整體入手 巧妙解題

浙江 陶云娥

有些數(shù)學(xué)問題，從局部入手難以解答，如果能運(yùn)用整體思想去分析，則常常能出奇制勝。

【例1】如圖1，淘淘從家出發(fā)到學(xué)校有三條路可走，那么走哪一條路最近呢？

【分析與解】這道題真奇怪，一個數(shù)據(jù)都沒有告訴我們。怎么算呢？別急，就從整體入手分析解答。設(shè)三個小半圓的直徑分別為，那么第③條路的長度是第②條路的長度是，第①條路的長度是。所以，三條路一樣長。

圖1

【例2】如圖2，已知陰影部分的面積為45cm2，求圓環(huán)的面積。

【分析與解】求圓環(huán)的面積，通常先要找到大、小兩圓的半徑，但本題是行不通的。怎么辦呢？也從整體入手，根據(jù)圓環(huán)的面積公式S=(R2－r2)，先算出R2－r2的差，再求解。

圖2

【例3】如圖3，一個梯形的四個頂點(diǎn)恰好在四個半徑都是1cm的圓的圓心上，求涂色部分的總面積。

【分析與解】本題不要考慮每個扇形的面積各是多少，而要從整體入手，先想弧是虛線的4個空白扇形的總面積有多大。

將梯形分成兩個三角形，可以得出梯形的四個內(nèi)角的和是180°×2=360°。也就是上圖中 4個半徑相等的空白扇形，圓心角的和是360°，把它們拼起來，正好是一個圓。由此得出，涂色部分的總面積等于3個圓的總面積，即 3.14×12×3=9.42(cm2)。

【練一練】

1．例3的圖3中，涂色部分的總周長是多少？

2．如圖4，三角形每個角上的扇形的半徑都是2cm，這三個扇形的面積之和有多大？

圖3

圖4

《方程的妙用》參考答案：

明明的解法錯在：三年前，這個人母親的年齡是他的年齡的6倍。明明的方程中，寫的是三年前母親的年齡是這個人現(xiàn)在年齡的6倍。正確的方程：（x－3）×6=(33－3)。即：6x －18=30，6x=30+18，6x=48，x=48÷6=8，所以這個人今年8 歲了。

怎樣來分呢？我仔細(xì)琢磨了一番后，找到了兩種解法。

【解法一】借來1頭牛，構(gòu)建單位“1”。此題若按分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法來解，由于17不是三個分?jǐn)?shù)分母的公倍數(shù)，所以每人不能分得整數(shù)頭牛。經(jīng)試算，我發(fā)現(xiàn)，18與17相差1。如果鄰居先借來1頭牛，正好是18頭牛，將18頭牛看成單位“1”，那么問題就好解決了。

剛好可以把借來的1頭牛還給人家。

【解法二】按三人所占的份數(shù)比來分配。根據(jù)遺言可知，大兒子占的份數(shù)是，二兒子占的份數(shù)是，小兒子占的份數(shù)是，他們所占的份數(shù)比是∶∶＝9∶6∶2，總份數(shù)是9＋6＋2＝17（份），大兒子分得，二兒子分得，小兒子分得。所以三個兒子分得的牛的頭數(shù)分別為：

《整體入手 巧妙解題》練一練參考答案：1.26.84cm 2.6.28cm2

《巧設(shè)未知數(shù)》練一練參考答案：1.最輕的箱子重20千克。2.原有紅球比白球多106個。