垂直均布荷載矩形基礎地基任意點附加應力系數公式推導

石中平

（西安中交公路巖土工程有限責任公司，西安710075）

1 集中荷載附加應力公式

1885年，法國學者J.Boussinesq用彈性理論導出了半空間彈性體表面作用豎向集中力p時，在彈性體內任意點引起的全部6應力（σx，σy，σz，τxy，τyz，τxz）及全部3位移（ux，uy，uz）。在6個應力分量中有3個法向應力分量、3個剪應力分量。其中，對建筑工程地基沉降計算直接關聯的是豎向法向應力分量σz（即附加應力）［1］，其公式如下

式中：x、y、z為計算點的坐標。

該式是推導地基附加應力系數公式的基礎。

2 均布荷載矩形基礎地基任意點附加應力系數公式

需要說明的是，由于推導過程繁瑣、排版困難，本文僅給出一些必要的提示性步驟。

設坐標原點取在矩形基礎任意角點處，矩形基礎長度和寬度分別為l、b，并作用均布荷載p。在矩形基礎中任意點（ξ，ζ）取一微面積dA＝dξ×dζ，此微面積上的作用力為dp＝pdA＝pdξ×dζ，并視其為集中力。在矩形基礎以外任取一點（x，y），代入（1）式得微荷載dp＝pdξ×dζ作用下地基任意點（x，y）的微附加應力為

整個矩形基礎均布荷載在該任意點（x，y）的附加應力即為對上式微附加應力的重積分

令X＝x－ξ、Y＝y－ζ，則dX＝－dξ、dY＝－dζ。代入上式得

此式與矩形基礎均布荷載角點下地基附加應力公式相似，只是積分區間不同而已。

令＝X2＋z2，則上式變為

令Y＝aXtant，則dY＝aXsec2tdt，代人（3）式并整理得

令X＝ztant，則dX＝zsec2tdt，代入上式整理后得

令η＝sint，則dη＝costdt，cos2t＝1－η2，代入上式整理后得

（4）式積分項可分解成如下4個積分

效仿上述過程，（4-1）式積分第2項變為

將（4-1-1）、（4-1-2）代入（4-1）式并簡化整理后得

效仿上述過程，（4-2）式中積分第1項變為

（4-2）式中積分第2項變為

將（4-2-1）、（4-2-2）代入（4-2）式并簡化整理得

效仿上述過程，（4-3）式中第2項積分變為

將（4-3-1）、（4-3-2）代入（4-3）式并化簡整理得

效仿上述過程，（4-4）式中第1項積分變為

（4-4）式中第2項積分變為

將（4-4-1）、（4-4-2）代入（4-4）式并化簡整理得

將（4-1′）、（4-2′）、（4-3′）、（4-4′）代入（4）式整理后即得矩形基礎均布荷載下地基任意點附加應力公式

上述推導過程中，（2）式是先對y后對x的積分順序。當然也可以采用先對x后對y的積分順序，即如下積分形式

以下步驟與上述完全相同，不再列出，只要將上述公式中的（x－l）、（y－b）及x、y依次變為（yb）、（x－l）及y、x即可，公式如下

令

或

（7）、（8）式均為垂直荷載作用下矩形基礎地基任意點附加應力系數公式。不難發現，2個式子中反正弦三角函數形式是完全一樣的。將2個式子等號兩側對應項兩兩相加并整理后得到以下第3種垂直荷載作用下矩形基礎地基任意點附加應力系數的公式

（7）、（8）、（9）式均為垂直荷載作用下矩形基礎地基任意點附加應力系數計算公式，而（9）式是（7）、（8）式的綜合，更具一般性。為了與有關書籍或規范中以反正切三角函數表示的附加應力系數計算公式對比，以（9）式為例將其轉換為反正切三角函數形式。

