖掘數(shù)學(xué)美感是直覺力的重要源泉.“簡單”“對稱”“和諧”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美感，給人們以美的享受.“簡單美”“對稱美”“和諧美”“奇異美”可能出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的條件、圖形、結(jié)論或解題過程中，這種美往往能讓人癡迷于其中.若教師在教學(xué)中，能巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)美，適時(shí)點(diǎn)撥，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺力.

【例7】 已知a為實(shí)數(shù)，試解關(guān)于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接從x入手，將難以尋求解題思路.然而，把此題看成關(guān)于a的一元二次不等式，問題便迎刃而解.

解：將原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a為實(shí)數(shù)，且首項(xiàng)系數(shù)為1>0，則有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，試求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：這里的a，b具有對稱性，可猜想當(dāng)a=b=12時(shí)，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：設(shè)a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

顯然，當(dāng)x=0時(shí)，同時(shí)使分子取得最小值25，分母取得最大值4，從而a=b=12時(shí)，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

關(guān)于數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，教師比較一致的看法是：對比能力的培養(yǎng)和基本知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)，能力的培養(yǎng)更為重要，其核心在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，幫助學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和處理問題.

意大利哲學(xué)家、美學(xué)家克羅齊指出，人的知識(shí)來源有兩種：一種是直覺的，一種是邏輯的；前者是“從想象中得來的”，后者是“從理智中得來的”.前蘇聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫說：“沒有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開直覺活動(dòng).”

直覺是直覺力的具體表現(xiàn)，它以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題，是一種能迅速識(shí)別、直接理解和綜合判斷的能力.數(shù)學(xué)家視直覺力為數(shù)學(xué)創(chuàng)造的重要工具，法國著名的數(shù)學(xué)家彭加勒曾經(jīng)指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具.”因此，在數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，強(qiáng)化直覺力的培養(yǎng)尤為重要.狄多涅就告誡學(xué)生：“經(jīng)驗(yàn)證明，要達(dá)到這個(gè)目的（指對所要處理的數(shù)學(xué)對象有一個(gè)‘可靠的直覺），只能通過長期與所要學(xué)習(xí)的教材打交道，并且不斷嘗試從所有可能的角度去了解它……獲得‘直覺的過程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式、表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解提高、深化.”

在數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，就必須培養(yǎng)學(xué)生的直覺力.本文從以下幾個(gè)方面談?wù)剬W(xué)生直覺力的培養(yǎng).

一、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累——培養(yǎng)直覺力的基礎(chǔ)

知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累是直覺力產(chǎn)生的主要因素之一.學(xué)習(xí)者利用頭腦里已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)問題作出預(yù)期的評(píng)估和判斷，這種評(píng)估和判斷往往是解決問題思路的關(guān)鍵和本質(zhì)，也是培養(yǎng)直覺力的基礎(chǔ).

二、數(shù)形結(jié)合——誘發(fā)直覺力的靈感

俗話說：“數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)少入微.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過由形思數(shù)、由數(shù)輔形，借助圖形特征的誘發(fā)直覺力的靈感.

分析：要善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法解題.

三、類比聯(lián)想——培養(yǎng)直覺力的品質(zhì)

類比聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導(dǎo)，類比聯(lián)想主要通過對不同對象的比較，由此及彼，把抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化、生疏的問題熟悉化，從而達(dá)到培養(yǎng)直覺力的品質(zhì).

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：x、y、z成等差數(shù)列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的結(jié)構(gòu)像一元二次方程的判別式，因此猜想可通過構(gòu)造符合題意的一元二次方程來解決.構(gòu)造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判別式為零，可知該方程有兩個(gè)相等的實(shí)根1，由韋達(dá)定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化簡得2y=x+z.

四、強(qiáng)化洞察——培養(yǎng)直覺力的敏銳度

歷史上很多科學(xué)發(fā)現(xiàn)都是科學(xué)家從精心觀察入手，經(jīng)過對事物長期不懈的深入考察后，充分調(diào)動(dòng)大腦中貯存的知識(shí)信息，孕育預(yù)感，催生靈感，悟出科學(xué)真諦.學(xué)生在解題中更少不了洞察，只有洞察才有發(fā)現(xiàn).洞察不是停留在對表象的認(rèn)識(shí)，而是透過表象觸及事物的本質(zhì)、規(guī)律.

