一類非局部擴散方程組解的爆破

鄭露璐，曾有棟

(福州大學數學與計算機科學學院，福建福州 350116)

0 引言

主要研究一類非局部擴散方程組解的性質，方程組形式如下:

近年來，許多學者研究了單個方程的解的性質，而本文主要擴展為方程組，得出兩個結論:

定理1(解的局部存在定理) 對任意u0(x)，v0(x)∈L1(RN)∩L∞(RN)，那么方程組(1)存在唯一解(u，v)∈C(［0，T］;L1(RN)) ∩L∞(［0，T］;L∞(RN)) × C(［0，T］;L1(RN)) ∩L∞(［0，T］;L∞(RN))

1 預備知識

引理1［1］非局部擴散方程:

當初值滿足w0(x)=δ0(x)時，那么方程的基本解可以表示為:S(x，t)=e－tδ0(x)+K(x，t)，其中K(x，t)是光滑的，且 K(x，t)= ∫RN(et(^J(ξ)－1)－ e－t)eix·ξdξ(是 Fourier變換)．式(2)的解可以表示為

定理1的證明 考慮與式(1)相關的積分方程:

定義:

對T＞0，定義集合:

其中

X(T)是Banach空間．

定義:

首先證明Ψ是從E(T)∩B(R)到自身的映射，令

通過計算可得

所以 Φ1［v］(t)XT≤6M+6TRp，取充分大的R和充分小的T，使得6M+6TRp＜R 4，同樣地，可以證明 Φ2［u］(t)XT＜R 4，由此可以證明Ψ(u，v)是從E(T)∩B(R)到自身的映射．又

其中:0 ＜ η ＜ 1，因此 Φ1［v1］(t)－ Φ1［v2］(t)XT≤C(p)R T v1(t)－ v2(t)XT，選取充分大的R和充分小的T，使得C(p)Rp－1T＜1 4，同理，可以證明

由Banach空間的不動點理論，證明方程組(1)存在唯一解．

［2］，得出正性引理和比較原理．

引理3［2］(正性引理) 假設w(x，t)和z(x，t)是非平凡的，c1，c2是有界函數，并且滿足

若對于x∈RN，w(x，0)≥0，z(x，0)≥0，那么對于x∈RN和t＞0，有w(x，t)≥0，z(x，t)≥0．

證明 要證明w(x，t)≥0，z(x，t)≥0，利用反證法，假設在某些點，w(x，t)＜0成立，并且假設δ1=inf{w(x，t)}，δ2=inf{z(x，t)}，令θ=e－λtw(x，t)，其中λ ＞ 0，假設在點(x0，t0)，θ達到負的最小值，當 λ ＞supδ2δ1時，有 θt(x0，t0)= － λe－λtw(x0，t0)+e－λtwt(x0，t0)＞ 0．這與假設矛盾，因此，θ(x，t)≥0成立，所以w(x，t)≥0．同理，可以證明z(x，t)≥0．

其中:0＜η＜1．再由引理3知，ω(x，t)≥0，?(x，t)≥0，由此引理得證．

2 主要結果證明

參照文獻［3］，引入關于非局部擴散方程的特征值與特征函數的問題:

Ω是RN中的光滑有界區域．

引理5［3］(特征值和特征函數) 問題(4)存在一個特征值λ1(Ω)和相應的特征函數φ∈C(Ω)，并且特征值λ1(Ω)是唯一的，且滿足0＜λ1(Ω)＜1，而且該特征值可以表示成

選擇R＞0，令φR是式(4)的一個……