多自由度非線性振動的迭代配點法研究

姜劍，王兆清，莊美玲

（山東建筑大學(xué)力學(xué)研究所，山東 濟(jì)南250101）

0 引言

過去幾十年，多自由度系統(tǒng)的振動得到了廣泛的研究。Moochhala和 Raynor采用近似方法（Approximatemethod）分析了不規(guī)則物體的多自由度振動［1］，Huang研究了雙自由度非線性系統(tǒng)的諧波振蕩［2］，Gilchrist分析了雙自由度保守擬線性系統(tǒng)的自由振蕩［3］。雙自由度系統(tǒng)的振動在物理工程和許多實際工程中都有著非常重要的運用。例如雙彈簧支撐的彈性梁、銑床的振動都可以采用雙自由度系統(tǒng)振動模型分析研究［4］。雙自由度非線性振動系統(tǒng)可歸結(jié)為兩個非線性微分方程，很多情況下，求解非線性方程組的準(zhǔn)確解析解是極其困難甚至不可能。因此，求解非線性方程大體上有兩類辦法，近似解析解法和數(shù)值方法。近似解析解法運用最廣泛的是攝動方法，該方法不適用于求解強非線性方程并且運用時還有其他很多弱點。許多文獻(xiàn)研究了攝動法的改進(jìn)方法。比如同倫攝動法、max-min approach method［5－6］。Ladygina等 采用多 尺度法（multiscalemethod）分析了雙自由度保守系統(tǒng)的非線性振動和它的自振頻率［7］。Cveticanin同時采用雅可比橢圓函數(shù)和三角函數(shù)得到了一個雙自由度非線性系統(tǒng)振動的解析解［8－9］。數(shù)值方法中，Chen采用廣義伽遼金方法分析了雙自由度非線性振動問題［10］。Al-Karak運用拉普拉斯分解法求解了非線性微分方程問題［11］。

配點法求解線性微分方程初值問題，可以一次性得到計算節(jié)點處的函數(shù)值，是一種高效率的計算方法［12］。Rashidinia采用配點法求解了非線性問題［13］。依據(jù)未知函數(shù)近似方法的不同，配點法主要有基于特征多項式插值的擬譜方法、基于Lagrange插值的微分求積法、基于重心Lagrange插值的重心插值配點法和基于有理Haar函數(shù)插值的配點法等［14－17］。擬譜方法是一種高精度數(shù)值方法，其具有指數(shù)收斂精度［14］。基于重心Lagrange插值的配點法在求解微分方程邊值問題和初值問題時，具有很高的計算精度［16，18］。

直接采用配點法離散非線性微分方程，得到非線性代數(shù)方程，通常采用Newton法求解非線性代數(shù)方程。本文先假設(shè)未知函數(shù)的初始值，將非線性微分方程組線性化，運用重心有理插值配點法求解線性化的微分方程初值問題，再迭代逼近求解非線性微分方程的數(shù)值解。將通過算例詳細(xì)介紹本文求解多自由度非線性振動方法的高效和高精度性。

1 重心有理插值配點法

1.1 重心有理插值及其微分矩陣

對于給定的插值節(jié)點0＝t1＜t2＜… ＜tn＝T和相應(yīng)的函數(shù)值 fj＝f（tj），j＝1，2，…，n，選擇任意的整數(shù)d滿足0≤d≤n，重心有理插值可由式（1）表示為

函數(shù)f（t）的m階導(dǎo)數(shù)可由式（3）表示為

函數(shù)f（t）在節(jié)點t1，t2，…，tn處的m階導(dǎo)數(shù)可由式（4）表示為

用矩陣的形式（5）表示為

1.2 多自由度系統(tǒng)線性振動控制方程的離散公式

雙自由度耦合系統(tǒng)線性振動控制方程一般由式（6）表示為

式中：x、y分別為線性系統(tǒng)振動的物理量；t為時間。

將時間區(qū)域［0，T］離散為0＝t1＜t2＜… ＜tn＝T，運用重心有理插值近似未知函數(shù)可由式（7）得

將式代入方程式，利用微分矩陣，并令方程在離散時間點 t1，t2，…，tn上成立，方程式用矩陣的形式（8）表示為

式中：D（2）為重心有理插值在時間節(jié)點 t1，t2，…，tn上的二階微分矩陣；I為 n階單位矩陣；k1、k2、k3、k4為常 數(shù)；x、y、f1、f2分 別 為 函 數(shù) x（t）、y（t）、f1（t）、f2（t）在時間節(jié)點0＝t1，t2，…，tn＝T上函數(shù)值構(gòu)成的列向量。