【例5】 計(jì)算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此題直接求解頗難，難在不易觀察出題中的數(shù)量關(guān)系：“24=3（32-1）”.若擊破此難點(diǎn)，則易得結(jié)果為32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展開式中的常數(shù)項(xiàng).

分析：常規(guī)方法是將（x+1x+2）6組合為[（x+1x）+2]6，然后展開求解，但過程較繁瑣.若注意到括號(hào)內(nèi)的常數(shù)2=2·x·1x，則有x+1x+2=（x+1）2x.問題轉(zhuǎn)化為求（x+1）12展開式中x6項(xiàng)的系數(shù).結(jié)果為C612.

五、數(shù)學(xué)美感——培養(yǎng)直覺力的源泉

數(shù)學(xué)家彭加勒和阿達(dá)瑪認(rèn)為，數(shù)學(xué)事實(shí)間的最佳組合往往是依靠審美直覺找出的，沒有美感的人，就不可能成為數(shù)學(xué)發(fā)明家.審視和挖掘數(shù)學(xué)美感是直覺力的重要源泉.“簡單”“對稱”“和諧”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美感，給人們以美的享受.“簡單美”“對稱美”“和諧美”“奇異美”可能出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的條件、圖形、結(jié)論或解題過程中，這種美往往能讓人癡迷于其中.若教師在教學(xué)中，能巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)美，適時(shí)點(diǎn)撥，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺力.

【例7】 已知a為實(shí)數(shù)，試解關(guān)于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接從x入手，將難以尋求解題思路.然而，把此題看成關(guān)于a的一元二次不等式，問題便迎刃而解.

解：將原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a為實(shí)數(shù)，且首項(xiàng)系數(shù)為1>0，則有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，試求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：這里的a，b具有對稱性，可猜想當(dāng)a=b=12時(shí)，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：設(shè)a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

顯然，當(dāng)x=0時(shí)，同時(shí)使分子取得最小值25，分母取得最大值4，從而a=b=12時(shí)，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

關(guān)于數(shù)學(xué)素質(zhì)教育，教師比較一致的看法是：對比能力的培養(yǎng)和基本知識(shí)、技能的學(xué)習(xí)，能力的培養(yǎng)更為重要，其核心在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維，幫助學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界和處理問題.

意大利哲學(xué)家、美學(xué)家克羅齊指出，人的知識(shí)來源有兩種：一種是直覺的，一種是邏輯的；前者是“從想象中得來的”，后者是“從理智中得來的”.前蘇聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫說：“沒有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開直覺活動(dòng).”

直覺是直覺力的具體表現(xiàn)，它以高度省略、簡化、濃縮的方式洞察問題，是一種能迅速識(shí)別、直接理解和綜合判斷的能力.數(shù)學(xué)家視直覺力為數(shù)學(xué)創(chuàng)造的重要工具，法國著名的數(shù)學(xué)家彭加勒曾經(jīng)指出：“邏輯是證明的工具，直覺是發(fā)明的工具.”因此，在數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，強(qiáng)化直覺力的培養(yǎng)尤為重要.狄多涅就告誡學(xué)生：“經(jīng)驗(yàn)證明，要達(dá)到這個(gè)目的（指對所要處理的數(shù)學(xué)對象有一個(gè)‘可靠的直覺），只能通過長期與所要學(xué)習(xí)的教材打交道，并且不斷嘗試從所有可能的角度去了解它……獲得‘直覺的過程，必須經(jīng)歷一個(gè)純形式、表面理解的時(shí)期，然后逐步將理解提高、深化.”

在數(shù)學(xué)素質(zhì)教育中，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，就必須培養(yǎng)學(xué)生的直覺力.本文從以下幾個(gè)方面談?wù)剬W(xué)生直覺力的培養(yǎng).

一、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累——培養(yǎng)直覺力的基礎(chǔ)

知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累是直覺力產(chǎn)生的主要因素之一.學(xué)習(xí)者利用頭腦里已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)問題作出預(yù)期的評(píng)估和判斷，這種評(píng)估和判斷往往是解決問題思路的關(guān)鍵和本質(zhì)，也是培養(yǎng)直覺力的基礎(chǔ).

