中國商品期貨市場波動率的預測

王天一，黃 卓，佘 宇，沈詩涵

（1.對外經濟貿易大學 金融學院，北京 100029；2.北京大學 國家發展研究院，北京 100871；3.北京大學 匯豐商學院，廣東 深圳518055）

0 引言

期貨價格的波動率是現代金融領域關注的重要研究內容之一。許多研究表明，中國農產品期貨市場存在國外成熟期貨市場的特征，如波動集聚性、尖峰厚尾等。此外，中國的期貨市場也存在較為明顯的杠桿效應，利空消息和利好消息對期貨收益率的沖擊并不對稱。對中國商品期貨市場波動率進行估計、分析與預測有利于認識中國商品期貨市場的價格波動特征、幫助指導交易和資產配置等。

對時變波動率建模的經典模型始于Engle（1982）提出的自回歸條件異方差模型（ARCH）。Bollerslev（1986）將其推廣為廣義自回歸條件異方差模型（GARCH）。這類模型可以很好地描述金融市場波動率集聚性、尖峰厚尾等特征，所以很快被經濟學家應用于各類實證研究中，并且又催生出GARCH模型的很多推廣形式，如EGARCH，GJR-GARCH，IGARCH，Realized GARCH等。盡管GARCH類模型經常被應用于中國商品期貨市場波動率的研究，但主要集中于探究期貨產品的尖峰厚尾、杠桿效應等性質，在涉及商品期貨波動率預測的文獻中，利用基于極差的估計量來提高估計的精確性的研究較少。我們認為，基于極差的統計量比基于回報率的統計量包含了更多關于波動的信息，使用基于極差的波動率的GARCH模型應該在樣本內估計和樣本外預測方面均有更好的表現。為了驗證我們的想法，本文分別將Molnar(2012)根據Parkinson估計量所建立的RangeGARCH模型和傳統的GARCH類模型應用于中國的大宗商品期貨市場，考察他們對主要期貨品種價格波動的建模和預測能力。

1 模型設定

1.1 GARCH模型

為了刻畫波動率的條件方差，Engle于1982年建立了ARCH模型，并在1986年被Bollerslev推廣為廣義自回歸條件異方差模型(GARCH)。該模型假設εt是資產收益率在t時的殘差，或稱為“新息”，當εt滿足以下條件時稱其服從GARCH(p,q)模型：

其 中 zt獨 立 同 分 布 ，E(zt)=0，Var(zt)=1，αi≥0，βi≥0，α(1)+β(1)＜1。ARCH/GARCH類模型能夠刻畫資產收益率中的波動率聚集。因為較大的平方殘差會導致新息εt有大的條件方差，所以ARCH/GARCH模型中，一個大的擾動會傾向于緊接著出現另一個大的擾動。此外，這類模型還能描述金融時間序列數據的持續性等特征。

1.2 RangeGARCH模型

波動率是不可直接觀察到的，因此要對其進行估計，常用的估計量是資產收益的方差，由于資產日收益的均值接近于零，故常用日收益率平方來估計。然而這個估計量噪音較大，通常估計出來的α系數都很小。本文關注的主要是Parkinson(Parkinson(1980))波動率估計量：

根據Parkinson(1980)的證明，與傳統的估計量相比，給定同樣的樣本量，Parkinson估計量對波動的變化更加敏感。此外，Bali and Weinbaum(2005)的實證檢驗指出Parkinson估計量比傳統的偏誤更小且更有效；Molnar(2012)用模擬數據證明Parkinson估計量在分布性質上也比傳統的更接近真實值。