由三角關系得

將（9-1）—（9-4）式帶入（9）式即得以反正切三角函數表示的附加應力系數計算公式

3 公式驗證

以下僅以（10）式為例，分別推求了一些特殊點，如角點、中點、長邊中點及基礎以外2l×2b區域角點4種具體情況下的計算公式，并對角點公式進行了對比。

3.1 特殊點下附加應力系數計算公式

3.1.1 角點

當x＝0、y＝0，x＝l、y＝0，x＝0、y＝b，x＝l、y＝b時，計算點位于4個角點正下方。分別將上述4種組合代入（10）式可得下列4個公式。需要注意的是，在將含有0的（x，y）代入（10）式時會出現分母為0的分式，此時，只要這些分式不參與計算，即作為0處理即可。至于為何會出現分母為0的分式，這是由于在積分推導過程中這些分式分母均以代數形式給出，并一直沿襲到最后的結果。

可見，上述4個式子具有完全相同的形式，說明4個角點的附加應力系數是一致的，進一步說明所推導公式是正確的。對上述4個式子進一步整理得

該式為以（l，b，z）表示的矩形基礎均荷載角點附加應力系數計算公式。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理即得（11）式以（m，n，z）表示的矩形基礎均布荷載角點附加應力系數公式。該式與陳希哲［1］、龔文惠［2］中的公式完全一致。至于陳晉中［3］的公式，只要將其進行變換，就可得到與（11）式完全一致的形式，在此不再贅述。

3.1.2 中心點

當x＝0.5l、y＝0.5b時，計算點即位于矩形基礎中點正下方。代入（10）式整理后得

該式為以（l，b，z）表示的矩形基礎均荷載中點附加應力系數計算公式。顯然，該式是某個矩形基礎角點附加應力系數的4倍，該矩形基礎就是將原矩形長寬各縮小至原大小的1/2所得的4個相同的小矩形。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理后即為以（m，n，z）表示的矩形基礎均布荷載中點附加應力系數計算公式。

3.1.3 邊中點——以長邊中點為例

當x＝0、0＜y＜b，x＝l、0＜y＜b，y＝0、0＜x＜l，y＝b、0＜x＜l時，計算點即位于矩形基礎4個邊點正下方。因過程一致，下面僅以長邊中點為例進行驗證，即將x＝0.5l、y＝0代入（10）式整理后得

此式為以（l，b，z）表示的矩形基礎均荷載長邊中點附加應力系數計算公式。顯然，該式是某個矩形基礎附加應力系數的2倍，該矩形基礎就是原矩形寬度保持不變而長邊縮小至原長度的1/2所得的2個相同小矩形。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理后即為以（m，n，z）表示的矩形基礎均布荷載長邊中點附加應力系數計算公式。

3.1.4 基礎范圍以外任意點——以2l×2b區域角點為例

當x＞l、x＜0、y＞b、y＜0時，計算點即位于矩形基礎外側任意點正下方。下面僅以位于2l×2b區域角點為例進行驗證。在此，即將x＝2l、y＝2b代入（10）式整理后得

仔細分析不難發現，上式4個方括號項其實就是2l×2b、l×b、2l×b、l×2b這4個矩形角點的附加應力系數公式，說明基礎外任意點附加應力系數是上述4個矩形基礎附加應力系數之代數和，即只要根據矩形均布荷載角點附加應力系數公式分別計算出2l×2b、l×2b、2l×b、l×b這4個矩形角點的附加應力系數后，再按照即可求得2l×2b區域角點下的附加應力系數。

上式為以（l，b，z）表示的均荷載作用下矩形基礎外任意點附加應力系數計算公式。若令m＝l/b，n＝z/b，代入并整理后即為以（m，n，z）表示的均布荷載作用下矩形基礎以外任意點附加應力系數計算公式。

3.2 計算結果對照

為便于表述，本文將采用公式進行計算稱為“公式法”。圖1為《土力學地基基礎》［1］例題3-1、《土力學》［2］例題4.2及《土力學與地基基礎》［3］例題3-3的同一示例，要求荷載面積2m×1m、角點A、長邊中點E、中心點O及荷載面以外F、G點下z＝1m處的附加應力系數。角點法的計算結果見表1。圖2為《土力學》［2］例題4.3，3個基底大小和所受荷載完全相同的相鄰矩形基礎，基礎凈距為2m，要求基礎甲中心O點深度2m處的地基附加應力。角點法的計算結果見表2。

