整函數(shù)及其微分多項式權分擔值

甘 媛

(福建船政交通職業(yè)學院公共教學部，福建福州350007)

1 相關知識

近年來，Lahiri與Banerjee引進了一種權分擔的方法討論了亞純函數(shù)及微分多項式的唯一性問題，這種方法極大地改進了IM及CM思想.根據(jù)權分擔思想，本文完整的討論了(fn)(k)與(gn)(k)權分擔1值問題，得到以下結果.

定理1.1:若f，g為兩個非常數(shù)整函數(shù)，正整數(shù)n，k滿足n ＞5k+7.如果(fn)(k)與(gn)(k)分擔(1，0)，則f=c1ecz，g= c2e-cz或 者 f= tg;其 中 c，c1，c2，t 為 滿 足(-1)k(c1c2)n(nc)2k=1及tn=1的常數(shù).

定義 1.1:設 f，g(1，0)分擔，z0為f的q重1- 值點，定義為f，g公共1-值點且p=q=1時的計數(shù)函數(shù)為f，g公共1-值點且p＞q時的計數(shù)函數(shù);為f，g公共1-值點且p=q≥2時的精簡計數(shù)函數(shù);類似地有我們記為公共1-值點的精簡計數(shù)函數(shù)，且滿足p＞q=k，類似地有

2 主要引理及其證明

為證明定理我們需要以下引理.

引理 2.1［1］:若 f為非常數(shù)整函數(shù)，k 為正整數(shù)，c 為非零有限復常數(shù)，那么

其中N0(r，0;f(k+1))為f(k+1)的零點但不是f(f(k)-c)的零點的計數(shù)函數(shù)的密指量.

引理 2.2［1］:若 f為非常數(shù)整函數(shù)，兩個亞純函數(shù) α1，α2滿足，那么

引理2.3:若f為非常數(shù)整函數(shù)，為k正整數(shù)，那么

證明:由于 f為整函數(shù)及文獻［2］，有 N(r，0;f(k))≤N(r，0;f)+S(r，f).

故引理2.3得證.

引理2.4［3］:若 f為非常數(shù)整函數(shù)，正整數(shù) k ≥ 2.如果ff(k)≠0，那么 f=eaz+b，這里 a≠0，b為復常數(shù).

引理 2.5［4］:如果兩個非常數(shù)整函數(shù) F，G 分擔(1，0)且滿足H≠0，那么

這里N0(r，0;F′)為F′的零點但又不是F(F-1)的零點的計數(shù)函數(shù)的精簡密指量，類似地有N0(r，0;G′).

引理 2.6［5］:如果兩個非常數(shù)整函數(shù) F，G 分擔(1，0)且滿足H≠0，那么

引理2.7:如果兩個整函數(shù)分擔，那么

引理2.8:若兩個非常數(shù)整函數(shù)分擔，那么

證明:由文獻［5－8］知

由 于 F，G 為 整 函 數(shù)，有 N(r，0;F′)≤ N(r，0;F)+S(r，F(xiàn)).

類似地可以得到引理中的第二個式子，這樣引理2.8得證.

引理2.9:若f，g為兩個非常數(shù)整函數(shù)，k為正整數(shù)，如果f(k)與……