Molnar(2012)用Parkinson估計量修正GARCH模型為RangeGARCH模型(本文中簡稱為RGARCH)，形式如下：

本文擬采用RGARCH(1,1)模型對中國商品期貨市場數據進行樣本內擬合和樣本外預測。

2 數據及其統計特征

本文采用18種中國商品期貨市場上的交易品種數據。這些品種分別為：農產品期貨(白糖、豆粕、大豆一號、棉花、強筋小麥、橡膠、玉米、早秈稻、棕櫚油、豆油)，貴金屬期貨(黃金)，基礎原料期貨(鋁、銅、鋅、螺紋鋼、塑料、PVC、PTA)。由于期貨合約具有不連續性，為了克服交易量過小、價格波動不穩定等特點，本文采用構造的主力合約數據以及來自Wind數據庫的活躍合約數據進行分析。數據覆蓋2009年5月到2013年5月的日交易數據，包括最高價、最低價、開盤價和收盤價。

本文使用“開盤價—收盤價”來計算日收益率，這也與Parkinson估計量覆蓋范圍相一致的收益率計算方式。一方面可以避免隔夜收益率帶來的所謂“開盤價跳躍”的現象，另一方面為后續的不同模型間系數比較提供了方便。即本文定義商品期貨的日收益率為：

rt=log(Ct)-log(Ot)

而商品期貨日波動率的估計量為：

其中 Ct，Ot，Ht，Lt分別代表第t天的收盤價、開盤價、最高價和最低價。

由各期貨合約的日收益率序列的統計特征（見表1）可以看出：各合約的收益率序列均可被視為零均值；其峰度皆大于正態分布的峰度，Jarque-Bera檢驗結果顯示在1%的顯著水平下拒絕各期貨合約日收益率服從正態分布的假定；將Ljung-Box檢驗應用于日收益率序列，結果顯示收益率序列的相關性不高，符合有效市場的假設，故建模時不再考慮均值方程式內加入自回歸項。對于收益率平方序列，Ljung-Box檢驗指出了顯著的ARCH效應，說明收益率具有條件異方差的特征。以上各統計特征意味著可以對各合約的日收益率序列建立GARCH類模型。Parkinson估計量的序列均值同樣可視為0，且不存在序列相關性。

表1 各合約日收益率序列和Parkinson估計量的統計特征

Q(24)為收益率序列的Ljung-Box統計量，滯后階24階，Q2(24)為收益率平方序列的Ljung-Box統計量，滯后階24階。

3 實證分析

3.1 樣本內擬合

樣本內擬合我們主要考察如下幾點：（1）不同模型對于收益率分布的擬合狀況，（2）不同新息的相對信息含量。對于第一個問題，我們使用的方法是似然函數值的比較。因為從似然函數的定義上看，對于同樣的數據，似然函數值更大說明模型更好地擬合了實際數據的分布。為了分析不同模型的差距是否有統計顯著性，我們進一步使用了基于似然函數值的非嵌套模型Vuong統計量。設GARCH(1,1)模型的似然函數為 l1，t(?)，RGARCH(1,1)模型的似然函數為。 計 算 對 數 似 然 函 數 之 差 ，，并構造檢驗統計量

表2 GARCH（1,1）與RGARCH（1,1）的樣本內估計結果

表2中，除滬鋁、鄭棉、強麥、塑料、滬鋅和PTA之外，RGARCH(1,1)模型的似然函數值在Vuong統計量的意義下都顯著地大于GARCH(1,1)的似然函數值，說明對這些序列而言RGARCH(1,1)模型的擬合效果更好。此外所有品種的商品期貨都表現出了α的上升和 β的下降(從GARCH(1,1)到RARCH(1,1))。顯示出極差估計量相比收益率平方而言，其信息含量更高，噪音也更小。

為了進一步比較Parkinson估計量和收益率平方之間的相對重要性，我們將Parkinson估計量和傳統的收益率平方同時放入GARCH模型的方差方程式中進行擬合，建立組合GARCH(1,1)模型(combined GARCH)如下：