二、數(shù)形結(jié)合——誘發(fā)直覺力的靈感

俗話說：“數(shù)離形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)少入微.”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過由形思數(shù)、由數(shù)輔形，借助圖形特征的誘發(fā)直覺力的靈感.

分析：要善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法解題.

三、類比聯(lián)想——培養(yǎng)直覺力的品質(zhì)

類比聯(lián)想是產(chǎn)生直覺的先導(dǎo)，類比聯(lián)想主要通過對不同對象的比較，由此及彼，把抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化、生疏的問題熟悉化，從而達(dá)到培養(yǎng)直覺力的品質(zhì).

【例4】 若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明：x、y、z成等差數(shù)列.

分析：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0的結(jié)構(gòu)像一元二次方程的判別式，因此猜想可通過構(gòu)造符合題意的一元二次方程來解決.構(gòu)造方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，

由此方程的判別式為零，可知該方程有兩個(gè)相等的實(shí)根1，由韋達(dá)定理可知

1+1=-（z-x）x-y，化簡得2y=x+z.

四、強(qiáng)化洞察——培養(yǎng)直覺力的敏銳度

歷史上很多科學(xué)發(fā)現(xiàn)都是科學(xué)家從精心觀察入手，經(jīng)過對事物長期不懈的深入考察后，充分調(diào)動(dòng)大腦中貯存的知識(shí)信息，孕育預(yù)感，催生靈感，悟出科學(xué)真諦.學(xué)生在解題中更少不了洞察，只有洞察才有發(fā)現(xiàn).洞察不是停留在對表象的認(rèn)識(shí)，而是透過表象觸及事物的本質(zhì)、規(guī)律.

【例5】 計(jì)算：24×（32+1）×（34+1）×（38+1）×…×（32n+1）+3.

分析：此題直接求解頗難，難在不易觀察出題中的數(shù)量關(guān)系：“24=3（32-1）”.若擊破此難點(diǎn)，則易得結(jié)果為32n+1+1.

【例6】 求（x+1x+2）6展開式中的常數(shù)項(xiàng).

分析：常規(guī)方法是將（x+1x+2）6組合為[（x+1x）+2]6，然后展開求解，但過程較繁瑣.若注意到括號(hào)內(nèi)的常數(shù)2=2·x·1x，則有x+1x+2=（x+1）2x.問題轉(zhuǎn)化為求（x+1）12展開式中x6項(xiàng)的系數(shù).結(jié)果為C612.

五、數(shù)學(xué)美感——培養(yǎng)直覺力的源泉

數(shù)學(xué)家彭加勒和阿達(dá)瑪認(rèn)為，數(shù)學(xué)事實(shí)間的最佳組合往往是依靠審美直覺找出的，沒有美感的人，就不可能成為數(shù)學(xué)發(fā)明家.審視和挖掘數(shù)學(xué)美感是直覺力的重要源泉.“簡單”“對稱”“和諧”體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美感，給人們以美的享受.“簡單美”“對稱美”“和諧美”“奇異美”可能出現(xiàn)在數(shù)學(xué)的條件、圖形、結(jié)論或解題過程中，這種美往往能讓人癡迷于其中.若教師在教學(xué)中，能巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)美，適時(shí)點(diǎn)撥，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺力.

【例7】 已知a為實(shí)數(shù)，試解關(guān)于x的四次不等式：x4-2ax2+a2+2a-3>0.

分析：若直接從x入手，將難以尋求解題思路.然而，把此題看成關(guān)于a的一元二次不等式，問題便迎刃而解.

解：將原不等式整理得a2+2（1-x2）a+x4-3>0.

∵a為實(shí)數(shù)，且首項(xiàng)系數(shù)為1>0，則有Δ=[2（1-x2）]2-4（x4-3）<0，

解得x2>2.故x<-2或x>2.

【例8】 已知a>0，b>0，且a+b=1，試求（a+1a）（b+1b）的最小值.

分析：這里的a，b具有對稱性，可猜想當(dāng)a=b=12時(shí)，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

解：設(shè)a=12+x，b=12-x，-12

得（a+1a）（b+1b）=25+24x2+16x44-16x2.

顯然，當(dāng)x=0時(shí)，同時(shí)使分子取得最小值25，分母取得最大值4，從而a=b=12時(shí)，（a+1a）（b+1b）取得最小值254.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）