一根彈簧“彈出”的思維變通性

寧鵬程

彈簧的彈力是動態(tài)變化的，總是給人一種“捉摸不定”的感覺，由此也使得彈簧與其相連接的物體所構(gòu)成系統(tǒng)的運動狀態(tài)具有較強的綜合性和隱蔽性，解題時涉及較多的物理概念和物理規(guī)律。本文將首先以有關(guān)彈簧的一道典型題為母題進行剖析，在此基礎(chǔ)上做適當改變，創(chuàng)設(shè)新的物理情景，并加以分析，達到做一題通一類的目的，進而幫助大家培養(yǎng)思維的變通性，在今后碰到類似問題時能做到觸類旁通。

母題：如圖1所示，一輕質(zhì)彈簧的下端固定在水平面上，上端放置一物體（物體與彈簧不連接），初始時物體處于靜止狀態(tài)。現(xiàn)用豎直向上的拉力F作用在物體上，使物體開始向上做勻加速運動，拉力F與物體的位移x的關(guān)系如圖2所示（g取10 m/s2），則正確的結(jié)論是（ ）

A.物體與彈簧分離時，彈簧處于壓縮狀態(tài)

B.彈簧的勁度系數(shù)為7.5 N/cm

C.物體的質(zhì)量為3 kg

D.物體的加速度為5 m/s2

分析：讀圖并對關(guān)鍵節(jié)點進行分析。初始時物體處于靜止狀態(tài)，重力和彈力二力平衡；當拉力為10 N時，彈簧彈力和重力平衡，合力等于拉力，彈簧壓縮量為4 cm；此后物體勻加速上升，從圖象可以看出，物體與彈簧分離后，拉力F為30 N。根據(jù)以上條件列式即可。

解析：物體與彈簧分離時，物體與彈簧間的彈力剛好為零，彈簧恢復(fù)原長，選項A錯誤。

設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，初始時物體處于靜止狀態(tài)，設(shè)此時彈簧的壓縮量為x1，物體受力平衡，有：kx1=mg。由圖2可知，x1=4cm。

現(xiàn)用豎直向上的拉力F作用在物體上，設(shè)物體做勻加速運動的加速度為a。由圖2，當拉力F1=10 N時，彈簧彈力與重力仍平衡，合力等于拉力，由牛頓第二定律得：F1-mg+kx1=ma，即F1=ma。當物體與彈簧分離時，拉力F2=30 N，由牛頓第二定律得：F2-mg=ma。

聯(lián)立以上各式，求得：k=5 N/cm，m=2 kg，a=5 m/s2。所以選項B、C錯誤，選項D正確。

答案：D

【規(guī)律總結(jié)】本題的關(guān)鍵點是根據(jù)題意并結(jié)合圖象，寫出關(guān)鍵節(jié)點所對應(yīng)的數(shù)學表達式，從而破題。此外，對彈簧類問題，要注意利用彈簧的特性解題，如：“輕彈簧的彈力在瞬間不會發(fā)生變化”“物體與彈簧剛好分離時，即物體和彈簧間的彈力剛好為零”等結(jié)論。

拓展一：如圖3所示，質(zhì)量均為m的A、B兩物體疊放在豎直輕質(zhì)彈簧上并保持靜止。用大小等于mg的恒力F向上拉B，當運

動距離為h時B與A恰好分離。則下列說法正確的是（ ）

A.B和A剛分離時，彈簧為原長

B.彈簧的勁度系數(shù)等于

C.從開始運動到B和A剛分離的過程中，A、B系統(tǒng)的機械能增加

D.從開始運動到B和A剛分離的過程中，A物體的機械能一直增大，但速度是先增加后減小

分析：和母題不同，本題是兩個物體疊放在彈簧上，增加了問題情境的復(fù)雜程度，但拉力是恒力，從這一個角度來看，問題又是簡單化了。因此，基本分析方法不變，但是要注意細節(jié)的變化。

解析：設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k。當質(zhì)量均為m的A、B兩物體疊放在豎直輕質(zhì)彈簧上并保持靜止時，設(shè)此時彈簧的壓縮量為x1，對A、B整體得：kx1= 2 mg。

