運用同倫攝動法結合參數(shù)展開法求解強非線性問題

閆曉芳，陳 頌

(永城職業(yè)學院基礎部，河南永城476600)

當前，同倫理論已經(jīng)成為研究不含有小參數(shù)的強非線性系統(tǒng)解的一種有效的解析方法，何吉歡結合同倫理論和攝動法提出了同倫攝動法(HPM).最近又發(fā)展了一系列新的攝動理論，并得到了進一步的發(fā)展，如人工參數(shù)法、參化攝動方法、改進的Lindsted－Poincare法的參數(shù)展開法等.這些方法都不將方程中的參數(shù)作為攝動參數(shù)，而是通過一定的方法(如人為地引進一個攝動參數(shù)，同倫技術，線性變換).而對于一些方程，傳統(tǒng)的攝動理論已不再適用，因此本文主要將同倫攝動法(HPM)和改進的 Lindsted－Poincare 法［1，2］的參數(shù)展開法有效結合，求解一些強非線性振動問題的近似解，所得結果與精確解比較，來驗證方法的有效性.

1 同倫攝動法結合參數(shù)展開法概述

考慮如下一般方程［3］

式中β，ε為參數(shù)且有0≤ε＜∞對此類方程我們還可以有如下解法:

首先，構造同倫如下:

其中p為小參數(shù).其次方程的解u及參數(shù)β分別可以展開成p的冪級數(shù)，

將式(3)、(4)分別代入方程(2)，并比較等式兩端p的同次冪可得到兩個二階線性微分方程，從而易求出其解.

2 方法運用

運用同倫法結合參數(shù)展開法求解如下方程

其中0＜ε＜∞.同倫攝動法已經(jīng)解決不了上述方程，把方程(5)構造同倫重新寫成如下形式

其中p∈(0，1).當p=0時，方程(6)變?yōu)橐痪€性方程，當p=1時，方程(6)變?yōu)樵匠?1).

其次將方程的解u及參數(shù)0展開如下:

將式(7)，(8)代入式(6)并比較等式兩端p的同次冪系數(shù)可得

解方程(9)我們可以得到

將其代入式(10)得到

消除長期項可得

若方程只需要求到一階近似解，則由(8)式得

解出

從而他的近似周期可以寫成

而此方程的精確周期用其他方法已求出［4］:

顯然他們有很高的近似度.

現(xiàn)在考慮另一非線性系統(tǒng)方程［5］

應用泰勒級數(shù)，方程(17)可重新展開成如下形式

對上式構造同倫如下

將方程的解u及參數(shù)1展開如下

將式(20)、(21)帶入方程(19)并等式兩端p的同次冪次數(shù)可得到兩個二階線性微分方程

解方程(22)可得u0=Acosωt，將其代入式(23)可得

應用三角恒等式

將其代入式(24)并另含有cosωt項的系數(shù)為0可得

3 結論

本文主要將同倫攝動法和改進的Lindsted－Poincare法的參數(shù)展開法有效結合來求解一些強非線性振動問題的近似解，所得兩個非線性系統(tǒng)的近似周期與精確周期比較，顯示了很好的近似度.

［1］He J.Modified Lindsted－Poincare methods for some strongly nonlinear oscillations，Part I:Expansion of a constant［J］.Int J Nonlinear Mechanics，2002，(2):315－320.

［2］He J.Bookkeeping parameter in perturbation methods［J］.International Journal of Non－Linear Science and Numerical Simulation，2001，(3):257－264.

［3］He J.The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，(2)，527.

［4］Nayfeh A H.Introduction to Perturbation Techniques［M］.New York:Wiley，1981.

［5］He J.Linearization and correction method for nonlinear problems［J］.Applied Mathematics and Mechanics，2002，(3):241－248.