從表1、表2明顯看出，除完全一致的計算結果外，差別較大的0.082 2與0.081 4及0.747 7與0.746 4也僅僅相差0.000 8及0.001 3。前者由2.5×1.0 矩形引起（z＝1）：角點法數值0.201 6，公式法數值0.202 4，后者由2.5×2.0矩形引起（z＝2）：角點法數值0.186 6，公式法數值0.186 9，均由線性內插引起。

圖1 角點法示意圖（單個基礎）Fig.1 The sketch map of the corner point method（a single foundation）

表1 角點法、公式法計算表（單個基礎）Table 1 The calculated results by the corner point method and the formula method（a single foundation）

圖2 角點法示意圖（多個基礎）Fig.2 The sketch map of the corner point method（multiple foundation）

表2 角點法、公式法計算表（多個基礎）Table 2 The calculated results by the corner point method and the formula method（multiple foundation）

表3為公式法與《土力學地基基礎》表3-4角點法計算結果［4］對照表。明顯看出，差別不超過±0.3‰。

4 結論

a.本文利用積分導出了垂直均布荷載作用下矩形基礎地基中任意點附加應力系數的計算公式，雖然表達式復雜，不易記憶，但可借助Excel編制相應的計算程序，使得計算過程異常便利。

b.公式（10）更具一般性，據此導出了一些特殊點，如角點、中心點、邊中點及2l×2b區域角點下具體的計算公式，并通過與有關文獻所列角點下的計算公式對比，證明推導的公式是正確的。

表3 公式法、角點法計算結果對照表Table 3 The comparison of the calculated results by the corner point method and the formula method

續表3

c.文中給出的對比算例中，有些結果完全一致，有些僅有很小的偏差。而偏差出現的原因可能是由于角點法計算過程中內插取值不同。

d.公式法達到了“速算”程度，只要給出矩形的長（l）、寬（b），就可計算任意點（x，y，z）的附加應力系數，極大地方便了工程技術人員在實際工作中的運用，也避免了查表內插因人而異產生的差異及角點法計算過程中因對不同矩形需進行l/b、z/b計算可能出現混亂而導致的錯誤。

e.需要說明的是，由公式（10）驗證或推導文中所示的幾種特殊的附加應力系數時，出現了分母為0的分式，這是由于在積分推導過程中這些分式分母均以代數形式給出，并一直沿襲到最后的結果。在實際計算過程中，只要將這些項不參與計算，即作為0處理即可。

f.公式法計算需要5個參數，即基礎長（l）、寬（b）及計算點坐標（x，y，z）。需要注意的是坐標軸x和y的取向要與基礎長、寬保持一致，不一定長邊就是x軸、短邊就是y軸。

g.該公式不能直接計算z＝0處的附加應力系數。若需要計算，可在Excel表中直接設置z＝0時，附加應力系數為0.25即可。

［1］陳希哲.土力學地基基礎（第四版）［M］.北京：清華大學出版社，2004.Chen X Z.Soil Mechanics and Foundation（the fourth edition）［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2004.（In Chinese）

［2］龔文惠.土力學［M］.武漢：華中科技大學出版社，2007.Gong W H.Soil Mechanics［M］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology Press，2007.（In Chinese）

［3］陳晉中.土力學與地基基礎［M］.北京：機械工業出版社，2008.Chen J Z.Soil Mechanics and Foundation［M］.Beijing：China Machine Press，2008.（In Chinese）

［4］陳希哲.土力學地基基礎（第二版）［M］.北京：清華大學出版社，1989.Chen X Z.Soil Mechanics and Foundation（the second edition）［M］.Beijing：Tsinghua University Press，1989.（In Chinese）