用大小等于mg的恒力F向上拉B，當運動距

離為h時B與A恰好分離，則此時A、B兩物體間的彈力剛好為零。此時它們?nèi)跃哂泄餐募铀俣龋O(shè)為a1，彈簧的壓縮量為x2。對A由牛頓第二定律得：mg-kx2=ma1；對B由牛頓第二定律得：mg-F=ma1；由幾何

關(guān)系得：h = x1-x2。由此解得k= ，x2== 。所

以B與A恰好分離時彈簧還處在壓縮狀態(tài)。所以選項A錯誤，選項B正確。

由于從B和A開始運動到B和A剛分離的過程中，彈簧的壓縮量始終在減小，因此這個過程中，B和A一起先向上做加速度減小的加速運動，接著做加速度增大的減速運動，它們的速度是先增加后減小。從上面的分析可得：B和A開始運動時，它們的加速度方向向上，B和A剛分離時它們的加速度方向向下。

設(shè)當它們的加速度方向向上的某一時刻彈簧的壓縮量為x3，此時B和A的共同加速度為a2，對B和A利用牛頓第二定律得：F+kx3-2mg=2ma2。

設(shè)當它們的加速度方向向下的某一時刻彈簧的壓縮量為x4，此時B和A的共同加速度為a3，對B和A利用牛頓第二定律得：2mg-F-kx4=2ma3。

從B和A開始運動到B和A剛分離的過程中，彈簧的彈性勢能減少量和恒力F做正功的代數(shù)和等于B和A的總機械能的增加量，即：ΔEp+WF=ΔEA+ΔEB。由于B和A的運動情況完全相同，因此A物體的機械能一直增大，選項D正確。

由于ΔEp+WF=ΔEA+ΔEB=ΔEp+mgh，因此從

開始運動到B和A剛分離的過程中，A、B系統(tǒng)的機械能增加量大于 ，選項C錯誤。

答案：BD

【規(guī)律總結(jié)】題中兩個物體“恰好分開”既可以認為已經(jīng)分開，也可以認為還未分開。認為已分開，那么這兩個物體間的彈力必然為零；認為未分開，那么這兩個物體的速度、加速度必然相等。因此兩個物體“恰好分開”，就意味著：（1）接觸；（2）共同的速度和加速度；（3）彈力為零。同時利用這3個結(jié)論，就能分析出當時彈簧所處的狀態(tài)。

和母題不同的是，本題中是兩個物體“恰好分開”，而不是物體與彈簧分離。這里有個結(jié)論，那就是：如果僅靠彈簧彈力將兩物體彈出，那么這兩個物體必然是在彈簧恢復(fù)原長時分開的；如果除了彈簧彈力，還有其他外力作用而使相互接觸的兩物體分離，那么這兩個物體分離時彈簧不一定是原長。

拓展二：如圖4所示，豎直放置在水平面上的輕彈簧上疊放著兩個物塊A、B，它們的質(zhì)量都是2 kg，都處于靜止狀態(tài)。若突然將一個大小為10 N的豎直向下的壓力加在A上，在此瞬間，A對B的壓力大小為（g取10 m/s2）（ ）

A.30 N B.25 N

C.20 N D.15 N

分析：本題將恒力F的方向改成豎直向下，此時宜先用整體法，后用隔離法。

解析：設(shè)兩個物塊A、B的質(zhì)量都為m，當兩個物塊A、B都處于靜止狀態(tài)時，設(shè)輕彈簧對B的彈力為FB。對A和B整體得：FB=2 mg。

由于彈簧的形變不能在瞬間恢復(fù)，因此彈簧的彈力在瞬間不發(fā)生變化。

若突然將一個大小為10 N的豎直向下的壓力加在A上，在此瞬間，對A和B整體由牛頓第二定律得：F-FB+2 mg= 2 ma。

對A由牛頓第二定律得：F-NBA+mg= ma。

解得：NBA= 25 N。

由牛頓第三定律得：A對B的壓力大小 NAB=NBA= 25 N。

答案：B

【規(guī)律總結(jié)】由于彈簧的形變不能在瞬間恢復(fù)，因此彈簧的彈力在瞬間不發(fā)生變化，但B和A之間的彈力會發(fā)生突然變化，同學們在做此類題時要特別注意這一點。

