一類帶位移的廣義Riemann邊值問題的封閉形式解

陳金玉

(重慶大學自動化學院，重慶 400044)

0 引言

設簡單封閉的Lyapunov曲線L把復平面分為內域D+和外域D－兩部分，原點0∈D+，α(t)是曲線L到它自身的同胚變換，稱為曲線L上的位移，其中保持方向的稱為正位移，否則稱為反位移．尋求在D+和D－分片解析函數Φ(z)，要求按照邊界條件

以上問題稱之為帶位移的廣義Riemann邊值問題．Litvinchuk［1］概述了問題(1)的Noether問題、穩定性和α(t)為正或反位移時問題的可解性．提出問題(1)的可解性理論，尋求更有建設性的結果具有很大意義．

當α(t)≡t時．上述問題可變為

本文研究簡單封閉的 Lyapunov曲線 L下帶位移的廣義 Riemann邊值問題(1)的求解．當G1(t)±之一為常數時，給出了問題(1)的封閉形式解情況．

1 問題的求解

考慮滿足Φ－(∞)=0簡單封閉的Lyapunov曲線L下帶位移的廣義Riemann邊值問題(1)，其中α(t)為正位移，G1(t)，G2(t)，f(t)，α'(t)∈Hμ(t)，α'(t)，G1(t)≠0，t∈Γ，G1(t)±之一為常數時問題(1)的求解．

可以通過保形映射將邊界條件變為單位圓周．事實上，假設函數ω=ω+(z)和ω=ω－(z)分別把區域D+和D－保角映射到圓周L1的內部和外部，用z+(ω)和z－(ω)表示逆映射．由保角映射的理論可知，在關于邊界L所做的假定下，函數ω+(z)、ω－(z)和z+(ω)、z－(ω)分別連續地延拓到L和L1，同時在L和L1上滿足Holder條件．

這樣，問題(1)就化為單位圓域上的H問題．因此，不失一般性，可以認為曲線L為單位圓周，區域D+是單位圓域＜1．同時，為了下文求解的方便，假設=1，κ =ind［arg G1(t)］．

1．1 G1(t)+為常數

現假設G1(t)+=a+b i，a，b∈R．首先，對問題(1)兩邊取共軛后與問題(1)相加，然后化簡后得到:

可設:

由文［15］，問題(5)的一般解可寫成:

其中，c為復常數．由Plemelj公式，可得:

將式(7)代入問題(1)，化簡后可得:

令

設β(t)為α(t)的逆同胚，由式(4)，有以下式子成立:

顯然，求解問題(9)及問題……