初始條件x（0）＝A、˙x（0）＝B、y（0）＝M，˙y（0）＝N，其中，A、B、M、N為常數(shù)，采用重心有理插值配點法將初始條件離散由式（9）表示為

定義兩個索引符號，其中 eni（i＝1，2，…，n）表示 n階單位矩陣 I的第 i行向量；dni（i＝1，2，…，n）表示n階微分矩陣D（n）第i行向量，初始條件可以寫成矩陣的形式由式（10）表示為

采用附加法施加初始條件式到式中，可求解代數(shù)方程式（11），得到線性振動控制方程數(shù)值解

2 多自由度非線性系統(tǒng)的線性化迭代法

由于非線性公式千差萬別，文章以具體的算例來說明多自由度非線性耦合系統(tǒng)的線性化迭代法的運用過程。采用控制方程在離散節(jié)點上的數(shù)值解同解析解差的最大值Ea‖uc－ue‖∞＝maxi｜uc－ue｜說明方法的計算精度，uc是數(shù)值解，ue是解析解。

算例1：如圖1所示，k1為彈簧的剛度，k2為非線性彈簧的剛度，m為物體質(zhì)量。該系統(tǒng)控制方程式（12）為［6］

給定初始條件由式（13）表示為

圖1 由非線性彈簧連接的兩個小車圖

方程中含有立方非線性項，假定未知函數(shù)的一組初始解，，代入方程組中的非線性項，得到方程的線性化方程式（14）表示為

在給定的時間節(jié)點上 t＝［t1，t2，…，tn］T，采用重心有理插值配點法離散方程，可以得到方程的迭代式（15）為

采用附加法施加初始條件式（13）到式（15），求解方程得到修正值xk，yk。給定控制精度ε，如果‖xk－xk－1‖∞＜ε且‖yk－yk－1‖∞＜ε，則xk和yk為非線性微分方程組的數(shù)值解，否則計算xk－1和yk－1直至數(shù)值解滿足控制精度或達(dá)到設(shè)置的最大迭代次數(shù)為止。

3 數(shù)值算例

算例1的耦合系統(tǒng)參數(shù)為m＝1 kg，k1＝k2＝1 N／m，時間區(qū)域取［0，3］，時間節(jié)點t＝［t1，t2，…，tn］T分別采用等距節(jié)點和第二類Chebyshe點［18］。算例1解析解為［9］

式中，cn為雅可比橢圓函數(shù)，60個節(jié)點重心有理插值迭代配點法計算解與解析解比較如圖2所示。時間節(jié)點數(shù)量與數(shù)值解誤差Ea＝maxi｜ue－ue｜和迭代次數(shù)的關(guān)系見表1。可以看出，采用較少數(shù)量節(jié)點，即可達(dá)到很高的計算精度。

表1 算例1重心有理插值迭代配點法計算精度

算例2 如圖3所示，k1為線性彈簧剛度，k2、k3為非線性彈簧剛度。該系統(tǒng)控制方程式（18）為［6］

給定初始條件由式（19）表示為

圖2 算例1重心有理插值迭代配點法與解析解計算結(jié)果圖

圖3 雙自由度耦合系統(tǒng)圖

耦合系統(tǒng)參數(shù)為m＝1 kg，k1＝k2＝k3＝1 N／m，時間區(qū)域取［0，3］，時間節(jié)點 t＝［t1，t2，…，tn］T采用等距節(jié)點和第二類 Chebyshe點［18］。算例解析解為［8］

其中，時間節(jié)點數(shù)量與數(shù)值解誤差 Ea＝maxi｜uc－ue｜和迭代次數(shù)的關(guān)系見表2。

表2 算例2重心有理插值迭代配點法計算精度

4 結(jié)論

通過本研究可知：

（1）數(shù)值算例表明，重心有理插值迭代配點法求解多自由度系統(tǒng)非線性振動問題時具有非常高的計算精度，可快速得到時間節(jié)點處的高精度數(shù)值解。當(dāng)處理大量節(jié)點尤其是等距節(jié)點時，有理插值仍能保持應(yīng)有的計算穩(wěn)定性。采用Lagrange多項式插值確定未知函數(shù)時，當(dāng)節(jié)點數(shù)量很大時，計算矩陣接近奇異，因此，Lagrange多項式計算時不能采用數(shù)量較多的計算節(jié)點，限制了其計算精度的提高。

（2）在求解大跨度時間問題時，可以將求解區(qū)間分割為若干子區(qū)間，在每個子區(qū)間上采用重心有理迭代配點法計算，將前一區(qū)間末的函數(shù)值，作為下一區(qū)間計算的初始值，依次計算得到整個區(qū)間上節(jié)點的數(shù)值解。

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