拓展三：如圖5所示，一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧，上端固定，下端連著一質(zhì)量為m的物塊A，A放在托盤B上，初始時全都靜止，彈簧處于自然長度。現(xiàn)設(shè)法控制B的運動，使A勻加速下降。用x表示彈簧伸長量，用a表示A的加速度，重力加速度為g，則在能保持A勻加速下降的整個過程中（始終在彈簧彈性限度內(nèi)），下列說法正確的有（ ）

A.B對A的作用力隨彈簧伸長量x線性遞增

B.若a= ，則彈簧最大形變量為

C.B對A的最大作用力為m（g+a）

D.物塊A的重力勢能減少了 （g-a）

分析：由題意可知，A的加速度不變，因此在求解本題時，要以A為研究對象，對A進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列方程求解。

解析：在保持A勻加速下降的整個過程中，對A由牛頓第二定律得：mg-kx-NBA= ma，所以B對A的作用力隨彈簧伸長量x線性遞減，選項A錯誤。

由于A的加速度恒定，mg-ma= kx+NBA，因此x增大，NBA減小。當NBA= 0時，x有最大值xm=。

若a= ，則彈簧最大形變量為xm= = ，選

項B正確。

當x = 0時， NBA有最大值NBAm= m（g-a），選項C錯誤。

由于物塊A的重力勢能減少了多少，重力就對物塊A做多少正功，因此物塊A的重力勢能減少了mgxm =

，選項D錯誤。

答案：B

拓展四：如圖6所示，質(zhì)量均為m的物體A、B通過一勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，開始時B放在地面上，A、B都處于靜止狀態(tài)。現(xiàn)用手通過細繩緩慢地將A向上提升距離L1時，B剛要離開地面，此過程手做功W1，手做功的平均功率為P1；若將A加速向上拉起，A上升的距離為L2時，B剛要離開地面，此過程手做功W2，手做功的平均功率為P2。假設(shè)彈簧一直在彈性限度范圍內(nèi)，則 （ ）

A.L2 = L1 = B.L2 > L1 =

C.W2 >W1 D.P2 > P1

分析：把兩個物體分別放在輕彈簧的上面和下面，B剛要離開地面時，B仍然和地面接觸但無擠壓，地面對B的彈力為零。

解析：開始時A處于靜止狀態(tài)，設(shè)此時彈簧的壓縮量為x1，對A得：kx1 = mg①

B剛要離開地面，設(shè)此時彈簧的伸長量為x2，對B得：kx2 = mg②

當用手通過細繩緩慢地將A向上提升距離L1時，B剛要離開地面，此過程A的運動時間為t1。有：L1 = x1+ x2③

由功能關(guān)系得：此過程手做功W1等于A的重力勢能的增加量和彈簧的彈性勢能增加量之和，設(shè)彈簧的彈性勢能增加量為ΔEp1。即：W1 = mgL1+ΔEp1④

當將A加速向上拉起，A上升的距離為L2時，B剛要離開地面，此過程A的運動時間為t2，A的末速度為v。有：L2 = x1+ x2⑤

由功能關(guān)系得：此過程手做功W2等于A的機械能的增加量和彈簧的彈性勢能增加量之和，設(shè)彈簧的彈性勢能增加量為ΔEP2。即：W2 = mgL2+ mv2 + ΔEp2 ⑥

由①②③⑤得：L2 = L1 = ⑦

所以選項A錯誤，選項B錯誤。

由于彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量有關(guān)，所以ΔEp1 =ΔEp2⑧

由④⑥⑧得：W2 > W1⑨ 所以選項C正確。

由題意得：t2 < t1⑩

又由于P1=和P2=，因此P2 > P1，選項D

正確。

答案：CD

【規(guī)律總結(jié)】含輕彈簧類的典型問題中，彈簧可能處于原長，也可能處于伸長狀態(tài)，還可能處于壓縮狀態(tài)，因此此類題有利于考查同學們思維的變通性。同時典型的物理試題是高考命題的源泉，我們在平時的復(fù)習備考中要特別關(guān)注它們，深入地分析和研究它們，這樣可以很好地幫助我們提高分析物理問題和解決物理問題的能力。