關注位置關系留意軌跡方程——通過近幾年高考案例談直線與圓的方程的學習

2015-01-09 06:05:06林潔

科技視界 2015年5期

林潔

（山東體育學院體育運動學校，山東濟南 250012）

直線方程是解析幾何的基礎知識之一，是高考重點考查的內容，主要考查直線的傾斜角、斜率、直線方程、兩條直線的位置關系、點到直線的距離以及對稱問題；圓是高考的熱點，也是重點考查的內容，主要考查圓的方程、直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系以及圓的幾何性質。直線與圓一般在試題中的難度為中等或偏易，主要以選擇題、填空題形式出現，偶爾也會出現在解答題，多與圓錐、曲線綜合在一起考查。從近幾年的高考來看，主要以以下幾種形式考查直線與圓的方程：

【問題1】：關于直線對稱的問題

【例1】（高考，浙江理3）直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線方程是（）

【答案】：D

【解析】：解法一(利用相關點法)設所求直線上任一點(x,y),則它關于x=1對稱點為(2-x,y)，它在直線x-2y+1=0上,∴2-x-2y+1=0化簡得x+2y-3=0，故選 D.

解法二：根據直線x-2y+1=0關于直線x=1對稱的直線斜率是互為相反數得答案A或D,再根據兩直線交點在直線x=1，選答案D.

【例 2】（高考，上海文 13）圓 x2+y2-2x-1=0 關于直線 2x－y+3=0 對稱的圓的方程是（）

【答案】C

【解析】圓 x2+y2-2x-1=0?（x-1）2+y2=2，圓心（1，0），半徑，關于直線2x－y+3=0對稱的圓半徑不變，排除A、B，兩圓圓心連線段的中點在直線 2x－y+3=0 上，C 中圓（x+3）2+（y-2）2=2 的圓心為（-3，2），驗證適合，故選C.

【評述】直線關于點的對稱直線，直線關于直線的對稱直線等，其實質是點關于直線的對稱問題，轉化為垂直與平分來處理.在例1中解法1是運用一般的點，然后用代入法求解，也可以運用特殊點法來求解，即在已知直線上找一個或兩個特殊點，求出這兩個特殊點的對稱點，利用兩點式寫出直線方程；解法2側重數形結合，這是解選擇、填空天常用的方法.

例2中圓的對稱問題，實質上轉化為圓心關于直線的對稱問題來處理，這體現了轉化的思想.

【問題2】判斷兩直線的位置關系

【例 3】（高考，上海理 2）已知 l1：2x＋my+1=0 與 l2：y=3x-1，若兩直線平行，則m的值為 .

【評述】：當兩條直線 l1、l2的方程分別為 y＝k1x＋b1和 y＝k2x＋b2（即它們的斜率都存在時），可由k1，k2之間的具體值來判斷它們的位置關系；當 l1、l2的方程分別為 A1x＋B1y＋C1=0 和 A2x＋B2y＋C2=0 時，可由 l1⊥l2?A1A2+B1B2=0來判斷它們是否垂直.

【問題3】圓的方程的求法

根據已知條件先確定采用標準方程還是一般方程，然后求出相應的參數，即采用待定系數法.

【例 4】（高考，湖南文理 11）圓心為（1，1）且與直線 x＋y=4 相切的圓的方程是 .

【答案】（x-1）2+（y-1）2=2.

【評述】：求圓的方程時，如果涉及圓心、半徑或切線時，一般設圓的方程的標準式；如果涉及圓過幾個點，一般設圓的方程的一般式.

【問題4】直線與圓、圓與圓的位置關系

利用它們的方程聯立的方程組的解的情況（稱為代數法）或利用圓心到直線的距離、圓心與圓心的距離與半徑的大小關系（稱之為幾何法）來求解.

【例 5】（江西理 16）設有一組圓Ck：（x－k+1）2+（y-3k）2=2k4（k∈N*）.下列四個命題：

A.存在一條定直線與所有的圓均相切 B.存在一條定直線與所有的圓均相交

C.存在一條定直線與所有的圓均不·相交 D.所有的圓均不·經過原點

其中真命題的代號是 .（寫出所有真命題的代號）

【答案】B、D