對組合GARCH(1,1)模型的估計結果如表3所示。除了豆油、塑料、橡膠、早秈稻和PTA之外，其他13種期貨品種的α2都十分顯著，而α1則相對不顯著，這說明Parkinson覆蓋了收益率平方的信息，使得收益率平方對于波動率序列的動態不再產生顯著的影響。對于除了滬鋁、鄭棉、強麥、滬鋅和PTA之外的其他期貨品種，均存在α1＜α2，也說明針對大多數的期貨品種，Parkinson估計量是一個更有優勢的估計量。而且，在約束條件分別為α1=0和α2=0時，無約束與有約束的模型的似然比檢驗顯示除了PTA其他17種期貨都在5%的水平下拒絕α2=0，但是絕大多數序列不能拒絕α1=0，這進一步說明了當加入了Parkinson估計量后，α1變得不顯著了，Parkinson估計量比傳統估計量表現更好。

表3 Combined GARCH(1,1)的參數估計及似然比檢驗

由以上樣本內分析可知，在樣本內擬合方面，RGARCH(1,1)模型比GARCH(1,1)模型能更準確地估計中國的商品期貨市場的大多數期貨品種。

3.2 樣本外預測

本節采用滾動窗口的方式比較RGARCH(1,1)模型和常用GARCH族模型對中國商品期貨市場的樣本外預測能力，正文部分以和GARCH(1,1)模型的比較為主，和其他模型的比較的主要結果在本節最后表格中給出。

對于真實波動率代理變量的選擇，我們使用的是收益率的平方，和傳統的代理變量選擇一致。收益率平方本身是GARCH(1,1)模型的信息源，這樣的選取方式實際上是偏向GARCH(1,1)模型的，如果在這樣的標準下RGARCH(1,1)模型仍然勝出，則結論對RGARCH模型的支持力度更大。為了盡量準確估計模型系數。本文采用滾動窗的窗寬選擇為300、400、500和600。本文應用RMSE作為損失函數來評估預測效果，其值越小說明預測誤差越小，其預測越準確。

表4展示了以日收益率平方為基準 的 RGARCH(1,1)與 GARCH(1,1)預測比較，在所有預測值中，有接近70%的結果是RGARCH(1,1)的RMSE小于GARCH(1,1)的RMSE。進一步考慮到比較基準實際上偏向GARCH模型這一事實，該結果說明，RGARCH(1,1)模型的效果較GARCH(1,1)模型有相當的提升。

表4 以日收益平方為基準的預測比較

最后，本文還將RGARCH模型與其他常見GARCH模型的預測效果進行了比較，用以對比的其他常用GARCH族模型有：

進行比較所用的窗口期為300，其結果如表5所示。可以看出，對于除白糖、黃金外的其他期貨品種，RGARCH模型確實比其他常用GARCH模型能有更好的預測效果。而對于白糖和黃金，EGARCH和GJR-GARCH的表現更有優勢，很可能是因為這兩種期貨的波動率對好消息和壞消息的反應具有較為明顯的不對稱性，而RGARCH模型無法刻畫杠桿效應。然而對于其他的商品期貨品種，RGARCH模型則是較有優勢的選擇。

4 結論

在對波動率的估計與預測研究中，將基于極差的Parkinson估計量加入到GARCH模型中以代替傳統的平方收益率估計量，構建RangeGARCH模型，有可能提高估計的準確性，達到更好的擬合和預測效果。本文通過將RGARCH(1,1)應用于中國商品期貨市場的18種合約，經過實證檢驗證明了對于大多數商品期貨合約而言，RGARCH模型在樣本內擬合和樣本外預測方面都比普通GARCH模型和其他常見GARCH族模型更具有優勢。在樣本內擬合方面，RGARCH模型能將更多的權重賦予較近期的觀察值，調整更迅速、估計更精確；更大的似然函數值說明它相對于GARCH模型更具備擬合的優良性。如果把兩種估計量同時放在同一個GARCH模型中，則RGARCH的估計量會比傳統的估計量在顯著性上勝出。在樣本外預測方面，通過對均方誤差的比較可知，大部分情況下，RGARCH模型相對于其他GARCH模型有較好的預測精度。

表5 與其他常見GARCH類模型的預測比較（window=300）

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